考向15 三角函数的图像变换（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

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考向15 三角函数的图像变换

1．【2022年新高考1卷】记函数的最小正周期为．若，且的函数图象关于点中心对称，则
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，的函数图象关于点中心对称，则有，且，所以，则；解得，由得，，故．
2． 【2022年浙江卷】为了得到的图像，只要把函数图像上所有点
A．向左平移个单位长度 B． 向右平移个单位长度
C． 向左平移个单位长度 D． 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】函数图像平移满足左加右减，，因此需要将函数图像向右平移个单位长度，可以得到的图像。故本题选D．
【点晴】
三角函数图象变换中的三个注意点:
(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；
(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；
(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位．

3.【2022年甲卷文科第11题】将函数f的图像向左平移个单位长度后得到曲线C，若C
关于y轴对称，则的最小值是：
A
【答案】C
【解析】记为向左平移个单位后得到的曲线，则==由关于Y轴对称，可得：，，故有，所以的最小值为.选C.
4．【2022年甲卷理科第11题】已知区间在上恰有三个极值点，两个零点，则的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设，则，有两个零点可得，即。又因为有三个极值点，，所以，所以，综上得,即选C．


函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
1、的作用
（1）称为振幅，与一个周期中所达到的波峰波谷有关
（2）：称为频率，与的周期相关，即
（3）：称为初相，一定程度上影响的对称轴，零点
2、的常规求法：
（1）：
① 对于可通过观察在一个周期中所达到的波峰波谷（或值域）得到
② 对于可通过一个周期中最大，最小值进行求解：
（2）：由可得：只要确定了的周期，即可立刻求出，而的值可根据对称轴（最值点）和对称中心（零点）的距离进行求解
① 如果相邻的两条对称轴为，则
② 如果相邻的两个对称中心为，则
③ 如果相邻的对称轴与对称中心分别为，则
注：在中，对称轴与最值点等价，对称中心与零点等价.
（3）：在图像或条件中不易直接看出的取值，通常可通过代入曲线上的点进行求解，要注意题目中对的限制范围

1．函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”．
2．由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0，φ＞0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度．

1.用“五点法”作函数y＝Asin(ωx＋φ)的简图，精髓是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象，其中相邻两点的横向距离均为.
2.求参数的顺序问题：理论上，三个参数均可以通过特殊点的代入进行求解，但由于与函数性质联系非常紧密，所用通常先抓住波峰波谷以确定的值，再根据对称轴对称中心的距离确定，进而求出，最后再通过代入一个特殊点，并根据的范围确定.
3.求时特殊点的选取：往往优先选择最值点，因为最值点往往计算出的值唯一，不会出现多解的情况.如果代入其它点（比如零点），有时要面临结果取舍的问题.

1.若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间[，]上单调递减，则ω的取值范围是(　　)
A．[0，] B．[0，] C．[，3] D．[，3]
2．已知函数经过点，且在上只有一个零点，则的最大值为（       ）
A． B． C．2 D．
3．若函数的图象由函数的图象经过以下变换得到的， 则该变换为（       ）
A．向左平移 个单位长度 B．向左平移 个单位长度
C．向右平移 个单位长度 D．向右平移 个单位长度
4．已知三角函数﹐（且）的部分图像如图所示，则（       ）

A． B．
C． D．
5．已知直线是函数的图像的一条对称轴，为了得到函数的图像，可把函数的图像（       ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
6．已知函数，将函数的图象向左平移个单位长度，得到函数的部分图象如图所示，则（       ）

A． B． C． D．
7．函数的部分图像如图所示，现将的图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，则的表达式可以为（       ）

A． B．
C． D．
8.已知函数f(x)＝2sin ωx在区间[－，]上的最小值为－2，则ω的取值范围是________．


1．（2022·青海·海东市教育研究室一模（理））已知定义在上的函数，若的最大值为，则的取值最多有（       ）
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
2．（2022·上海松江·二模）设函数图像的一条对称轴方程为，若、是函数的两个不同的零点，则的最小值为（       ）
A． B． C． D．
3．将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若在上为增函数，则最大值为（       ）
A． B． C． D．
4．（2022·全国·模拟预测（文））已知函数的一个对称中心为，在区间上不单调，则的最小正整数值为（       ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．已知函数 的部分图象如图所示．将函数的图象向左平移 个单位得到 的图象，则（　　）


