高考数学真题与模拟训练汇编专题03 指数、对数函数、幂函数(教师版)

专题3 指数、对数函数、幂函数

第一部分 真题分类

一、单选题

1．（2021·全国高考真题（文））青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量．通常用五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据L和小数记录表的数据V的满足．已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数据为（    ）（）

A．1.5 B．1.2 C．0.8 D．0.6

【答案】C

【解析】由，当时，，

则.

故选：C.

2．（2021·全国高考真题（理））设，，．则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】,

所以;

下面比较与的大小关系.

记,则,，

由于

所以当0<x<2时，,即,,

所以在上单调递增，

所以,即,即;

令,则,,

由于，在x>0时,,

所以,即函数在[0,+∞)上单调递减，所以,即,即b<c;

综上，,

故选：B.

3．（2021·全国高考真题（文））下列函数中最小值为4的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】对于A，，当且仅当时取等号，所以其最小值为，A不符合题意；

对于B，因为，，当且仅当时取等号，等号取不到，所以其最小值不为，B不符合题意；

对于C，因为函数定义域为，而，，当且仅当，即时取等号，所以其最小值为，C符合题意；

对于D，，函数定义域为，而且，如当，，D不符合题意．

故选：C．

4．（2020·海南高考真题）已知函数在上单调递增，则的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由得或

所以的定义域为

因为在上单调递增

所以在上单调递增

所以

故选：D

5．（2020·全国高考真题（理））已知55<84，134<85．设a=log53，b=log85，c=log138，则（    ）

A．a<b<c B．b<a<c C．b<c<a D．c<a<b

【答案】A

【解析】由题意可知、、，，；

由，得，由，得，，可得；

由，得，由，得，，可得.

综上所述，.

故选：A.

6．（2020·全国高考真题（文））Logistic模型是常用数学模型之一，可应用于流行病学领域．有学者根据公布数据建立了某地区新冠肺炎累计确诊病例数I(t)(t的单位：天)的Logistic模型：，其中K为最大确诊病例数．当I()=0.95K时，标志着已初步遏制疫情，则约为（    ）（ln19≈3）

A．60 B．63 C．66 D．69

【答案】C

【解析】，所以，则，

所以，，解得.

故选：C.

7．（2020·全国高考真题（理））若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由得：，

令，

为上的增函数，为上的减函数，为上的增函数，

，

，，，则A正确，B错误；

与的大小不确定，故CD无法确定.

故选：A.

8．（2020·全国高考真题（理））设函数，则f(x)（    ）

A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减

C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减

【答案】D

【解析】由得定义域为，关于坐标原点对称，

又，

为定义域上的奇函数，可排除AC；

当时，，

在上单调递增，在上单调递减，

在上单调递增，排除B；

当时，，

在上单调递减，在定义域内单调递增，

根据复合函数单调性可知：在上单调递减，D正确.

故选：D.

9．在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足，其中星等为mk的星的亮度为Ek（k=1,2）.已知太阳的星等是–26.7，天狼星的星等是–1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为(     )

A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．

【答案】A

【解析】两颗星的星等与亮度满足,令,

.

故选A.

10．已知，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】则．故选B．

11．设，，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】.

,即

又

即

故选B.

二、填空题

12．已知常数，函数的图象经过点，．若，则______．

【答案】6

【解析】函数f（x）=的图象经过点P（p，），Q（q，）．

则：，

整理得：=1，

解得：2p+q=a2pq，

由于：2p+q=36pq，

所以：a2=36，

由于a＞0，

故：a=6．

故答案为6

13．已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则____．

【答案】-1

【解析】∵α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，

幂函数f（x）=xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，

∴a是奇数，且a＜0，

∴a=﹣1．

故答案为﹣1．

第二部分 模拟训练

一、单选题

1．设，是的前项和.若是递增数列，且对任意，存在，使得.则的取值范围是（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】，，，

因为是递增数列，

所以．

因为，所以对任意，存在，使得，

即：对任意，存在，使得

，

①当时，

由题意可知：对任意，存在，成立，

则成立，

而，，

解不等式无解．

②当时，由题意可知：对任意，存在，成立，

则成立，

而，，恒成立.

故选：D．

2．若实数，满足，，，，则，，的大小关系为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】∵实数，满足，，，

，

．

∴，，的大小关系为．

故选B．

3．已知函数，若，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题得

所以故答案为D

4．函数（且）与函数的图像关于直线对称，则函数与二次函数在同一坐标系内的图像可能是（    ）

A． B． C．D．

【答案】A

【解析】因为函数（且）与函数的图像关于直线对称，

所以，在选项A中，对数函数的图像单调递增，所以a>1,

所以a-1>0,所以二次函数的抛物线开口向上，

抛物线的对称轴为

所以选项A是正确的，

故选A..

