数学九年级下册28.1 锐角三角函数教案

这是一份数学九年级下册28.1 锐角三角函数教案，共29页。教案主要包含了查漏补缺，举一反三等内容，欢迎下载使用。

学生姓名
年 级
初三
学 科
数学
上课时间
年 月 日
教师姓名
课 题
锐角三角函数
教学目标
1.理解锐角三角函数的定义.
2.会判断锐角三角函数的增减性比较大小关系..
3.掌握求同角三角函数的运算.
4.掌握互余两角的三角函数运算.
5.掌握特殊角的三角函数值.
教学过程
教师活动
学生活动
1、下列各组图形一定相似的是（ B ）
A．两个矩形 B．两个等边三角形
C．各有一角是80°的两个等腰三角形 D．任意两个菱形
2、如果线段满足，那么= 13 ．
3、如图，点E为▱ABCD中AD边上一点，且AE=12DE，AC与BE相交于点F，则AFFC= 13 ．
4、如图，△ABC的顶点坐标分别为A（1，3），B（4，2），C（2，1）．
（1）作出与△ABC关于x轴对称的△A1B1C1．
（2）以原点O为位似中心，在原点的另一个侧画出△A2B2C2．使ABA2B2=12，并写出的坐标．
【解答】解：（1）如图所示：△A1B1C1，即为所求；
（2）如图所示：△A2B2C2，即为所求；
∵ABA2B2=12，A（1，3），B（4，2），C（2，1），
∴A2（﹣2，﹣6），B2（﹣8，﹣4），C2（﹣4，﹣2）．
1、如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则csB的值是（ A ）
A．35 B．45 C．34 D．43
【解答】解：在Rt△ABC中，BC=3，AB=5，
∴csB=BCAB=35，
故选：A．
2、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，则sinA的值为（ B ）
A．513 B．1213 C．512 D．125
【解答】解：在Rt△ABC中，由勾股定理得，BC=AB2-AC2=12，
∴sinA=BCAB=1213，
故选：B．
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是（ A ）
A．34 B．43 C．35 D．45
【解答】解：由勾股定理，得
AC=AB2-BC2=4，
由正切函数的定义，得
tanA=BCAC=34，
故选：A．
4、如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A.B.O都在格点上，则∠OAB的正弦值是 55 ．
【解答】解：如图，过点O作OC⊥AB的延长线于点C，
则AC=4，OC=2，
在Rt△ACO中，AO=AC2+OC2=42+22=20=25，
∴sin∠OAB=OCOA=225=55．
故答案为：55．
5、如图，在平面直角坐标系中，直线OA过点（2，1），则tanα的值是 12 ．
【解答】解：如图，
tanα=BCOC=12
故答案为：12．
6、比较大小：sin57° ＜ tan57°．
【解答】解：∵sin57＜sin90°=1，
tan57°＞tan45°=1，
∴tan57°＞sin57°，
故答案为：＜．
7、在Rt△ABC中，∠C=90°，若csA=14，则tanA= 15 ．
【解答】解：∵csA=14知，设b=x，则c=4x，根据a2+b2=c2得a=15x．
∴tanA=ab=15xx=15
故答案为：15．
8、已知csα=13，则3sinα-tanα4sinα+2tanα的值等于 0 ．
【解答】解：∵tanα=sinαcsα，
∴3sinα-tanα4sinα+2tanα=3sinα-sinαcsα4sinα+2sinαcsα=3csα-14csα+2，
∵csα=13，
∴3sinα-tanα4sinα+2tanα=3×13-14×13+2=0．
故答案为0．
9、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=23，那么tanB的值是（ A ）
A．52 B．53 C．255 D．23
【解答】解：∵sinA=ACBC=23，
∴设BC=2x，AB=3x，
由勾股定理得：AC=AB2-BC2=5x，
∴tanB=ACBC=5x2x=52，
故选：A．
10、在△ABC中，∠C=90°，tanA=1，那么csB等于（ D ）
A．3 B．2 C．1 D．22
【解答】解：∵tanA=1，∠A是三角形的内角，
∴∠A=45°，∵∠C=90°，
∴∠B=45°，∴csB=22
