2023南阳一中高一下学期3月月考数学试题含答案

这是一份2023南阳一中高一下学期3月月考数学试题含答案，共19页。试卷主要包含了已知tanα＝3，则＝，若函数f，函数f，已知等内容，欢迎下载使用。

河南省南阳市第一中学学校 2022-2023高一下学期
数学3月份月考试卷卷一
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡的相应位置上。写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题，共60分）

一．选择题（共12小题，满分60分，每小题5分）
1．下列坐标所表示的点是函数图象的对称中心的是（　　）
A． B． C． D．
2．sin1•sin2•sin3•sin4的符号为（　　）
A．正 B．0 C．负 D．无法确定
3．已知函数的部分图象如图所示，则（　　）

A． B．
C． D．
4．已知tanα＝3，则＝（　　）
A． B． C． D．
5．记某时钟的中心点为O，分针针尖对应的端点为A．已知分针长OA＝5cm，且分针从12点位置开始绕中心点O顺时针匀速转动．若以中心点O为原点，3点和12点方向分别为x轴和y轴正方向建立平面直角坐标系，则点A到x轴的距离y（单位：cm）与时间t（单位：min）的函数解析式为（　　）
A．y＝5|sint| B．y＝5|cost| C．y＝5|sint| D．y＝5|cost|
6．由于潮汐，某港口一天24h的海水深度H（单位：m）随时间t（单位：h，0≤t＜24）的变化近似满足关系式，则该港口一天内水深不小于10m的时长为（　　）
A．12h B．14h C．16h D．18h
7．将函数向右平移个单位长度得到函数g（x），若函数g（x）在上的值域为[﹣2，1]，则实数m的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．若函数f（x）＝3sin（ωx+φ）（ω＞0）的图像的相邻两个对称中心的距离是，且图像过点，则下列结论不正确的是（　　）
A．函数f（x）在上是减函数
B．函数f（x）的图像的一条对称轴为
C．将函数f（x）的图像向右平移个单位长度后的图像关于y轴对称
D．函数f（x）的最小正周期为π
9．函数f（x）＝sin（ωx﹣）的图象关于点（，0）中心对称，且在区间（0，π）恰有三个极值点，则（　　）
A．f（x）在区间（﹣，）单调递增
B．直线x＝是曲线y＝f（x） 的对称轴
C．f（x） 在区间（﹣π，π）有5个零点
D．f（x）图象向左平移个单位，所得图象对应的函数为奇函数
10．已知．给出下列说法，其中，正确的说法的个数为
①若f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|min＝π，则ω＝2；
②存在ω∈（0，2），使得f（x）的图象右移个单位长度后得到的图象关于y轴对称；
③若f（x）在[0，2π]上恰有7个零点，则ω的取值范围为
④若f（x）在上单调递增，则ω的取值范围为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
11．已知函数f（x）＝2sin（2x+）﹣2sin2（x+）+1，把函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）的图象，若x1、x2是g（x）＝m在[0，]内的两根，则sin（x1+x2）的值为（　　）
A． B． C．﹣ D．﹣
12．已知函数f（x）＝sinωx+acosωx，周期T＜2π，，且在处取得最大值，则使得不等式λ|ω|﹣a≥0恒成立的实数λ的最小值为（　　）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题,共90分）

二．填空题（共4小题，满分20分，每小题5分）
13．cos+tan225°+sin＝　 　．
14．已知函数y＝sinωx（ω＞0）在区间上恰有两个零点，则ω的取值范围为 　 　．
15．把函数的图象向右平移个单位长度后得到函数g（x）的图象．若函数g（x）在[，θ]上的值域是[，3]，则θ＝　 　．
16．如图，OPQ是半径为2，∠POQ＝α的扇形，C是弧PQ上的点，ABCD是扇形的内接矩形，设∠COP＝θ，若，四边形ABCD面积S取得最大值，则cosθ的值为 　 　．