A． ） B．
C． D．
6．（2022·青海·模拟预测（理））若，分别是函数的零点和极值点，且在区间上，函数存在唯一的极大值点，使得，则下列数值中，的可能取值是（       ）
A． B． C． D．
7．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））将函数的图象向右平移 个单位长度，然后将所得图象上所有点的横坐标缩小到原来的 （纵坐标不变），得到函数的图象，则当时，函数的值域为（       ）
A． B． C． D．
8．（2022·青海·海东市第一中学模拟预测（理））已知函数，若函数f(x)在上单调递减，则实数ω的取值范围是（       ）
A． B． C． D．
9．（2022·广东·深圳市光明区高级中学模拟预测）设函数，若时，的最小值为，则（       ）
A．函数的周期为
B．将函数的图像向左平移个单位，得到的函数为奇函数
C．当，的值域为
D．函数在区间上的零点个数共有6个
10．（2022·安徽·合肥市第八中学模拟预测（文））若函数(其中)图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，且函数在该对称轴处取得最小值，为了得到的图象，则只要将f（x）的图象（　　）
A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度
C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度
二、多选题
11．（2022·全国·模拟预测）已知函数的图象关于直线对称，则（       ）
A．是奇函数 B．的最小正周期是π
C．的一个对称中心是 D．的一个递增区间是
12．（2022·全国·模拟预测）函数的部分图像如图所示，则（       ）


A． B．
C．函数在上单调递增 D．函数图像的对称轴方程为
三、填空题
13．（2022·上海闵行·二模）若函数的图像向右平移个单位后是一个奇函数的图像，则正数的最小值为___________；
14．（2022·上海市嘉定区第二中学模拟预测）已知函数，其中， ，恒成立，且在区间 上恰有个零点，则的取值范围是______________．


1.（2021·全国·高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（       ）
A． B． C． D．
2.（2017·山东·高考真题（理））设函数，其中.已知.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
3.（2018·天津·高考真题（理））将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A．在区间上单调递增 B．在区间上单调递减
C．在区间上单调递增 D．在区间上单调递减
4.（2019·天津·高考真题（文））已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（ ）
A． B． C． D．
5（2020·天津·高考真题）已知函数．给出下列结论：
①的最小正周期为；
②是的最大值；
③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．
其中所有正确结论的序号是（       ）
A．① B．①③ C．②③ D．①②③
5.【多选题】（2020·海南·高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （       ）

A． B． C． D．
6.（2021·全国·高考真题（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．

7.（2021·全国·高考真题（文））已知函数的部分图像如图所示，则_________.



1.【答案】D
【解析】令＋2kπ≤ωx≤π＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，因为f(x)在[，]上单调递减，所以得：6k＋≤ω≤4k＋3.又ω>0，所以k≥0，又6k＋<4k＋3，得0≤k<，所以k＝0.即≤ω≤3，故选D.
2．【答案】C
【解析】因为经过点，
所以，因为，所以，
即，令，
因为，所以，
因为在上只有一个零点，
所以有，所以的最大值为，
故选：C
3．【答案】D
【解析】由题意，函数，
所以函数向右平移 个单位长度，即可得到.
故选：D.
4．【答案】B
【解析】最小正周期为，，
，又，所以，，．
故选：B．
5．【答案】B
【解析】依题意，直线是函数的图像的一条对称轴，
则，即，
解得，因为，所以，
所以函数．
将的图像，
向右平移个单位长度得．
故选：B．
6．【答案】A
【解析】平移不改变振幅和周期，所以由图象可知，
，解得：,
函数的图象向左平移个单位长度，得
当时，，且，
得
所以，.
故选：A
7．【答案】B
【解析】由图像可知：，；
又，，又，，
，由五点作图法可知：，解得：，；
.
故选：B.
8.【答案】(－∞，－2]∪[，＋∞)
【解析】显然ω≠0.若ω>0，当x∈[－，]时，－ω≤ωx≤ω，
因为函数f(x)＝2sin ωx在区间[－，]上的最小值为－2，
所以－ω≤－，解得ω≥.若ω<0，当x∈[－，]时，ω≤ωx≤－ω，
由题意知ω≤－，即ω≤－2.所以ω的取值范围是(－∞，－2]∪[，＋∞)．

1．【答案】A
【解析】若的最大值为，分两种情况讨论：
①当，即时，根据正弦函数的单调性可知，，解得；
②当，即时，根据正弦函数的单调性可知，在上单调递增，所以，结合函数与在上的图像可知，存在唯一的，使得.
综上可知，若的最大值为，则的取值最多有2个.
故选：A．