故选（D）
11、45°的正弦值为（ C ）
A．1 B．12 C．22 D．32
【解答】解：sin45°=22，
故选：C．
12、计算：tan45°﹣2cs60°= 0 ．
【解答】解：原式=1﹣2×12，
=1﹣1，
=0．
故答案为：0．
13、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求sinA，csA，tanA．
【解答】解：由勾股定理得，AC=AB2-BC2=132-52=12，
sinA=BCAB=513，csA=ACAB=1213，tanA=BCAC=512．
14、完成下列表格，并回答下列问题，
锐角α
30゜
45゜
60゜
sinα
csα
tanα
（1）当锐角α逐渐增大时，sinα的值逐渐 增大 ，csα的值逐渐 减少 ，tanα的值逐渐 增大 ．
（2）sin30°=cs 60゜ ，sin 30゜ =cs60°；
（3）sin230°+cs230°= 1 ；
（4）sin30゜cs30゜=tan 30° ；
（5）若sinα=csα，则锐角α= 45° ．
【解答】解：填表如下：
锐角α
30゜
45゜
60゜
sinα
12
22
32
csα
32
22
12
tanα
33
1
3
（1）当锐角α逐渐增大时，sinα的值逐渐 增大，csα的值逐渐 减少，tanα的值逐渐增大．
（2）sin30°=cs 60゜，sin 30゜=cs60°；
（3）sin230°+cs230°=1；
（4）sin30゜cs30゜=tan 30°；
（5）若sinα=csα，则锐角α=45°．
故答案为：增大，减少，增大．60゜，30゜；1；30°；45°．
学科分析
对应知识点：
锐角三角函数的定义.
勾股定理
三角函数的增减性.
同角三角函数的运算.
互余两角三角函数的关系.
6. 三角函数的特殊值.
知识点1 锐角三角函数定义
如图，在Rt△ABC中，∠C为直角，则∠A的锐角三角函数为(∠A可换成∠B)：
定 义
表达式
取值范围
关 系
正弦
(∠A为锐角)
余弦
(∠A为锐角)
正切
(∠A为锐角)
它们统称为∠A的锐角三角函数．
知识点2 正弦和余弦的增减性：
当时，
（1）正弦值随着的增大（减小）而增大（减小）.
（2）余弦值随着的增大（减小）而减小（增大）.
（3）正切值随着的增大（减小）而增大（减小）.
30°.45°.60°特殊角的三角函数值(重要)
三角函数
30°
45°
60°
1
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，则csB的值为（ A ）
A．154 B．14 C．1515 D．41717
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=4，AC=1，
∴BC=42-12=15，
则csB= BCAB = 154，
故选A
2、在△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，BC=4，则AC为（ B ）
A．4tan50° B．4tan40° C．4sin50° D．4sin40°
【解答】解：由余切是邻边比对边，得
AC=4ct50°，
由一个角的余切等于它余角的 正切，得
AC=4tan40°，
故选：B．
3、在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A的度数不断增大时，csA的值的变化情况是（ B ）
A．不断变大 B．不断减小 C．不变 D．不能确定
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A的度数不断增大时，csA的值的变化情况是不断减小．
故选：B．
4、如图，若点A的坐标为(1，3)，则sin∠1= 32 ．
【解答】解：如图，，
由勾股定理，得
OA=OB2+AB2=2．
sin∠1=ABOA=32，
故答案为：32．
5、如图，在边长为1的小正反形组成的网格中，△ABC的三个顶点均在格点上，则tanB的值为 34 ．
【解答】解：如图：
tanB=ADBD=34．
故答案是：34．
6、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=45，则tanA= 43 ．
【解答】解：由sinA=45知，可设a=4x，则c=5x，b=3x．
∴tanA=ab=4x3x=43．
故答案为：43．
7、已知tanα=3，则sinα-csαsinα+csα= 12 ．
