考向13 简单的三角恒等变换（重点）-备战2023年高考数学一轮复习考点微专题（全国通用）（学生版）

考向13  简单的三角恒等变换

1．【2022年新高考2卷第6题】角满足，则

 A． B． 

C． D．

【答案】D

【解析】解法一：设则，取，排除A，C；

再取则，取，排除B；选D．

解法二：由

，

故，

故，即，

故，

故，故．故选D.

2.【2022年北京卷第5题】已知函数，则

 （A）在上单调递减 （B）在上单调递增

 （C）在上单调递减 （D）在上单调递增

【答案】C

【解析】因为.

对于A选项，当时，，则在上单调递增，A错；

对于B选项，当时，，则在上不单调，B错；

对于C选项，当时，，则在上单调递减，C对；

对于D选项，当时，，则在上不单调，D错.

故选：C.

3．【2022年浙江卷第13题】若，则         ，         ．

【答案】

【解析】由题，所以，解得．

所以．

1.三角函数公式的应用策略

(1)使用两角和、差及倍角公式，首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反．”

(2)使用公式求值，应注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用．　
2.三角函数公式活用技巧

①逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式；

②tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，注意公式的正用、逆用和变形使用．

3.三角函数公式逆用和变形使用应注意的问题

①公式逆用时一定要注意公式成立的条件和角之间的关系；

②注意特殊角的应用，当式子中出现，1，，等这些数值时，一定要考虑引入特殊角，把“值变角”以便构造适合公式的形式．　

4.三角公式求值中变角的解题思路

①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示为两个“已知角”的和或差的形式；

②当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，再应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”．

5.三角函数名的变换技巧

明确各个三角函数名称之间的联系，常常用到同角关系、诱导公式，把正弦、余弦化为正切，或者把正切化为正弦、余弦．　

1.降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.

2.升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.

3.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β)，

1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，

1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，

sin α±cos α＝sin.

4.辅助角公式

asin x＋bcos x＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝.

1.明确二倍角是相对的，如：是的2倍，3α是的2倍．

2.解题时注意观察角、名、结构等特征，注意利用整体思想解决相关问题．

3.运用公式时要注意公式成立的条件，要注意和、差、倍角的相对性，要注意升幂、降幂的灵活运用，要注意“1”的各种变形．

4.在三角求值时，往往要估计角的范围后再求值．特别是在(0，π)内，正弦值对应的角不唯一．

1．sin2＋sin2－sin2α＝(　　)

A．－    B．－     C.     D.

2．已知sin α＝，α∈，tan(π－β)＝，则tan(α－β)的值为(　　)

A．－     B.     C.     D．－

3.已知sin α＋cos α＝，则cos＝(　　)

4．若＝sin 2θ，则sin 2θ＝(　　)

A．     B．      C．－     D．－

5．(多选)下列各式的值等于的是(　　)

A．2sin 67.5°cos 67.5°   B．2cos2－1

C．1－2sin215°   D．

6．(多选)下列四个命题中是真命题的是(　　)

A．∃x∈R，sin2＋cos2＝

B．∃x，y∈R，sin(x－y)＝sin x－sin y

C．∀x∈[0，π], ＝sin x

D．sin x＝cos y⇒x＋y＝

7．求4sin 20°＋tan 20°的值为________．

8．若cos α＝－，α是第三象限的角，则sin＝________．　

9.已知α，β都是锐角，cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，则cos 2α＝________．

