高考数学真题与模拟训练汇编专题06 三角函数(教师版)

专题6 三角函数

第一部分 近3年高考真题

一、选择题

1．（2021·北京高考真题）函数，试判断函数的奇偶性及最大值（    ）

A．奇函数，最大值为2 B．偶函数，最大值为2

C．奇函数，最大值为 D．偶函数，最大值为

【答案】D

【解析】由题意，，所以该函数为偶函数，

又，

所以当时，取最大值.

故选：D.

2．（2021·全国高考真题）若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】将式子进行齐次化处理得：

．

故选：C．

3．（2021·全国高考真题（文））函数的最小正周期和最大值分别是（    ）

A．和 B．和2 C．和 D．和2

【答案】C

【解析】由题，，所以的最小正周期为，最大值为.

故选：C．

4．（2021·全国高考真题（文））若，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

，

，，，解得，

，.

故选：A.

5．（2021·全国高考真题（理））把函数图像上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数的图像，则（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】解法一：函数图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到的图象，

根据已知得到了函数的图象，所以，

令,则,

所以,所以；

解法二：由已知的函数逆向变换，

第一步：向左平移个单位长度，得到的图象，

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到的图象，

即为的图象，所以.

故选：B.

6．（2021·全国高考真题（文））（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】由题意，

.

故选：D.

7．（2021·全国高考真题）下列区间中，函数单调递增的区间是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】因为函数的单调递增区间为，

对于函数，由，

解得，

取，可得函数的一个单调递增区间为，

则，，A选项满足条件，B不满足条件；

取，可得函数的一个单调递增区间为，

且，，CD选项均不满足条件.

故选：A.

8．（2020·天津高考真题）已知函数．给出下列结论：

①的最小正周期为；

②是的最大值；

③把函数的图象上所有点向左平移个单位长度，可得到函数的图象．

其中所有正确结论的序号是（    ）

A．① B．①③ C．②③ D．①②③

【答案】B

【解析】因为，所以周期，故①正确；

，故②不正确；

将函数的图象上所有点向左平移个单位长度，得到的图象，

故③正确.

故选：B.

9．（2020·北京高考真题）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（ Day）．历史上，求圆周率的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数充分大时，计算单位圆的内接正边形的周长和外切正边形（各边均与圆相切的正边形）的周长，将它们的算术平均数作为的近似值．按照阿尔·卡西的方法，的近似值的表达式是（    ）．

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】单位圆内接正边形的每条边所对应的圆周角为，每条边长为，

所以，单位圆的内接正边形的周长为，

单位圆的外切正边形的每条边长为，其周长为，

，

则.

故选：A.

10．（2020·全国高考真题（理））设函数在的图像大致如下图，则f(x)的最小正周期为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】由图可得：函数图象过点，

将它代入函数可得：

又是函数图象与轴负半轴的第一个交点，

所以，解得：

所以函数的最小正周期为

故选：C

11．如图，A，B是半径为2的圆周上的定点，P为圆周上的动点，是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为

A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ

【答案】B

【解析】观察图象可知，当P为弧AB的中点时，阴影部分的面积S取最大值，

此时∠BOP=∠AOP=π-β, 面积S的最大值为+S△POB+ S△POA=4β+

.

故选B.

12.设函数=sin（）(＞0)，已知在有且仅有5个零点，下述四个结论：

①在（）有且仅有3个极大值点

②在（）有且仅有2个极小值点

③在（）单调递增

④的取值范围是[)

其中所有正确结论的编号是（    ）

A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④

【答案】D

【解析】当时，，

∵f（x）在有且仅有5个零点，

∴，

∴，故④正确，

由，知时，

令时取得极大值，①正确；

极小值点不确定，可能是2个也可能是3个，②不正确；

因此由选项可知只需判断③是否正确即可得到答案，

当时，，

若f（x）在单调递增，

则 ，即 ，

∵，故③正确．

故选D．

13.已知函数是奇函数，将的图像上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图像对应的函数为.若的最小正周期为，且，则（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】因为为奇函数，∴；

又

，，又

∴，

故选C．

14.函数f(x)=在[—π，π]的图像大致为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】由，得是奇函数，其图象关于原点对称．又．故选D．

15．（2020·海南高考真题）下图是函数y= sin(ωx+φ)的部分图像，则sin(ωx+φ)= （    ）

A． B． C． D．

【答案】BC

【解析】由函数图像可知：，则，所以不选A,

当时，，

解得：，

即函数的解析式为：

.