【解答】解：∵tanα=3，
∴sinα-csαsinα+csα=sinαcsα-csαcsαsinαcsα+csαcsα=tanα-1tanα+1=3-13+1=12．
故答案为：12．
8、在Rt△ABC中，∠A.∠B.∠C对边分别为a.b.c，∠C=90°，若sinA=23，则csB等于（ D ）
A．53 B．32 C．52 D．23
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠A.∠B.∠C对边分别为a.b.c，∠C=90°，
∴∠A+∠B=90°，
∵sinA=BCAB=23，
∴csB=sinA=23，
故选D．
9、在Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=13，则csB的值为（ B ）
A．263 B．1010 C．13 D．23
【解答】解：如图所示，∵Rt△ABC中，∠C=90°，tanA=13，
∴设BC=x，AC=3x，
∴AB=10x，
故csB=BCAB=x10x=1010．
故选：B．
10、把一块直尺与一块三角板如图放置，若sin∠1=22，则∠2的度数为（ B ）
A．120° B．135° C．145° D．150°
【解答】解：∵sin∠1=22，
∴∠1=45°，
∵直角△EFG中，∠3=90°﹣∠1=90°﹣45°=45°，
∴∠4=180°﹣∠3=135°，
又∵AB∥CD，
∴∠2=∠4=135°．
故选B．
11、已知sin46°=csα，则α= 44 度．
【解答】解：∵sin46°=csα，
∴α=90°﹣46°=44°．
故答案为44．
12、在△ABC中，若|sinA-22|+(32-csB)2=0，∠A.∠B都是锐角，则∠C= 105° ．
【解答】解：∵|sinA-22|+(32-csB)2=0，
∴sinA=22，csB=32，
∴∠A=45°，∠B=30°，
故可得∠C=180°﹣45°﹣30°=105°．
故答案为：105°．
13、在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AC=8，AB=10，求∠B的三个三角函数值．
【解答】解：∵∠C=90°，AC=8，AB=10，
∴BC=AB2-AC2=6，
则sinB=ACAB=45，
csB=BCAB=35，
tanB=ACBC=43．
14、已知α为锐角，且csα=13，求tanα+csα1+sinα的值．
【解答】解：如图，设∠α为直角三角形的一个锐角，
∵csα=13，
∴设α的邻边为1k，斜边为3k，
由勾股定理，得α的对边为(3k)2-k2=22k，
∴tanα=22，sinα=223，
故tanα+csα1+sinα=22+131+223
=22+3﹣22=3．
15、①2sin30°+4cs30°•tan60°﹣cs245°
②2cs30°﹣|1﹣tan60°|+tan45°•sin45°．
【解答】解：①原式=2×12+4×32×3﹣（22）2
=1+6﹣12=6.5；
②原式=2×32﹣3+1+1×22
=3﹣3+1+22
=2+22．
【查漏补缺】
1、如图，在Rt△ABC中，斜边AB的长为m，∠A=35°，则直角边BC的长是（ A ）
A．msin35° B．mcs35° C．msin35° D．mcs35°
【解答】解：sin∠A=BCAB，
∵AB=m，∠A=35°，
∴BC=msin35°，
故选：A．
2、如果把一个锐角△ABC的三边的长都扩大为原来的3倍，那么锐角A的余切值（C）
A．扩大为原来的3倍 B．缩小为原来的13
C．没有变化 D．不能确定
【解答】解：因为△ABC三边的长度都扩大为原来的3倍所得的三角形与原三角形相似，
所以锐角A的大小没改变，所以锐角A的余切值也不变．
故选：C．
3、如果锐角α的正弦值为33，那么下列结论中正确的是（ C ）
A．α=30° B．α=45° C．30°＜α＜45° D．45°＜α＜60°
【解答】解：由12＜33＜22，得
30°＜α＜45°，
故选：C．
4、如图，点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=43，则t的值为 3 ．
【解答】解：∵点A（t，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，tanα=43，
∴tanα=4t=43．解得t=3．
故答案为：3．
5、△ABC中，∠C=90°，tanA=43，则sinA+csA= 75 ．
