高考数学真题与模拟训练汇编专题05 导数及其应用(教师版)

专题5 导数及其应用

第一部分 真题分类

一、单选题

1．（2021·全国高考真题）若过点可以作曲线的两条切线，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】在曲线上任取一点，对函数求导得，

所以，曲线在点处的切线方程为，即，

由题意可知，点在直线上，可得，

令，则.

当时，，此时函数单调递增，

当时，，此时函数单调递减，

所以，，

由题意可知，直线与曲线的图象有两个交点，则，

当时，，当时，，作出函数的图象如下图所示：

由图可知，当时，直线与曲线的图象有两个交点.

故选：D.

解法二：画出函数曲线的图象如图所示，根据直观即可判定点在曲线下方和轴上方时才可以作出两条切线.由此可知.

故选：D.

2．（2021·全国高考真题（理））设，若为函数的极大值点，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】若，则为单调函数，无极值点，不符合题意，故.

依题意，为函数的极大值点，

当时，由，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.

当时，由时，，画出的图象如下图所示：

由图可知，，故.

综上所述，成立.

故选：D

3．（2020·全国高考真题（理））若直线l与曲线y=和x2+y2=都相切，则l的方程为（    ）

A．y=2x+1 B．y=2x+ C．y=x+1 D．y=x+

【答案】D

【解析】

设直线在曲线上的切点为，则，

函数的导数为，则直线的斜率，

设直线的方程为，即，

由于直线与圆相切，则，

两边平方并整理得，解得，（舍），

则直线的方程为，即.

故选：D.

4．（2020·全国高考真题（理））函数的图像在点处的切线方程为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】

，，，，

因此，所求切线的方程为，即.

故选：B.

5．已知曲线在点处的切线方程为，则（  ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

解析：

，

将代入得，故选D．

6．已知，设函数若关于的不等式在上恒成立，则的取值范围为（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

∵，即，

（1）当时，，

当时，，

故当时，在上恒成立；

若在上恒成立，即在上恒成立，

令，则，

当函数单增，当函数单减，

故，所以．当时，在上恒成立；

综上可知，的取值范围是，

故选C．

二、填空题

7．（2021·全国高考真题（理））曲线在点处的切线方程为__________．

【答案】

【解析】由题，当时，，故点在曲线上．

求导得：，所以．

故切线方程为．

故答案为：．

8．（2021·全国高考真题）函数的最小值为______.

【答案】1

【解析】由题设知：定义域为，

∴当时，，此时单调递减；

当时，，有，此时单调递减；

当时，，有，此时单调递增；

又在各分段的界点处连续，

∴综上有：时，单调递减，时，单调递增；

∴

故答案为：1.

9．（2020·江苏高考真题）在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是__________．

【答案】

【解析】

设圆心到直线距离为，则

所以

令（负值舍去）

当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，

故答案为：

10．（2020·全国高考真题（文））设函数．若，则a=_________．

【答案】1

【解析】由函数的解析式可得：，

则：，据此可得：，

整理可得：，解得：.

故答案为：.

11．（2020·全国高考真题（文））曲线的一条切线的斜率为2，则该切线的方程为______________.

【答案】

【解析】设切线的切点坐标为，

，所以切点坐标为，

所求的切线方程为，即.

故答案为：.

12．在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是_____.

【答案】4.

【解析】当直线平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P到直线的距离最小.

由，得，，

即切点，

则切点Q到直线的距离为，

故答案为．

三、解答题

13．（2021·北京高考真题）已知函数．

（1）若，求在处切线方程；

（2）若函数在处取得极值，求的单调区间，以及最大值和最小值．

【答案】（1）；（2）函数的增区间为、，单调递减区间为，最大值为，最小值为.

【解析】（1）当时，，则，，，

此时，曲线在点处的切线方程为，即；

（2）因为，则，

由题意可得，解得，

故，，列表如下：

所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.

当时，；当时，.

所以，，.

14．（2021·全国高考真题）已知函数.

（1）讨论的单调性；

（2）设，为两个不相等的正数，且，证明：.

【答案】（1）的递增区间为，递减区间为；（2）证明见解析.

【解析】（1）函数的定义域为，

又，

当时，，当时，，

故的递增区间为，递减区间为.

（2）因为，故，即，

故，

设，由（1）可知不妨设.

因为时，，时，，

故.

先证：，

若，必成立.

若， 要证：，即证，而，

故即证，即证：，其中.

设，

则，

因为，故，故，

所以，故在为增函数，所以，

故，即成立，所以成立，

综上，成立.