三．解答题（共6小题，满分70分）
17．在平面直角坐标系xOy中，角α的始边为x轴的非负半轴，终边在第二象限且与单位圆交于点P，点P的纵坐标为．
（1）求sinα+cosα和tanα的值；
（2）若将射线OP绕点O逆时针旋转，得到角β，求．
18．要得到函数的图象，可以从正弦函数y＝sinx图象出发，通过图象变换得到，也可以用“五点法”列表、描点、连线得到．
（1）由y＝sinx图象变换得到函数的图象，写出变换的步骤和函数；
（2）用“五点法”画出函数在区间上的简图．

19．已知函数，x∈R．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间上的最大值和最小值；
（Ⅲ）若，，求cos2x0的值．
20．在①f（x）的图像关于直线对称，②f（x）的图像关于点对称，③f（x）在上单调递增这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，若问题中的正实数a存在，求出a的值；若a不存在，说明理由．
已知函数的最小正周期不小于，且____，是否存在正实数a，使得函数f（x）在[0，]上有最大值3？
21．已知△ABC的三个内角分别为A，B，C，且sinCsin（B+）＝sinA．
（1）求的值；
（2）已知函数f（B）＝k（sinB+cosB）+sinBcosB（k∈R），若函数g（x）＝log2（x2﹣4cosA•x+2cosA）的定义域为R，求函数f（B）的值域．
22．函数f（x）＝2cos（2x﹣θ+）（0）是偶函数．
（Ⅰ）求θ；（Ⅱ）将函数y＝f（x）的图象先纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，再向左平移个单位，最后向上平移1个单位得到y＝g（x）的图象，若关于x的方程g（x）﹣﹣1＝0在x∈[﹣，]有两个不同的根α，β，求实数m的取值范围及α+β的值．

河南省南阳市第一中学学校 2022-2023高一下学期数学3月份月考试卷卷一
参考答案与试题解析
一．选择题（共12小题）
1．【解答】解：令2x﹣＝kπ，k∈Z，则x＝+，k∈Z，
当k＝0时，x＝，所以该函数的一个对称中心为（，0）．
故选：A．
2．【解答】解：因为sin1＞0，sin2＞0，sin3＞0，sin4＜0，
sin1•sin2•sin3•sin4＜0．
故选：C．
3．【解答】解：由图象知A＝2，＝＝3，得周期T＝4，即T＝，得ω＝，
则f（x）＝2sin（x+φ），
由五点对应法得×（﹣）+φ＝0，得φ＝，
即f（x）＝2sin（x+），
故选：D．
4．【解答】解：．
故选：B．
5．【解答】解：如图所示：

