高考数学真题与模拟训练汇编专题02 函数及其性质(教师版)

专题2 函数及其性质

第一部分 真题分类

一、单选题

1．（2021·浙江高考真题）已知函数，则图象为如图的函数可能是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】对于A，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除A；

对于B，，该函数为非奇非偶函数，与函数图象不符，排除B；

对于C，，则，

当时，，与图象不符，排除C.

故选：D.

2．（2021·全国高考真题（文））下列函数中是增函数的为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】对于A，为上的减函数，不合题意，舍.

对于B，为上的减函数，不合题意，舍.

对于C，在为减函数，不合题意，舍.

对于D，为上的增函数，符合题意，

故选：D.

3．（2021·全国高考真题（文））设是定义域为R的奇函数，且.若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由题意可得：，

而，

故.

故选：C.

4．（2021·全国高考真题（理））设函数的定义域为R，为奇函数，为偶函数，当时，．若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】因为是奇函数，所以①；

因为是偶函数，所以②．

令，由①得：，由②得：，

因为，所以，

令，由①得：，所以．

思路一：从定义入手．

所以．

思路二：从周期性入手

由两个对称性可知，函数的周期．

所以．

故选：D．

5．（2021·全国高考真题（理））设函数，则下列函数中为奇函数的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】由题意可得，

对于A，不是奇函数；

对于B，是奇函数；

对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；

对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.

故选：B

6．（2020·天津高考真题）函数的图象大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】由函数的解析式可得：，则函数为奇函数，其图象关于坐标原点对称，选项CD错误；

当时，，选项B错误.

故选：A.

7．（2020·北京高考真题）已知函数，则不等式的解集是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为，所以等价于，

在同一直角坐标系中作出和的图象如图：

两函数图象的交点坐标为，

不等式的解为或.

所以不等式的解集为：.

故选：D.

8．（2020·海南高考真题）若定义在的奇函数f(x)在单调递减，且f(2)=0，则满足的x的取值范围是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】因为定义在上的奇函数在上单调递减，且，

所以在上也是单调递减，且，，

所以当时，，当时，，

所以由可得：

或或

解得或，

所以满足的的取值范围是，

故选：D.

9．（2020·全国高考真题（理））设函数，则f(x)（    ）

A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减

【答案】D

【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，

又，

为定义域上的奇函数，可排除AC；

当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，排除B；

当时，，

在上单调递减，在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.

故选：D.

二、填空题

10．（2021·浙江高考真题）已知，函数若，则___________.

【答案】2

【解析】，故，

故答案为：2.

11．（2021·全国高考真题）已知函数是偶函数，则______.

【答案】1

【解析】因为，故，

因为为偶函数，故，

时，整理得到，

故，

故答案为：1

12．（2020·北京高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.

给出下列四个结论：

①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；

③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；

④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．

其中所有正确结论的序号是____________________．

【答案】①②③

【解析】表示区间端点连线斜率的负数，

在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；

甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；

在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；

在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水打标排放量以下，所以都已达标；③正确；

故答案为：①②③

13．（2020·全国高考真题（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：

①f（x）的图象关于y轴对称．

②f（x）的图象关于原点对称．

③f（x）的图象关于直线x=对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是__________．

【答案】②③

【解析】对于命题①，，，则，

所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

，

所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；

对于命题③，，

，则，

所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；

对于命题④，当时，，则，

命题④错误.

故答案为：②③.

14．设是定义在上的两个周期函数，的周期为4，的周期为2，且是奇函数.当时，，，其中.若在区间上，关于的方程有8个不同的实数根，则 的取值范围是_____.

【答案】.

【解析】当时，即

又为奇函数，其图象关于原点对称，其周期为，如图，函数与的图象，要使在上有个实根，只需二者图象有个交点即可.

当时，函数与的图象有个交点；

当时，的图象为恒过点的直线，只需函数与的图象有个交点.当与图象相切时，圆心到直线的距离为，即，得，函数与的图象有个交点；当过点时，函数与的图象有个交点，此时，得.

综上可知，满足在上有个实根的的取值范围为.

三、解答题

15．（2021·全国高考真题（文））已知函数．

（1）画出和的图像；

（2）若，求a的取值范围．

【答案】（1）图像见解析；（2）

【解析】（1）可得，画出图像如下：

，画出函数图像如下：

（2），

如图，在同一个坐标系里画出图像，

是平移了个单位得到，

则要使，需将向左平移，即，

当过时，，解得或（舍去），

则数形结合可得需至少将向左平移个单位，.