10．已知sin α＝－，α∈，若＝2，则tan(α＋β)＝________．

一、单选题

1．（2022·广西桂林·模拟预测（文））若，则（       ）

A． B． C． D．

2．（2022·广东汕头·二模）若，则实数的值为（       ）

A． B． C． D．

3．（2022·湖北武汉·二模）设，则（       ）

A． B． C． D．

4．（2022·陕西·西北工业大学附属中学模拟预测（理））已知不等式对恒成立，则m的最小值为（       ）

A． B． C． D．

5．（2022·福建省福州第一中学三模）若，且，则（       ）

A． B． C．2 D．2

6．（2022·河南·长葛市第一高级中学模拟预测（文））设，，在平面直角坐标系内，点为角终边上任意一点，则的一个对称中心为（       ）

A． B． C． D．

7．（2021·上海虹口·二模）在平面上，已知定点，动点.当在区间上变化时，动线段所形成图形的面积为（       ）

A． B． C． D．

8．（2022·浙江绍兴·模拟预测）已知，设函数，，若当对恒成立时，的最大值为，则（       ）

A． B． C． D．

二、多选题

9．（2022·全国·模拟预测）已知函数，则下列说法正确的有（       ）

A．函数的最大值为2

B．函数在区间上单调递增

C．函数图像的一个对称中心为

D．将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像

10．（2022·山东·肥城市教学研究中心模拟预测）向量 函数，则下述结论正确的有（       ）

A．若的图像关于直线对称，则可能为

B．周期时，则的图像关于点对称

C．若的图像向左平移个单位长度后得到一个偶函数，则的最小值为

D．若在上单调递增，则

三、填空题

11．（2022·黑龙江·鸡东县第二中学二模）已知，则的值为______．

12．（2021·江西九江·二模（文））费马点是指位于三角形内且到三角形三个顶点距离之和最小的点.当三角形三个内角都小于时，费马点与三角形三个顶点的连线构成的三个角都为.已知点为的费马点，角，，的对边分别为，，，若，且，则的值为__________.

13．（2022·全国·模拟预测）已知，，则______．

14．（2021·广东深圳·二模）著名的费马问题是法国数学家皮埃尔德费马（1601-1665）于1643年提出的平面几何极值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小．”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当的三个内角均小于时，则使得的点即为费马点．已知点为的费马点，且，若，则实数的最小值为_________．

1．（2021·北京高考真题）若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的___．

2．(2021年高考全国甲卷理科)若，则 (　　)

A． B． C． D．

3．(2020年高考数学课标Ⅱ卷理科)若α为第四象限角，则 (　　)

A．cos2α>0 B．cos2α<0 C．sin2α>0 D．sin2α<0

4．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)已知，且，则 (　　)

A． B． C． D．

5．(2020年高考数学课标Ⅲ卷理科)已知2tanθ–tan(θ+)=7，则tanθ= (　　)

A．–2 B．–1 C．1 D．2

6．(2019年高考数学课标全国Ⅱ卷理科)已知，，则 (　　)

A． B． C． D．

7．(2018年高考数学课标Ⅲ卷（理）)若，则 (　　)

A． B． C． D．

8．(2018年高考数学课标Ⅱ卷（理）)若在是减函数，则的最大值是 (　　)

A． B． C． D．

9．(2016高考数学课标Ⅲ卷理科)若,则 (　　)

A． B． C． D．

10．(2016高考数学课标Ⅱ卷理科)若，则 (　　)

A． B． C． D．

1．【答案】C

【解析】原式＝＋－sin2α＝1－·[cos＋cos]－sin2α＝1－cos 2αcos －sin2α＝1－－＝.

2．【答案】A

【解析】因为sin α＝，α∈，所以cos α＝－＝－，

所以tan α＝＝－.

因为tan(π－β)＝＝－tan β，所以tan β＝－，

则tan(α－β)＝＝－.

3.【答案】C

【解析】由sin α＋cos α＝，得2cos＝，

即cos＝，所以cos＝2cos2－1＝2×－1＝－.故选C.

4．【答案】C

【解析】由题意知＝sin 2θ，

所以2(cos θ＋sin θ)＝sin 2θ，

则4(1＋sin 2θ)＝3sin22θ，

解得sin 2θ＝－或sin 2θ＝2(舍去)．

5．【答案】BC

【解析】选项A，2sin 67.5°cos 67.5°＝sin 135°＝.选项B，2cos2－1＝cos ＝.选项C，1－2sin215°＝cos 30°＝.选项D，＝tan 45°＝1.故选BC.

6．【答案】BC

【解析】.因为sin2＋cos2＝1≠，所以A为假命题；当x＝y＝0时，sin(x－y)＝sin x－sin y，所以B为真命题；因为 ＝ ＝|sin x|＝sin x，x∈[0，π]，所以C为真命题；当x＝，y＝2π时，sin x＝cos y，但x＋y≠，所以D为假命题．故选BC.

7．【答案】

【解析】原式＝4sin 20°＋

＝＝

＝＝.

8．【答案】－

【解析】因为α是第三象限角，所以sin α＝－＝－，所以sin＝－×＋×＝－.

9.【答案】－.

【解析】因为α，β都是锐角，所以0<α＋β<π，－<α－β<，

又因为cos(α＋β)＝，sin(α－β)＝，所以sin(α＋β)＝，cos(α－β)＝，则

cos 2α＝cos[(α＋β)＋(α－β)]＝cos(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)sin(α－β)＝×－×＝－.

10．【答案】.

【解析】因为sin α＝－，α∈，所以cos α＝.

又因为＝2，所以sin(α＋β)＝2cos[(α＋β)－α]．

展开并整理，得cos(α＋β)＝sin(α＋β)，所以tan(α＋β)＝.