2．【答案】B
【解析】由题知，则，
因为，所以
所以
易知的最小值为.
故选：B
3．【答案】A
【解析】依题意，，由，得：，于是得的一个单调递增区间是，因在上为增函数，因此，，即有，解得，即最大值为．
故选：A.
4．【答案】B
【解析】由函数的一个对称中心为，
可得，
所以，，，，
，由在区间上不单调，
所以在区间上有解，
所以，在区间上有解，
所以，所以，，
又，所以，所以，
当时，，此时的最小正整数为.
故选：B
5．【答案】D
【解析】由图象知，，∵，
∴，又，∴，∴，
∵将函数的图象向左平移个单位得到的图象，
∴，故选：D．
6．【答案】C
【解析】设函数的最小正周期为T,由题意得则其中在区间上，
函数存在唯一的极大值点，使得，
所以解得即解得
对于D.若，则由且可知可使成立，
当时当或时，都成立，
故不符合；
对于C. 若，则，且可知
可使成立，当时，当时，存在唯一的极大值点，使得，故符合条件；
对于B. 若，则由且可知
可使成立，当时，
当或时，都成立，故不符合；
对于A. 若，则由 且可知
可使成立，当时，，
当或时，都成立，故不符合；
故选：C
7．【答案】D
【解析】将的图象向右平移个单位长度得：
的图象，
再将图象上各点的横坐标缩小到原来的（纵坐标不变）得：的图象，
因为，所以，所以．
所以函数的值域为．故选：D
8．【答案】B
【解析】函数，
由函数f(x)在上单调递减，且，
得，，解，.
又因为ω>0，，所以k＝0，所以实数ω的取值范围是.
故选：B
9．【答案】D
【解析】由题意，得，所以，则，所以选项A不正确；
对于选项B：将函数的图像向左平移个单位，得到的函数是
为偶函数，所以选项B错误；
对于选项C：当时，则，所以的值域为，选项C不正确；
对于选项D：令，所以当时，，所以函数在区间上的零点个数共有6个，D正确，
故选：D.
10．【答案】D
【解析】函数图象的一个对称中心为，其相邻一条对称轴方程为，
所以，所以.
因为函数在时取得最小值，所以，，
∴   ，
∵∴∴
根据平移变换规律可知，向左平移个单位，可得函数，
所以向左平移个单位可得的图象，
故选：D.
二、多选题
11．【答案】BD
【解析】B．的最小正周期是，B正确；
A．由于的图象关于直线对称，且最小正周期是，因此的图象也关于直线对称，故是偶函数，A错误；
C．因为是偶函数，且最小正周期是π，则或，根据可得解析式为前者．的对称中心为，，C错误；
D．由于，在单调递增，D正确．
故选：BD.
12．【答案】AD
【解析】由图像知函数的周期，解得：，所以A对；
由五点对应法得，因为，所以，所以B错误，所以．
当时，函数单调递减.取，得的一个单调递减区间为，所以C错，
函数图像的对称轴方程为，即，所以D对．
故选：AD
三、填空题
13．【答案】
【解析】，向右平移个单位后解析式为，
则要想使得为奇函数，只需，
解得：，
因为，所以，，解得：，，
当时，正数取得最小值，所以.
故答案为：
14．【答案】
【解析】由已知得：恒成立，则 ，
，
由得，
由于在区间 上恰有3个零点，
故，则， ，
则,
只有当时，不等式组有解，此时，故，故答案为：




1.【答案】B
【解析】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，
根据已知得到了函数的图象，所以，
令,则,
所以,所以；
解法二：由已知的函数逆向变换，
第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，
第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，
即为的图象，所以.
故选：B.
2.【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) .
【解析】（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到
由题设知及可得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
从而.
根据得到，进一步求最小值.
试题解析：（Ⅰ）因为，
所以
由题设知，所以，.故，，又，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以.
因为，所以，当，即时，取得最小值.
3.【答案】A
【解析】由函数图象平移变换的性质可知：
将的图象向右平移个单位长度之后的解析式为：
.则函数的单调递增区间满足：，
即，
令可得一个单调递增区间为：.
函数的单调递减区间满足：，
即，
令可得一个单调递减区间为：，本题选择A选项.
4.【答案】C
【解析】因为为奇函数，∴；
又，，又
∴，故选C．
5【答案】B
【解析】因为，所以周期，故①正确；
，故②不正确；
将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，
故③正确.故选：B.
6.【答案】BC
【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,
不妨令,
当时，，
解得：，
即函数的解析式为：.
而故选：BC.
7.【答案】2
【解析】由图可知，即，所以；
由五点法可得，即；
所以.
因为，；
所以由可得或；
因为，所以，
方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，
解得，令，可得，
可得的最小正整数为2.
方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.
故答案为：2.
8.【答案】
【解析】由题意可得：，
当时，，
令可得：，
据此有：.
故答案为：.
【规律方法】
确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A＞0，ω＞0)的解析式的步骤
(1)求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝.
(2)求ω，确定函数的周期T，则ω＝.
(3)求φ，常用方法为代入法，即把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入．