由题意得分针每分钟转＝rad，
则t分钟后转了trad，
则点A到x轴的距离y与时间t的关系可设为：
y＝5|sin（﹣t+φ）|，
当t＝0时，点A在钟表的12点处，此时y＝5，
所以5＝5|sin（﹣×0+φ）|⇔|sinφ|＝1，
所以可以取φ＝，
此时y＝5|cost|．
故选：D．
6．【解答】解：由题意，可知某港口一天24h的海水深度H（单位：m）随时间t（单位：h，0≤t＜24）的变化近似满足关系式，
即，
因为0≤t＜24，所以，
由正弦函数图象与性质可知，，解得6≤t≤22，
所以该港口一天内水深不小于10m的时长为22﹣6＝16小时，
故选：C．
7．【解答】解：将函数向右平移个单位长度得到函数g（x），
则g（x）＝2sin[2（x﹣）+]﹣1＝2sin（2x+）﹣1，
∵g（x）在上的值域为[﹣2，1]，
∴2sin（2x+）﹣1∈[﹣2，1]，
即sin（2x+）∈[﹣，1]，
当﹣≤x≤m时，﹣≤2x≤2m，﹣≤2x+≤2m+，
当2x+＝﹣时，y＝sin（﹣）＝，
则≤2m+≤，
得≤2m≤，得≤m≤，
即实数m的取值范围是[，]，
故选：B．
8．【解答】解：∵根据题意可得＝，
∴函数f（x）的周期T＝π，
∴ω＝＝2，
又函数f（x）的图像过点，
∴3sin（+φ）＝﹣3，
∴，k∈Z，
∴φ＝，k∈Z，
∴f（x）＝3sin（2x）＝3sin（2x+），
对A选项，令，k∈Z，
∴，k∈Z，
∴f（x）的单调增区间为[+kπ，+kπ]，k∈Z，
∴又⊈为[+kπ，+kπ]，k∈Z，
∴A选项错误；
对B选项，∵f（）＝3sin（+）＝﹣3，
∴f（x）的图像的一条对称轴为，∴B选项正确；
对C选项，∵将函数f（x）的图像向右平移个单位长度后，
可得y＝3sin[2（x﹣）+]＝3sin（2x﹣）＝﹣3cos2x，其为偶函数，
∴平移后的函数的图像关于y轴对称，∴C选项正确；
对D选项，∵f（x）的最小正周期为＝π，∴D选项正确．
故选：A．
9．【解答】解：由已知得＝0⇒，
解得①，k∈Z，
因为f（x）在区间（0，）恰有三个极值点，故，
解得，结合①得ω＝3，所以f（x）＝sin（3x﹣），
对于A，x∈（﹣，）时，，y＝sinx此时先减后增，故A错误；
对于B，因为f（）＝﹣1是最小值，故x＝是曲线y＝f（x） 的对称轴，B正确；
对于C，x∈（﹣π，π）时，∈（﹣3，），y＝sinx此时有﹣3π，﹣2π，﹣π，0，π，2π，共6个零点，故C错误；
对于D，f（x）图象向左平移个单位，所得图象对应的函数f（x）＝sin（3x）为非奇非偶函数，故D错误．
故选：B．
10．【解答】解：函数f（x）＝1﹣2cos2（ωx+）＝﹣cos（2ωx+）；
对于①，若f（x1）＝1，f（x2）＝﹣1，且|x1﹣x2|min＝π，
所以f（x）的最小正周期为2π，即＝2π，解得ω＝，命题①错误；
对于②，因为f（x）的图象右移个单位长度后，
得y＝f（x﹣）＝﹣cos[2ω（x﹣）+]＝﹣cos[2ωx+（﹣）]，
由函数图象关于y轴对称，令﹣＝kπ，k∈Z，解得ω＝﹣3k+2，k∈Z，
所以对任意整数k，都有ω∉（0，2），命题②错误；
对于③，由题意知，﹣≤2π＜﹣，解得≤ω＜，
所以f（x）在[0，2π]上恰有7个零点时，ω的取值范围是，命题③正确；
对于④，由题意知，，解得ω≤，又因为ω＞0，所以0＜ω≤，
即f（x）在上单调递增时，ω的取值范围是，命题④正确．
综上知，正确的命题序号是③④，共2个．
故选：B．