【解答】解：如图，∵tanA=43，
∴设AB=3x，则BC=4x，AC=5x，
则有：sinA+csA=BCAC+ABAC=3x5x+4x5x=75，
故答案为：75．
6、已知在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，则tanB的值为 43 ．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=35，
∴sinA=ac=35，
设a为3k，则c为5k，
根据勾股定理可得：b=4k，∴tanB=ba=43，
故答案为：43．
7、在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2，BC=3，则sinA2= 12 ．
【解答】解：∵sinA=BCAB=32，
∴∠A=60°，∴sinA2=sin30°=12．
故答案为：12．
8、已知△ABC的内角满足|3tanA﹣3|+2csB-1=0，则∠C= 75 度．
【解答】解：由题意，得&3tanA-3=0&2csB-1=0，
解得∠A=60°，∠B=45°，
∠C=180°﹣∠A﹣∠B=75°，
故答案为与：75．
9、在△ABC中，∠C=90°，BC=24cm，csA=513，求这个三角形的周长．
【解答】解：可设AC=5xcm，AB=13xcm，
则BC=12xcm，
由12x=24得x=2，
∴AB=26，AC=10，
∴△ABC的周长为：10+24+26=60cm．
10、已知α为锐角，且tanα=3，求sinα-22csα+sinα的值．
【解答】解：∵α为锐角，tanα=3，
∴csα=132+12=110，∴1csα=10，
∴sinα-22csα+sinα=tanα-2csα2+tanα=3-2102+3=3-2105．
11、tan45°sin45°-4sin30°cs45°+6sin60°．
【解答】解：原式=1×22﹣4×12×22+6×32
=22﹣2+322
=2．
12、计算：sin21°+sin22°+sin23°+…+sin287°+sin288°+sin289°．
【解答】解：sin2l°+sin22°+…+sin288°+sin289°
=（sin2l°+sin289°）+（sin22°+sin288°）+…+（sin244°+sin246°）+sin245°
=1+1+…+1+0.5
=44.5．
【举一反三】
1、如图，在2×2正方形网格中，以格点为顶点的△ABC的面积等于32，则sin∠CAB=（ B ）
A．323 B．35 C．105 D．310
【解答】解：如图：作CD⊥AB于D，AE⊥BC于E，
由勾股定理，得AB=AC=5，BC=2．
由等腰三角形的性质，得BE=12BC=22．
由勾股定理，得AE=AB2-BE2=322，
由三角形的面积，得12AB•CD=12BC•AE．
即CD=2×3225=355．sin∠CAB=CDAC=3555=35，
故选：B．
2、比较tan46°，cs29°，sin59°的大小关系是（ D ）
A．tan46°＜cs29°＜sin59° B．tan46°＜sin59°＜cs29°
C．sin59°＜tan46°＜cs29° D．sin59°＜cs29°＜tan46°
【解答】解：∵cs29°=sin61°＞sin59°
∴cs29°＞sin59°
又∵tan46°＞tan45°＞1，cs29°＜1
∴sin59°＜cs29°＜tan46°
故选D．
3、已知△ABC中，tanA=12，下列说法正确的是（ D ）
A．tanB=2 B．tanB=12 C．sinA=255 D．sinA=55
【解答】解：∵直角顶点不确定，∴tanB不确定，
∵tanA=12，∴sinA1-sin2A=12，
解得，sinA=55，故选：D．
4、已知：tanx=2，则sinx+2csx2sinx-csx= 43 ．
【解答】解：分子分母同时除以csx，原分式可化为：tanx+22tanx-1，
当tanx=2时，原式=2+22×2-1=43．
故答案为：43．
5、在Rt△ABC中，∠C=90°，则下列式子定成立的是（ D ）
A．sinA=sinB B．csA=csB C．tanA=tanB D．sinA=csB
【解答】解：∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°，
∴sinA=csB．故选D．
