考向16 解三角形（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

这是一份考向16 解三角形（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版），共25页。试卷主要包含了求三角形面积的方法，判定三角形形状的两种常用途径等内容，欢迎下载使用。
考向16 解三角形

1.【2022年甲卷理科卷第11题】将函数f的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C关于y轴对称，则的最小值是（ ）
A
【答案】C
【解析】记为向左平移个单位后得到的曲线，则==由关于Y轴对称，可得：，，故有，所以的最小值为.选C.
2． 【2022年浙江卷】16．已知中，点在边上，，，．当取得最小值时，＿＿＿＿＿＿．
【答案】
【解析】令，以为坐标原点，为轴建立直角坐标系，则，，，

当且仅当即时取等号．
3．【2022年北京卷第16题】在中，sin2C=.
（1）求
（2）若，且的面积为，求的周长。
【答案】（1） （2）
【解答】（1）sin2C=，，，=。
（2） ，，，由余弦定理得
，所以的周长为.

4．【2022年乙卷理科第17题】17.（12分）
记的内角、、的对边分别为、、，已知
.
(1)证明：；
(2)若，，求的周长.
【答案】（1）见证明过程；（2）；
【解析】1.已知可化简为
，
由正弦定理可得，即，由余弦定理可得，即证，
（2）由（1）可知，，，，，，的周长为14
5．【2022年乙卷文科第17题】记的内角，，的对边分别为，，，已知.
（1）若，求;
（2）证明：．
【答案】（1）；（2）略.
【解析】（1）解：因为,
所以，，
所以，，
代入中得
又，所以，所以，所以
（2）证明:因为
所以
所以
所以，又
所以
由正弦定理得①
又由余弦定理得，所以②
由①②得，所以.
证法2：因为
所以
又

同理，所以
由正弦定理得所以
6.【2022年新高考1卷第18题】 记的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）若，求；
（2）求的最小值．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）由已知条件得：



所以，即，
由已知条件：，则，可得，
所以，．
（2）由（1）知，则，，
，
由正弦定理

，
当且仅当时等号成立，所以的最小值为．
7.【2022年新高考2卷第18题】记的三个内角分别为、、，其对边分别为，，，分别以，，为边长的三个正三角形的面积依次为，，，已知，．
（1）求的面积；
（2）若，求．
【答案】（1）；（2）．
【解析】（1）边长为的正三角形的面积为，
，即，
由得：，，
故．
（2） 由正弦定理得：，故．
8.【2022年浙江卷第18题】在中，角的对边分别为a，b，c，已知，．
（I）求的值；
（II）若，求的面积．
【答案】（I）；（II）．
【解析】（I）由于 ，且是三角形的内角，则.
由正弦定理知 , 则 .
(II) 由余弦定理，得，
即，解得．
所以 的面积 .


1.解三角形的常见题型及求解方法
(1)已知两角A，B与一边a，由A＋B＋C＝π及＝＝，可先求出角C及b，再求出c.
(2)已知两边b，c及其夹角A，由a2＝b2＋c2－2bccos A，先求出a，再求出角B，C.
(3)已知三边a，b，c，由余弦定理可求出角A，B，C.
(4)已知两边a，b及其中一边的对角A，由正弦定理＝可求出另一边b的对角B，由C＝π－(A＋B)，可求出角C，再由＝可求出c，而通过＝求角B时，可能有一解或两解或无解的情况．
2.求三角形面积的方法
(1)若三角形中已知一个角(角的大小或该角的正、余弦值)，结合题意求解这个角的两边或该角的两边之积，代入公式求面积．
(2)若已知三角形的三边，可先求其一个角的余弦值，再求其正弦值，代入公式求面积．总之，结合图形恰当选择面积公式是解题的关键．
3．已知三角形面积求边、角的方法
(1)若求角，就寻求夹这个角的两边的关系，利用面积公式列方程求解．
(2)若求边，就寻求与该边(或两边)有关联的角，利用面积公式列方程求解．
4.判定三角形形状的两种常用途径

5．判定三角形的形状的注意点
在判断三角形的形状时一定要注意解是否唯一，并注重挖掘隐含条件．另外，在变形过程中要注意角A，B，C的范围对三角函数值的影响，在等式变形中，一般两边不要约去公因式，应移项提取公因式，以免漏解．

1．三角形内角和定理
在△ABC中，A＋B＋C＝π；变形：＝－.
2．三角形中的三角函数关系
(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；
(3)sin ＝cos ；(4)cos ＝sin .
3．三角形中的射影定理
在△ABC中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；c＝bcos A＋acos B.
4．三角形中的大角对大边
在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sin A＞sin B.
5．三角形常用面积公式
(1)S＝a·ha(ha表示边a上的高)；
(2)S＝absin C＝acsin B＝bcsin A；
(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．