11．【解答】解：函数f（x）＝2sin（2x+）﹣2sin2（x+）+1＝2sin（2x+）+cos（2x+）＝sin（2x++θ），
其中，cosθ＝ sinθ＝，
把函数f（x）的图象向右平移个单位，得到函数g（x）＝sin（2x+θ）的图象，
∵g（x）的周期T＝＝π，
∵x1，x2是g（x）﹣m＝0在[0，]内的两根，
当x1＝0时，可得g（x1）＝sinφ，
当x2＝时，可得g（x2）＝﹣sinφ，
互为相反，
∴x2＝x1+．
即g（x1）＝m，g（x2）＝m，
可得：sin（2x1+φ）＝sin（2x1+π+φ）＝﹣sin（2x1+φ）
令2x1+φ＝0，
可得：x1＝φ．
x2＝+φ．
那么：sin（x1+x2）＝sin（+φ）＝cosφ＝．
故选：A．
12．【解答】解：∵f（x）＝sinωx+acosωx＝sin（ωx+φ），其中tanφ＝a，
∵x＝处取得最大值
∴ω+φ＝+2kπ，即φ＝+2kπ﹣ω，k∈Z，
∴tanφ＝tan（+2kπ﹣ω）＝tan（﹣ω）＝＝a，k∈Z，①
∵f（）＝sin（ω+φ）＝sin（ω++2kπ﹣ω）＝cos＝，k∈Z，
∴cosω＝，②
①×②得sinω＝•，
∴sin2+cos2＝+＝1，
即a4﹣2a2﹣3＝0，解得a＝，
若a＝﹣，则f（x）＝sinωx﹣cosωx＝2sin（ωx﹣），
f（）＝2sin（﹣）＝2，
∴﹣＝+2kπ，k∈Z，
∴ω＝5+12k，
f（）＝2sin（﹣）＝2sin（+4kπ﹣）＝2sin＝﹣，这与f（）＝矛盾，故应舍去．
由①得tan＝tan（+kπ），k∈Z，
∵cos＞0，∴在第一象限，
∴取＝tan（+2kπ），k∈Z，
由T＝＜2π，即|ω|＞1，
∴＝+2kπ，k∈Z，
∴ω＝12k+1，k∈Z，
使|ω|最小，则k＝﹣1，
即|ω|min＝11，
若不等式λ|ω|≥a恒成立，则λ≥（）max＝，
故选：A．
二．填空题（共4小题，满分5分）
13．【解答】解：原式＝cos（π+）+tan（180°+45°）+sin（3π+）＝﹣cos+tan45°﹣sin＝﹣+1﹣＝0．
故答案为：0．
14．【解答】解：当时，则，则f（0）＝0，
要使y＝sinωx（ω＞0）在区间上恰有两个零点，
则，解得2≤ω＜4，
即ω的取值范围是[2，4），
故答案为：[2，4）．
15．【解答】解：由题意可知g（x）＝3sin[2（x﹣）+]＝3sin（2x+），
令2kπ﹣＜2x+＜2kπ，k∈Z，解得x∈（k，k），k∈Z，
所以函数g（x）在（k，k），k∈Z上单调递增，
令2kπ+＜2x+＜2kπ+，k∈Z，解得x∈（k，kπ+），k∈Z，
所以函数g（x）在（k，kπ+），k∈Z上单调递减，
因为函数g（x）在[﹣，θ]上的值域是[﹣，3]，且g（）＝3，
g（﹣）＝3sin[2×（﹣）+]＝0，
所以g（θ）＝﹣，＜θ＜，
所以2θ+＝，θ＝，
故答案为：．
16．【解答】解：∵在直角△OBC中，OB＝cosθ，BC＝sinθ，
又∵在直角△OAD中：＝tanα，
又∵cosα＝，
∴OA＝AD＝BC＝sinθ，
S矩形ABCD＝AB•BC＝（cosθ﹣sinθ）sinθ
＝sin2θ﹣（1﹣cos2θ）
＝sin（2θ+φ）﹣，
当sin（2θ+φ）＝1时，S最大．
即sin2θ+cos2θ＝1⇒sinθcosθ+（cos2θ﹣sin2θ）＝cos2θ+sin2θ．
即（2sinθ﹣cosθ）2＝0，2sinθ＝cosθ，
∵sin2θ+cos2θ＝1，0＜θ＜，
∴cosθ＝．
故答案为：．