5．设函数，若互不相等的实数满足，则的取值范围是（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】画出函数的图象如图所示．

不妨令，则，则．

结合图象可得，故．

∴．

故选：B．

6．已知函数，设方程的四个不等实根从小到大依次为，，，，则下列判断中错误的是（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由题意知函数的图象关于直线对称，故，

，故正确；

又，故正确；

又

，故正确；

故选：C.

二、填空题

7．已知函数，是函数的反函数，若的图象过点，则的值为             .

【答案】4

8．已知函数则___________．

【答案】1

【解析】由题意，，

∴．

故答案为：1．

9．若函数，满足：，均有，成立，则称“与关于分离”.已知函数与（，且）关于分离，则a的取值范围是________.

【答案】

【解析】函数与的图象关于对称

当与相切于上一点时，

，

即，由可得，代入（1）得

所以，两边同时取对数得，即

所以，解得

此时，即

又因为越大，的图象越靠近轴，的图象越靠近轴

所以当函数与关于分离时，

故答案为：

10．已知n∈N*,，，，其中表示这个数中最大的数．数列的前n项和为，若 对任意的n∈N*恒成立，则实数的最大值是______．

【答案】

【解析】设

，

即

∴

∴

即，

由与图象可知：在第一象限n取正整数时，仅有n=3时，

即

∴，即实数的最大值是

故答案为

三、解答题

11．已知函数.

（1）判断函数的奇偶性，并说明理由；

（2）若为R上的偶函数，且关于x的不等式在上恒成立，求实数k的取值范围.

【答案】（1），偶函数；，奇函数；，非奇非偶函数，理由见解析；（2）.

【解析】（1）f（﹣x）＝2﹣x+m•2x，

若f（x）是偶函数，则f（﹣x）＝f（x），即2﹣x+m•2x＝2x+m•2﹣x，

所以（m﹣1）（2x﹣2﹣x）＝0对任意实数x成立，所以m＝1； 

若f（x）是奇函数，则f（﹣x）＝﹣f（x），即2﹣x+m•2x＝﹣2x﹣m•2﹣x，

所以（m+1）（2x+2﹣x）＝0对任意实数x成立，所以m＝﹣1．

综上，当m＝1时，f（x）是偶函数；当m＝﹣1时，f（x）是奇函数；当m≠±1时，f（x）既不是奇函数也不是偶函数．   

（2）f（x）0，3k2+1＞0，

且2k•f（x）＞3k2+1在（﹣∞，0）上恒成立，

故原不等式等价于在（﹣∞，0）上恒成立，

又x∈（﹣∞，0），所以f（x）∈（2，+∞），

所以，

从而，即有3k2﹣4k+1≤0，

因此，．

12．已知，其中是常数.

(1)若是奇函数，求的值；

(2)求证：的图像上不存在两点，使得直线平行于轴.

【答案】(1) .

(2)见解析.

【解析】(1)设定义域为，

因为是奇函数，所以对任意,

有，

整理得，故.

此时，，为奇函数.

(2)若，则，

若，则，

若，则，

设定义域内任意，设，.

.

当时，总有，

，得；

当时，，得；

当时，，，，

，得，故总有在定义域上单调递增，所以总有在定义域上单调递增.

的图像上不存在两点,使得所连的直线与轴平行.

13．已知数列是公比为2的等比数列，且，，成等差数列.

（Ⅰ）求数列的通项公式；

（Ⅱ）记，是数列的前项和，若，求的最小值.

【答案】（I）.

（II）的最小值为100.

【解析】（I）∵，，成等差数列，

∴，

又数列是公比为2的等比数列，

∴，

解得，

∴．

（II）由（Ⅰ）得，

∴．

由，得，

∴，

又，

∴的最小值为100.

14．已知函数

(1) 求函数的反函数；

(2)试问:函数的图象上是否存在关于坐标原点对称的点，若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由；

(3)若方程的三个实数根满足: ，且，求实数的值．

【答案】（1）；（2）存在点关于原点对称；（3）.

【解析】(1)

当时，.

由，得，互换，可得.     

当时，.

 由，得，互换，可得.  

 (2) 答：函数图象上存在两点关于原点对称.

设点是函数图象上关于原点对称的点，   

则，即，                           

解得舍去），且满足 .                

因此，函数图象上存在点关于原点对称.

(3) 考察函数与函数的图象，可得

当时，有，原方程可化为，解得

，且由，得.

当时，有，原方程可化为，化简得

，解得(当时，).

于是，.                            

 由，得，解得.

 因为，故不符合题意，舍去；

，满足条件.因此，所求实数.