设，则，

结合，可得：，

即：，故，

要证：，即证，即证，

即证：，即证：，

令，

则，

先证明一个不等式：.

设，则，

当时，；当时，，

故在上为增函数，在上为减函数，故，

故成立

由上述不等式可得当时，，故恒成立，

故在上为减函数，故，

故成立，即成立.

综上所述，.

15．（2021·全国高考真题（文））设函数，其中.

（1）讨论的单调性；

（2）若的图像与轴没有公共点，求a的取值范围.

【答案】（1）的减区间为，增区间为；（2）.

【解析】（1）函数的定义域为，

又，

因为，故，

当时，；当时，；

所以的减区间为，增区间为.

（2）因为且的图与轴没有公共点，

所以的图象在轴的上方，

由（1）中函数的单调性可得，

故即.

16．（2021·浙江高考真题）设a，b为实数，且，函数

（1）求函数的单调区间；

（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；

（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.

(注：是自然对数的底数)

【答案】(1)时，在上单调递增；时，函数的单调减区间为，单调增区间为；(2)；(3)证明见解析.

【解析】(1)，

①若，则，所以在上单调递增；

②若，

当时，单调递减，

当时，单调递增.

综上可得，时，在上单调递增；

时，函数的单调减区间为，单调增区间为.

(2)有2个不同零点有2个不同解有2个不同的解，

令，则，

记，

记，

又，所以时，时，，

则在单调递减，单调递增，，

.

即实数的取值范围是.

(3)有2个不同零点，则，故函数的零点一定为正数.

由(2)可知有2个不同零点，记较大者为，较小者为，

，

注意到函数在区间上单调递减，在区间上单调递增，

故，又由知，

，

要证，只需，

且关于的函数在上单调递增，

所以只需证，

只需证，

只需证，

，只需证在时为正，

由于，故函数单调递增，

又，故在时为正，

从而题中的不等式得证.

17．（2021·全国高考真题（理））已知且，函数．

（1）当时，求的单调区间；

（2）若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围．

【答案】（1）上单调递增；上单调递减；（2）.

【解析】（1）当时，,

令得,当时，,当时，,

∴函数在上单调递增；上单调递减；

（2）,设函数,

则,令，得,

在内,单调递增；

在上,单调递减；

,

又，当趋近于时，趋近于0，

所以曲线与直线有且仅有两个交点，即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是,这即是,

所以的取值范围是.

18．（2021·全国高考真题（理））设函数，已知是函数的极值点．

（1）求a；

（2）设函数．证明:．

【答案】1；证明见详解

【解析】（1）由，，

又是函数的极值点，所以，解得；

（2）由（1）得，，且，

当 时，要证，， ，即证，化简得；

同理，当时，要证，， ，即证，化简得；

令，再令，则，，

令，，

当时，，单减，假设能取到，则，故；

当时，，单增，假设能取到，则，故；

综上所述，在恒成立

19．（2021·全国高考真题（理））已知抛物线的焦点为，且与圆上点的距离的最小值为．

（1）求；

（2）若点在上，是的两条切线，是切点，求面积的最大值．

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）抛物线的焦点为，，

所以，与圆上点的距离的最小值为，解得；

（2）抛物线的方程为，即，对该函数求导得，

设点、、，

直线的方程为，即，即，

同理可知，直线的方程为，

由于点为这两条直线的公共点，则，

所以，点、的坐标满足方程，

所以，直线的方程为，

联立，可得，

由韦达定理可得，，

所以，，

点到直线的距离为，

所以，，

，

由已知可得，所以，当时，的面积取最大值.

20．（2020·全国高考真题（理））设函数，曲线在点(，f())处的切线与y轴垂直．

（1）求b．

（2）若有一个绝对值不大于1的零点，证明：所有零点的绝对值都不大于1．

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】（1）因为，

由题意，，即

则；

（2）由（1）可得，

，

令，得或；令，得，

所以在上单调递减，在，上单调递增，

且，

若所有零点中存在一个绝对值大于1的零点，则或，

即或.

当时，，

又，

由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，

即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，

此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

当时，，

又，

由零点存在性定理知在上存在唯一一个零点，

即在上存在唯一一个零点，在上不存在零点，

此时不存在绝对值不大于1的零点，与题设矛盾；

综上，所有零点的绝对值都不大于1.

21．（2020·全国高考真题（文））已知函数．

（1）讨论的单调性；

（2）若有三个零点，求的取值范围．

【答案】（1）详见解析；(2).