16．设函数．

（1）画出的图像；

（2）当，，求的最小值．

【答案】（1）见解析

（2）

【解析】（1） 的图像如图所示．

（2）由（1）知，的图像与轴交点的纵坐标为，且各部分所在直线斜率的最大值为，故当且仅当且时，在成立，因此的最小值为．

第二部分 模拟训练

一、单选题

1．设函数,的定义域为R，且是奇函数，是偶函数，则下列结论中正确的是（    ）

A．是偶函数 B．是奇函数

C．是奇函数 D．是奇函数

【答案】C

【解析】是奇函数，是偶函数，，

对于A，，故是奇函数，故A错误；

对于B，，故是偶函数，故B错误；

对于C，，故是奇函数，故C正确；

对于D，，故是偶函数，故D错误.

故选：C.

2．函数的图象大致为（    ）

A．B．C．D．

【答案】B

【解析】因为

当时，

当时，

所以，故排除AC；

当时，，故排除D；

故选：B

3．已知二次函数，定义，，其中表示中的较大者，表示中的较小者，下列命题正确的是(   )

A．若，则 B．若，则

C．若，则 D．若，则

【答案】C

【解析】由于,故二次函数的对称轴.,

,若此时对称轴为,

则有,即,所以选项不正确，

, ,

在对称轴的位置取得最小值,

即对称轴为,所以,故选项不正确，

,，

也即是函数在区间上的最小值,故,

所以选.

4．若函数， ，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使得定义域内的任意实数，都有恒成立，此时为的类周期，函数是上的级类周期函数．若函数是定义在区间内的2级类周期函数，且，当时， 函数．若， ，使成立，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】根据题意，对于函数f（x），当x∈[0，2）时，

分析可得：当0≤x≤1时，f（x）=﹣2x2，有最大值f（0）=，最小值f（1）=﹣，

当1＜x＜2时，f（x）=f（2﹣x），函数f（x）的图象关于直线x=1对称，则此时有﹣＜

f（x）＜，

又由函数y=f（x）是定义在区间[0，+∞）内的2级类周期函数，且T=2；

则在∈[6，8）上，f（x）=23•f（x﹣6），则有﹣12≤f（x）≤4，

则f（8）=2f（6）=4f（4）=8f（2）=16f（0）=8，

则函数f（x）在区间[6，8]上的最大值为8，最小值为﹣12；

对于函数 ，有g′（x）=﹣+x+1=，

分析可得：在（0，1）上，g′（x）＜0，函数g（x）为减函数，

在（1，+∞）上，g′（x）＞0，函数g（x）为增函数，

则函数g（x）在（0，+∞）上，由最小值f（1）=+m，

若∃x1∈[6，8]，∃x2∈（0，+∞），使g（x2）﹣f（x1）≤0成立，

必有g（x）min≤f（x）max，即+m≤8，

解可得m≤，即m的取值范围为（﹣∞，]；

故答案为：B

5．已知函数满足：①对任意、且，都有；②对定义域内的任意，都有，则符合上述条件的函数是（    ）

A．B． C． D．

【答案】A

【解析】由题意得：是偶函数，在单调递增，

对于，，是偶函数，

且时，，对称轴为，

故在递增，符合题意；

对于，函数是奇函数，不合题意；

对于，由，解得：，

定义域不关于原点对称，故函数不是偶函数，不合题意；

对于，函数在无单调性，不合题意；

故选：A

6．已知函数，若存在，使得关于的函数有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】,,

当时，因为，

则函数在上为增函数，在上为减函数，在在上为增函数，

故函数的图象如图所示：

由于关于的函数有三个不同的零点，

故与的图象有3个不同的交点，

故即

而为上的增函数，

故，所以.

故选：B.

二、填空题

7．定义在上的函数满足，且当

若任意的，不等式恒成立，则实数的最大值是 ____________

【答案】

【解析】因为当时 为单调递减函数，又，所以函数为偶函数，因此不等式恒成立，等价于不等式恒成立，即，平方化简得，

当时，；

当时，对恒成立，；

当时，对恒成立，（舍）；

综上，因此实数的最大值是.

8．已知定义在上的偶函数，满足，当时，，则__________．

【答案】

【解析】由可知，函数的周期为2，又为偶函数

∴

故答案为

9．定义在上的函数满足且，又当且时，有.若对所有，恒成立，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】定义在上的函数满足，故函数为奇函数，

设任意的，，则，由题设有，

因为，故即，

所以，故为上的增函数，

而为上奇函数，故在上为增函数.

若对所有，恒成立，

所以，即，

设，则有在上恒成立，

因在上的图象为线段，故，所以，

解得或或.

故答案为：.

二、解答题

10．已知函数.

（1）若，恒成立，求实数的取值范围；

（2）求函数的图像与直线围成的封闭图形的面积.

【答案】（1）；（2）28.

【解析】（Ⅰ）∵，

∴，解得．

（Ⅱ）当时，或．

画出图象可得，围成的封闭图形为等腰梯形，上底长为9，下底长为5，高为4，所以面积为．