1．【答案】C

【解析】令可得，故，则

故选：C

2．【答案】A

【解析】由已知可得

.

故选：A.

3．【答案】A

【解析】.

故选：A.

4．【答案】D

【解析】因为不等式对恒成立，

所以不等式对恒成立，

令，因为，所以，

则，所以，所以，解得，

所以m的最小值为，

故选：D

5．【答案】D

【解析】，故，

可解得或，又，故，故，

故选：D

6．【答案】A

【解析】根据已知得到，

，

所以，又因为

，

所以，所以点．不妨取，所以，令，，，，所以对称中心为，，

当时，函数的一个对称中心是

故选：A

7．【答案】D

【解析】因为，所以点在单位圆上，

由于，，

所以，是其与轴正方向的有向角为，

，则，

记点，，所以，点的轨迹是劣弧，

所以，动线段所形成图形为阴影部分区域，

因为，因此，阴影部分区域的面积为.

故选：D.

【点睛】关键点点睛：本题考查动线段运动轨迹图形的面积，解题的关键在于确定动点的轨迹图形，数形结合求出图形的面积.

8．【答案】A

【解析】设，因为的最大值为，所以时，必取到最值，

当时，根据余弦函数对称性得，此时

或者，此时

由，

设时 对应解为，

由上分析可知

当，或，时，满足的最大值为，

所以，即，所以.

或，即或，

故选：A.

9．【答案】AD

【解析】，

所以函数的最大值为2，所以A选项正确．

因为函数在区间上单调递增，所以函数在上单调递减，所以B选项不正确．

当时，，所以为对称轴，所以C选项不正确．

函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像，所以D选项正确．

故选：AD．

10．【答案】ACD

【解析】

，

对于A选项，若的图像关于直线对称，则，所以，当时，，故A正确；

对于B选项，当，则=2，令，，当时，，所以关于对称，故B错误；

对于C选项，若的图像向左平移个单位长度后得到，

所以，又，所以，故C正确；

对于D选项，因为函数在上递增，所以，故D正确.

故选：ACD.

11．【答案】

【解析】因为，

所以，故答案为：.

12．【答案】6

【分析】化简求得，结合余弦定理以及求得，利用三角形的面积列方程，化简求得

【详解】∵，

∴，即，

∵，∴，

∴，即，

∵，∴，

∵，∴，由余弦定理知，，

∵，∴，

∴，

∴.

故答案为：6

【点睛】三角恒等变换是化简已知条件常用的方法，在解决与三角形有关的问题时，要注意结合余弦定理、正弦定理、三角形的面积公式.

13．【答案】

【解析】由题知，则，即，即，即，则或，．因为，所以，所以，解得．

故答案为：

14．【答案】

【解析】根据题意, 点为的费马点，的三个内角均小于,

所以，

设，所以在和中，，且均为锐角，所以

所以由正弦定理得：，，

所以，，

因为

所以

，

因为，所以，所以，

所以

故实数的最小值为.

故答案为：

【点睛】本题考查数学文化背景下的解三角形，三角恒等变换解决三角函数取值范围问题，考查运算求解能力，数学建模能力，化归转化思想，是难题.本题解题的关键在于根据题目背景，通过设，进而建立解三角形的模型，再根据正弦定理及三角恒等变换化简求最值即可.

1．【答案】（满足即可）

【解析】与关于轴对称，

即关于轴对称， ，则，

当时，可取的一个值为.故答案为：（满足即可）.

2．【答案】A

【解析】

，

，，，解得，

，．

3．【答案】D

【解析】方法一：由α为第四象限角，可得，

所以

此时的终边落在第三、四象限及轴的非正半轴上，所以

故选：D．

方法二：当时，，选项B错误；

当时，，选项A错误；

由在第四象限可得：，则，选项C错误，选项D正确；

故选：D．

【点睛】本题主要考查三角函数的符号，二倍角公式，特殊角的三角函数值等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力．

4．【答案】A

【解析】，得，

即，解得或（舍去），

又．
故选：A．

5．【答案】D

【解析】，，

令，则，整理得，解得，即．

故选：D．

6．【答案】B

【解析】∵，∴.,∴，，

∴，又，∴，，又，∴，故选B．

【点评】利用二倍角公式得到正余弦关系，利用角范围及正余弦平方和为关系得出答案．本题为三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负，很关键，切记不能凭感觉．

7．【答案】B

【解析】，故选B．

8．【答案】A

【解析】由已知，得，即，

解得，即，所以，得，

所以的最大值是，故选A．

9．【答案】A

【解析】由,得,或,

所以,故选A.

10．【答案】C

【解析】∵，，故选D．