易错点1：解三角函数的定义
此类题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.所以要求考生要熟记公式，并懂得灵活应用。
易错点2：三角函数图象变换
函数图象的平移变换解题策略：
（1）对函数y=sin x，y=Asin(ωx＋φ)或y=Acos(ωx＋φ)的图象，无论是先平移再伸缩，还是先伸缩再平移，只要平移|φ|个单位，都是相应的解析式中的x变为x±|φ|，而不是ωx变为ωx±|φ|.
（2）注意平移前后两个函数的名称是否一致，若不一致，应用诱导公式化为同名函数再平移.
易错点3：由三角函数图像求解析式
结合图象及性质求解析式y=Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的方法
（1）求A，B，已知函数的最大值M和最小值m，则.
（2）求ω，已知函数的周期T，则.
（3）求φ，常用方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时，A，ω，B已知)．
②确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的第一个零点作为突破口，具体如下：
“第一点”(即图象上升时与x轴的交点中距原点最近的交点)为ωx＋φ=0；
“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ=；
“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ=π；
“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ=；
“第五点”为ωx＋φ=2π.
易错点4： 给值（式）求角（值）
解三角函数的给值求值问题的基本步骤
（1）先化简所求式子或所给条件；
（2）观察已知条件与所求式子之间的联系；
（3）将已知条件代入所求式子，化简求值．
易错点5：三角形中边角关系
此类题考查解三角形的相关知识，涉及到正弦定理角化边的应用、余弦定理的应用、三角形周长最大值的求解问题；求解周长最大值的关键是能够在余弦定理构造的等式中，结合基本不等式构造不等关系求得最值.

1.设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos C＋ccos B＝asin A，则△ABC的形状为(　　)
A．锐角三角形　 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．不确定
2．已知△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝，B＝，a＝1，则b＝(　　)
A．2　　 B．1　　　C．　　 D．
3．在△ABC中，AB＝5，AC＝3，BC＝7，则∠BAC＝(　　)
A． B． C． D．
4．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若＝，(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，则△ABC的形状是(　　)
A．直角三角形 B．等腰非等边三角形 C．等边三角形 D．钝角三角形
5.△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足a＝2，B＝45°，C＝75°，则b＝(　　)
A．2 B． C．2 D．3
6.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足b2＋c2－a2＝bc，a＝，则b＋c的取值范围是(　　)
A．(1，) B．(，2］ C．(，3) D．
7．在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a＝4，c＝6，C＝2A，则cos A＝________，b＝________.
8.已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，(3b－a)cos C＝ccos A，c是a，b的等比中项，且△ABC的面积为3，则a＋b＝________.
9.在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知a2＋b2－c2＝ab，且acsin B＝2sin C，则△ABC的面积为________．
10.已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若cos A(sin C－cos C)＝cos B，a＝2，c＝，则角C的大小为　　　　．

1．（2022·全国·长郡中学模拟预测）已知在中，，．
(1)求的大小；
(2)在下列三个条件中选择一个作为已知，使存在且唯一确定，并求出边上的中线的长度．①；②周长为；③面积为．
2．（2022·山东·济南市历城第二中学模拟预测）如图，已知在中，M为BC上一点，，且．

(1)若，求的值；
(2)若AM为的平分线，且，求的面积．
3．（2023·江苏·南京市第一中学模拟预测）在中，已知角，，的对边分别为，，，且
(1)求角的大小
(2)若为锐角三角形，且，，求的面积．
4．（2022·河南·模拟预测（文））在中，角所对的边为，已知.
(1)求；
(2)设的平分线与交于点，求的长.
5．（2022·安徽·芜湖一中模拟预测）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，其外接圆的半径为，且满足．
(1)求角B．
(2)若边上的中线长为，求的面积和周长．
6．（2022·安徽蚌埠·一模）记内角的对边为，已知于.
(1)证明：；
(2)若，求的值.
7．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）已知，的内角的对边分别为，，对，都有成立，从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，
(1)求角;
(2)求周长的取值范围.
条件①
条件②
条件③
（注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分.）
8．（2022·北京·首都师范大学附属中学三模）已知的内角的对边分别为，且
(1)求的值；
(2)给出以下三个条件：
条件①：；条件②；条件③.这三个条件中仅有两个正确，请选出正确的条件并回答下面的问题：
（i）求的值；
（ii）求的角平分线的长.
9．（2022·四川成都·模拟预测（理））设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，在以下①、②、③中选择一个作为条件，并加以解答，如果①、②、③都做，则按①给分．
①向量与向量平行．
②
③
(1)确定角A和角B之间的关系；
(2)若D为线段BC上一点，且满足BD＝AD＝4，若2a＝3b，求b．
10．（2022·北京育才学校模拟预测）在中，，______，______，求和的值.
从以下三个条件中选两个，补充在上面的问题中使得三角形存在，并回答问题.
条件①；条件②；③.
11．（2022·上海市光明中学模拟预测）已知在三角形中，，三角形的面积．
(1)若，求；
(2)若，求．
12．（2023·安徽省宣城中学模拟预测）中，已知.边上的中线为.
(1)求；
(2)从以下三个条件中选择两个，使存在且唯一确定，并求和的长度.
条件①：；条件②；条件③.