6、在△ABC中，若|sinA﹣22|+（32﹣csB）2=0，∠A，∠B都是锐角，则∠C的度数是（ C ）
A．75° B．90° C．105° D．120°
【解答】解：∵|sinA﹣22|=0，（32﹣csB）2=0，
∴sinA﹣22=0，32﹣csB=0，
∴sinA=22，32=csB，
∴∠A=45°，∠B=30°，
∴∠C=180°﹣∠A﹣∠B=105°．
故选C．
7、若一个三角形三个内角度数的比为1：2：3，那么这个三角形最小角的正切值为（ C ）
A．13 B．12 C．33 D．32
【解答】解：∵三角形三个内角度数的比为1：2：3，
∴设三个内角分别为，
∴k+2k+3k=180°，
解得k=30°，
最小角的正切值=tan30°=33．
故选：C．
8、如果α为锐角，且sinα=45，那么cs（90°﹣α）= 45 ．
【解答】解：∵sinα=cs（90°﹣α），
∴cs（90°﹣α）=sinα=45．
9、△ABC中，∠A.∠B都是锐角，且sinA=csB=12，则△ABC是 直角 三角形．
【解答】解：由△ABC中，∠A.∠B都是锐角，且sinA=csB=12，得
∠A+∠B=90°，
故答案为：直角．
10、先化简，再求值：sinα-csαsinα+csα，其中tanα=2．
【解答】解：∵tanα=sinαcsα=2，
∴sinα=2csα，
∴sinα-csαsinα+csα=2csα-csα2csα+csα=csα3csα=13．
11、已知tana=34，求sina+csasina-csa的值．
【解答】解：如图，∵tana=34，
∴设BC=x，则AC=4x，AB=5x，
∴原式=3x5x+4x5x3x5x-4x5x=7x5x-x5x=﹣7．
12、已知cs45°=22，求cs21°+cs22°+…+cs289°的值．
【解答】解：原式=（cs21°+cs289°）+（cs22°+cs288°）+…+（cs244°+cs246°）+cs245
=（sin21°+cs21°）+（sin22°+cs22°）+…+（sin244°+cs244°）+cs245
=44+（22）2
=4412．
1、如图，在△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，则sinB是（ C ）
A．513 B．512 C．1213 D．1312
【解答】解：在Rt△ABC中，AC=AB2-BC2=132-52=12，
则sinB=ACAB=1213．
故选C．
2、如图，△ABC的项点都在正方形网格的格点上，则csC的值为（ B ）
A．3510 B．255 C．55 D．12
【解答】解：在格点三角形ADC中，AD=2，CD=4，
∴AC=AD2+CD2=20=25，
∴csC=CDAC=425=255．
故选B．
3、已知α是锐角，且sinα=0.75，则（ C ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
【解答】解：∵sin60°=32≈0.87，sin45°=22≈0.7，正弦值随角度的增大而增大，
∴sinα=0.75，则45°＜α＜60°．
故选；C．
4、Rt△ABC中，∠C=90°，已知csA=35，那么tanA等于（ A ）
A．43 B．34 C．45 D．54
【解答】解：∵csA=35知，设b=3x，则c=5x，根据a2+b2=c2得a=4x．
∴tanA=ab=4x3x=43．
故选A．
5、比较大小：cs35° ＜ sin65°．
【解答】解：cs35°=sin（90﹣35）°=sin55°，
由正弦函数随锐角的增大而增大，得
sin55°＜sin65°，
即cs35°＜sin65°．
故答案为：＜．
6、在Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=513，则tanA的值为（ D ）
A．513 B．1213 C．512 D．125
【解答】解：由Rt△ABC中，∠C=90°，sinB=513，得
csA=sinB=513．
由sin2A+cs2A=1，得sinA=1-cs2A=1213，
tanA=sinAcsA=1213513=125．
故选：D．
7、2cs30°的值等于（ C ）
A．1 B．2 C．3 D．2
【解答】解：2cs30°=2×32=3．
故选C．
8、已知α为锐角，且sinα=cs50°，则α= 40° ．
【解答】解：∵sinα=cs50°，
∴α=90°﹣50°=40°．
故答案为40°．
9、若3tan（x+10°）=1，则锐角x的度数为 20° ．