【解析】（1）由题，，

当时，恒成立，所以在上单调递增；

当时，令，得，令，得，

令，得或，所以在上单调递减，在

，上单调递增.

（2）由（1）知，有三个零点，则，且

即，解得，

当时，，且，

所以在上有唯一一个零点，

同理，，

所以在上有唯一一个零点，

又在上有唯一一个零点，所以有三个零点，

综上可知的取值范围为.

22．（2020·全国高考真题（理））已知函数.

（1）当a=1时，讨论f（x）的单调性；

（2）当x≥0时，f（x）≥x3+1，求a的取值范围.

【答案】（1）当时，单调递减，当时，单调递增.（2）

【解析】(1)当时，，，

由于，故单调递增，注意到，故：

当时，单调递减，

当时，单调递增.

(2)由得，，其中，

①.当x=0时，不等式为：，显然成立，符合题意；

②.当时，分离参数a得，，

记，，

令，

则，，

故单调递增，，

故函数单调递增，，

由可得：恒成立，

故当时，，单调递增；

当时，，单调递减；

因此，,

综上可得，实数a的取值范围是.

23．（2020·全国高考真题（理））已知函数f(x)=sin2xsin2x.

（1）讨论f(x)在区间(0，π)的单调性；

（2）证明：；

（3）设n∈N*，证明：sin2xsin22xsin24x…sin22nx≤.

【答案】（1）当时，单调递增，当时，单调递减，当时，单调递增.（2）证明见解析；（3）证明见解析.

【解析】(1)由函数的解析式可得：，则：

，

在上的根为：，

当时，单调递增，

当时，单调递减，

当时，单调递增.

(2)注意到，

故函数是周期为的函数，

结合(1)的结论，计算可得：，

，，

据此可得：，，

即.

(3)结合(2)的结论有：

.

第二部分 模拟训练

一、单选题

1．已知函数，，若方程有2不同的实数解，则实数的取值范围是（    ）

A．  B．  C． D．

【答案】B

【解析】由得，去分母整理得有2不同的实数解，所以或，所以或，

设所以，当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减.

所以，所以没有实数解.

所以方程有两个不同的实数解.

当时，；当时，

要方程有两个不同的实数解，必须.

故选：B

2．已知是定义在上的函数，为的导函数，且满足，则下列结论中正确的是（    ）

A．恒成立 B．恒成立

C． D．当时，；当时，

【答案】A

【解析】设g(x)=(x-1)f(x),所以，所以函数g(x)在R上单调递增，又因为所以x>1时，g(x)>0,x<1时，g(x)＜0，所以x>1时，(x-1)f(x)>0，所以f(x)>0;所以x<1时，(x-1)f(x)<0，所以f(x)>0.所以恒成立.

故答案为A

3．已知定义在上的函数满足恒成立（其中为函数的导函数），对于任意实数，，下列不等式一定正确的是（   ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

 由题意，定义在上的函数满足恒成立，即

设函数，则，所以函数为单调递增函数，

不妨设，则，且，

即，

故选D．

4．设函数是奇函数的导函数，当时，，则使得成立的的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】构造函数则 ，

已知当时，，所以在x>0时，<0，即g（x）在（0，+）上是减函数，

因为y=lnx在（0，+）上是增函数，所以f（x）在（0，+）上是减函数

已知是奇函数，所以f（x）在（-，0）上也是减函数，f（0）=0，

故当时，f（x）<0, 当时，f（x）>0,

由得 ，解得x<-2或0<x<2

故选D.

二、解答题

5．已知函数，.

（1）若曲线在处的切线与直线垂直，求实数的值；

（2）设，若对任意两个不等的正数，，都有恒成立，求实数的取值范围；

（3）若上存在一点，使得成立，求实数的取值范围.

【答案】（1）；（2）；（3）.

【解析】（1）由，得.

由题意，，所以.

（2）.

因为对任意两个不等的正数，，都有恒成立，设，则即恒成立.

问题等价于函数，

即在上为增函数，

所以在上恒成立.即在上恒成立.

所以，即实数的取值范围是.

（3）不等式等价于，

整理得.构造函数，

由题意知，在上存在一点，使得.

.

因为，所以，令，得.

①当，即时，在上单调递增.只需，解得.

②当即时，在处取最小值.

令即，可得.

令，即，不等式可化为.

因为，所以不等式左端大于1，右端小于等于1，所以不等式不能成立.

③当，即时，在上单调递减，只需，解得.

综上所述，实数的取值范围是.