1（2020•全国3卷）在△ABC中，cosC＝，AC＝4，BC＝3，则cosB＝（ ）
A. B. C. D.
2.(2021·全国甲卷)在△ABC中，已知B＝120°，AC＝，AB＝2，则BC＝(　　)
A．1 B． C． D．3
3．(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知asin A－bsin B＝4csin C，cos A＝－，则＝(　　)
A．6　　 B．5　　　　C．4　　 D．3
4．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)的内角的对边分别为，若的面积为，则 (　　)
A． B． C． D．

5.(2021·全国乙卷)记△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，面积为，B＝60°，a2＋c2＝3ac，则b＝　　　　．
6.（2021年上海卷第18题）在中，已知
（1）若，求的面积；
（2）若，求的周长.
7.（2021年天津卷）在，角所对的边分别为，已知，．
（1）求a的值；
（2）求的值；
（3）求的值．

8.(2020·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知B＝150°.
(1)若a＝c，b＝2，求△ABC的面积；
(2)若sin A＋sin C＝，求C.
9.(2019·全国卷Ⅰ)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.设(sin B－sin C)2＝sin2A－sin Bsin C.
(1)求A；
(2)若a＋b＝2c，求sin C.


1.【答案】B　
【解析】由正弦定理得sin Bcos C＋sin Ccos B＝sin2A，
∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin(π－A)＝sin2A，sin A＝sin2A.
∵A∈(0，π)，∴sin A＞0，∴sin A＝1，即A＝，∴△ABC为直角三角形．
2．【答案】D　
【解析】由＝得b＝＝＝×2＝.
3．【答案】C　
【解析】由题意知，a＝BC＝7，b＝AC＝3，c＝AB＝5，
由余弦定理得cos∠BAC＝＝＝－.
又因为∠BAC是△ABC的内角，所以∠BAC＝，故选C.
4．【答案】C　
【解析】因为＝，所以＝.所以b＝c.又(b＋c＋a)(b＋c－a)＝3bc，所以b2＋c2－a2＝bc，所以cos A＝＝＝.因为A∈(0，π)，所以A＝.所以△ABC是等边三角形．
5.【答案】C　
【解析】由题意A＝180°－45°－75°＝60°，由正弦定理＝，
得b＝＝＝2，故选C．
6.【答案】B　
【解析】依题意得b2＋c2－bc＝3，即(b＋c)2＝3bc＋3≤3＋3，(b＋c)2≤12，b＋c≤2，当且仅当b＝c＝时取等号，又b＋c>a＝，因此b＋c的取值范围是(，2］，选B
7．【答案】　4或5
【解析】在△ABC中，由正弦定理得＝＝＝，∴4＝，∴cos A＝.在△ABC中，由余弦定理得a2＝b2＋c2－2bccos A，得16＝b2＋36－2b×6×，b2－9b＋20＝0，解得b＝4或b＝5.
8.【答案】　
【解析】　由(3b－a)cos C＝ccos A，得3sin Bcos C－sin Acos C＝sin Ccos A，即3sin Bcos C＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin(A＋C)＝sin B，又sin B≠0，所以cos C＝，得sin C＝.由S△ABC＝absin C＝3，得ab×＝3，得ab＝9.又c是a，b的等比中项，所以c2＝ab.由余弦定理c2＝a2＋b2－2abcos C得ab＝a2＋b2－ab.
∴a2＋b2＝ab＝×9＝15，即a2＋b2＝15，则(a＋b)2＝a2＋b2＋2ab＝15＋18＝33，即a＋b＝.
9.【答案】　
【解析】因为a2＋b2－c2＝ab，
所以由余弦定理得cos C＝＝＝，又0＜C＜π，所以C＝.因为acsin B＝2sin C，所以结合正弦定理可得abc＝2c，所以ab＝2.故S△ABC＝absin C＝×2sin ＝.
10.【答案】　
【解析】因为cos A(sin C－cos C)＝cos B，所以cos A(sin C－cos C)＝－cos (A＋C)，所以cos Asin C＝sin A sin C，所以sin C(cos A－sin A)＝0，因为C∈(0，π)，所以sin C≠0，cos A＝sin A，则tan A＝1，又A∈(0，π)，所以A＝，又＝，即＝，所以sin C＝，因为c