【解答】解：∵3tan（x+10°）=1，
∴tan（x+10°）=13=33，∴x+10°=30°，
∴x=20°．故答案为：20°．
10、△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，求sinA，csA，tanA的值．
【解答】解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，BC=3，AB=5，
∴AC=52-32=4，∴sinA=BCAB=35；csA=ACAB=45；tanA=BCAC=34．
11、.求值：（1）cs245°+3tan30°tan60°﹣2sin30°．
（2）cs60°﹣2tan30°•cs30°+sin245°．
【解答】（1）cs245°+3tan30°tan60°﹣2sin30°
=（22）2+3×1﹣2×12
=12+3﹣1
=52．
（2）原式=12﹣2×33×32+（22）2
=12﹣1+12
=0．
12、若A为锐角，且tanA=2，求3sinA+csA4csA-5sinA．
【解答】解：如图，∵在Rt△ACB中，∠C=90°，tanA=BCAC，sinA=BCAB，csA=ACAB，
∴sinAcsA=BCABACAB=BCAC，∴tanA=sinAcaA，
∵tanA=2，∴sinAcsA=tanA=2，
∴3sinA+csA4csA-5sinA
=3sinAcsA+14-5sinAcsA
=3tanA+14-5tanA
=3×2+14-5×2
=﹣76．
第1天作业
1、在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，则sinB的值等于 45 ．
【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=3，
∴AB=5，
∴sinB=ACAB=45．
故答案为：45．
2、如图，△ABC的各个顶点都在正方形的格点上，则sinA的值为 55 ．
【解答】解：如图所示：延长AC交网格于点E，连接BE，
∵AE=25，BE=5，AB=5，
∴AE2+BE2=AB2，
∴△ABE是直角三角形，
∴SinA=BEAB=55．
故答案为：55．
3、计算：cs260°= 14 ．
【解答】解：cs260°=（12）2=14；
故答案为：14．
4、已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=34，则csB的值为（ B ）
A．74 B．34 C．35 D．45
【解答】解：在Rt△ABC中，∠C=90°得
∠B+∠A=90°．
由一个角的正弦等于它余角的余弦，得
csB=sinA=34，
故选：B．
5、已知tanA=4，求sinA-3csA4sinA+csA的值．
【解答】解：∵tanA=4，
∴sinA-3csA4sinA+csA=tanA-34tanA+1=4-34×4+1=117．
第2天作业
1、sin60°的值为（ B ）
A．3 B．32 C．22 D．12
【解答】解：sin60°=32．
故选B．
2、已知，在Rt△ABC中，∠C=90°，tanB=43，则csA= 45 ．
【解答】解：如图，
由tanB=43，得AC=4k，BC=3k，
由勾股定理，得
AB=5k，csA=ACAB=4k5k=45，
故答案为：45．
3、直角三角形中，若sin35°=csα，则α= 55° ．
【解答】解：根据直角三角形中正余弦之间的关系，可得：
sin35°=cs（90°﹣35°）=cs55°，
∴α=55°．故答案为：55°．
4、如图，在正方形网格中，小正方形的边长均为1，点A.B.C都是格点，则cs∠BAC= 22 ．
【解答】解：AB=BC=1+22=5，
AC=1+32=10，
则AB2+BC2=5+5=10=AC2，
则△ABC为等腰直角三角形，
∠BAC=45°，
则cs∠BAC=22．
故答案为：22．
5、计算：cs30°﹣sin60°+2sin45°•tan45°．
【解答】解：原式=32﹣32+2×22×1
=2．
6、计算：tan1°•tan2°•tan3°•tan4°•tan5°…tan87°•tan88°•tan89°．
【解答】解：tan1°•tan2°•tan3°•tan4°•tan5°…tan87°•tan88°•tan89°
=（tan1°•tan89°）（tan2°•tan88°）…（tan44°•tan46°）•tan45°
=1．