三．解答题（共6小题）
17．【解答】解：（1）由题意知，点P的坐标为（﹣，），
所以sinα＝，cosα＝﹣，tanα＝﹣，
所以sinα+cosα＝．
（2）由题意知，β＝α+，
所以＝＝＝＝﹣＝﹣＝﹣4．
18．【解答】解：（1）步骤1：把y＝sinx图象上所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象；
步骤2：把图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；
步骤3：最后把函数的图象的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得到函数的图象．
（2）列表：

0

π

2π
x





y
0
2
0
﹣2
0

19．【解答】解：（Ⅰ）＝2sinx（cosxcos+sinxsin）﹣＝2sinx（）﹣＝sinxcosx+﹣＝＝＝sin（2x﹣），
∵T＝＝π，∴f（x）的最小正周期为π；
（Ⅱ）∵，∴，
∴f（x）在区间上的最大值为，最小值为﹣1；
（Ⅲ）∵，∴sin（）＝﹣＜0，
又∵，∴，
∴cos（）＝﹣，
∴cos2x0＝cos[（2x0﹣）]＝＝﹣．
20．【解答】解：由于函数f（x）的最小正周期不小于，所以，
所以1≤ω≤6，ω∈N*，
若选择①，即f（x）的图像关于直线对称，
有，解得，
由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝3，ω＝4，
此时，，
由，得，
因此当，即时，f（x）取得最大值4+a，
令4+a＝3，解得a＝﹣1，不符合题意．
故不存在正实数a，使得函数f（x）在上有最大值3．
若选择②，即f（x）的图象关于点对称，
则有，解得，
由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝1，ω＝3．
此时，．
由，得，因此当，即时，f（x）取得最大值，
令，解得，不符合题意．
故不存在正实数a，使得函数f（x）在上有最大值3；
若选择③，即f（x）在上单调递增，
则有，
解得，
由于1≤ω≤6，ω∈N*，k∈Z，所以k＝0，ω＝1．
此时，．
由，得，
因此当，即时，f（x）取得最大值，
令，解得，符合题意．
故存在正实数，使得函数f（x）在上有最大值3．
21．【解答】解：（1）因为sinCsin（B+）＝sinA，
所以sinB•sinC+cosB•sinC＝sin（B+C）＝sinB•cosC+cosB•sinC，
即sinB•sinC＝sinB•cosC．
又0＜B＜π，
所以tanC＝1，
可得C＝…2分
可得＝＝﹣2+，…4分
（2）由题意函数g（x）＝log2（x2﹣4cosA•x+2cosA）的定义域为R，得，2cos2A﹣cosA＜0，
所以0＜cosA＜，
所以角A的范围是，
由（1）知C＝，
所以，…6分
设t＝sinB+cosB＝sin（B+），
因为，
所以t∈（1，），…8分
则sinBcosB＝，令y＝h（t）＝t2+kt﹣，t∈（1，）．
（i）当k≥﹣1时，h（1）＝k，h（）＝k+，此时f（B）的值域为（k，k+），…9分
（ii）当﹣≤k＜﹣1时，h（﹣k）＝﹣k2﹣，h（）＝k+，此时f（B）的值域为[﹣k2﹣，k+），…10分
（iii）当﹣＜k＜﹣时，h（﹣k）＝﹣k2﹣，h（1）＝k，此时f（B）的值域为[﹣k2﹣，k），…11分
（iv）当k≤﹣时，h（）＝k+，h（1）＝k，此时f（B）的值域为（k+，k）．…12分
22．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）＝2cos（2x﹣θ+）是偶函数，且0，
∴θ＝；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）＝2cos2x，
将函数y＝f（x）的图象先纵坐标不变，横坐标缩短为原来的倍，得y＝2cos3x的图象；
再向左平移个单位，得y＝2cos3（x+）＝2cos（3x+）的图象；
最后向上平移1个单位得y＝2cos（3x+）+1的图象；
∴y＝g（x）＝2cos（3x+）+1；
又∵g（x）﹣﹣1＝0，
即2cos（3x+）+1﹣﹣1＝0，
∴cos（3x+）＝；
在x∈[﹣，]时，
3x+∈[﹣，]，
y＝cos（3x+）＝有两个不同的根α，β，
∴≤＜1，
解得1＜m≤2；
∴实数m的取值范围是（1，2]；
又∵cos（3x+）＝，
∴3x+＝arccos，或﹣arccos；
即α＝﹣+arccos，β＝﹣﹣arc；
∴α+β＝﹣．
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