而

故选：BC.

二、填空题

16．（2021·北京高考真题）若点与点关于轴对称，写出一个符合题意的___．

【答案】（满足即可）

【解析】与关于轴对称，

即关于轴对称，

，

则，

当时，可取的一个值为.

故答案为：（满足即可）.

17．（2021·全国高考真题（文））已知函数的部分图像如图所示，则_______________.

【答案】

【解析】由题意可得：，

当时，，

令可得：，

据此有：.

故答案为：.

18．（2021·全国高考真题（理））已知函数的部分图像如图所示，则满足条件的最小正整数x为________．

【答案】2

【解析】由图可知，即，所以；

由五点法可得，即；

所以.

因为，；

所以由可得或；

因为，所以，

方法一：结合图形可知，最小正整数应该满足，即，

解得，令，可得，

可得的最小正整数为2.

方法二：结合图形可知，最小正整数应该满足，又，符合题意，可得的最小正整数为2.

故答案为：2.

19．（2020·浙江高考真题）已知圆锥的侧面积（单位：） 为2π，且它的侧面积展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面半径（单位：）是_______．

【答案】

【解析】设圆锥底面半径为，母线长为，则

，解得.

故答案为：

20．（2020·海南高考真题）某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示．O为圆孔及轮廓圆弧AB所在圆的圆心，A是圆弧AB与直线AG的切点，B是圆弧AB与直线BC的切点，四边形DEFG为矩形，BC⊥DG，垂足为C，tan∠ODC=，，EF=12 cm，DE=2 cm，A到直线DE和EF的距离均为7 cm，圆孔半径为1 cm，则图中阴影部分的面积为________cm2．

【答案】

【解析】设，由题意，，所以，

因为,所以，

因为，所以，

因为与圆弧相切于点，所以，

即为等腰直角三角形；

在直角中，，，

因为，所以，

解得；

等腰直角的面积为；

扇形的面积，

所以阴影部分的面积为.

故答案为：.

21．（2020·全国高考真题（理））关于函数f（x）=有如下四个命题：

①f（x）的图象关于y轴对称．

②f（x）的图象关于原点对称．

③f（x）的图象关于直线x=对称．

④f（x）的最小值为2．

其中所有真命题的序号是__________．

【答案】②③

【解析】对于命题①，，，则，

所以，函数的图象不关于轴对称，命题①错误；

对于命题②，函数的定义域为，定义域关于原点对称，

，

所以，函数的图象关于原点对称，命题②正确；

对于命题③，，

，则，

所以，函数的图象关于直线对称，命题③正确；

对于命题④，当时，，则，

命题④错误.

故答案为：②③.

三、解答题

22．（2021·浙江高考真题）设函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数在上的最大值.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1）由辅助角公式得，

则，

所以该函数的最小正周期;

（2）由题意，

，

由可得，

所以当即时，函数取最大值.

23．（2020·浙江高考真题）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且．

（I）求角B的大小；

（II）求cosA+cosB+cosC的取值范围．

【答案】（I）；（II）

【解析】（I）由结合正弦定理可得：

△ABC为锐角三角形，故.

（II）结合(1)的结论有：

.

由可得：，，

则，.

即的取值范围是.

24．（2020·全国高考真题（文））△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知．

（1）求A；

（2）若，证明：△ABC是直角三角形．

【答案】（1）；（2）证明见解析

【解析】（1）因为，所以，

即，

解得，又，

所以；

（2）因为，所以，

即①，

又②， 将②代入①得，，

即，而，解得，

所以，

故，

即是直角三角形．

第二部分 模拟训练

1．古希腊的数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用表示.若实数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】根据题中的条件可得.

故选：A．

2．已知函数，的部分图象如图所示，的图象过，两点，将的图象向左平移个单位得到的图象，则函数在上的最小值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】由图象知，，

∴，则，

∴，

将点的坐标代入得，，即，

又，∴，

则，

将的图象向左平移个单位得到函数，

∴在上的最小值为，

故选：A

3．如图所示，扇形的半径为，圆心角为，是扇形弧上的动点，四边形是扇形的内接矩形，则的最大值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

如图，记，在中，，，

在中，，

所以，

设矩形的面积为，

由，所以当，即时，取最大值，为,

故选：A.

4．某中学开展劳动实习，学生加工制作零件，零件的截面如图所示.图中的为矩形，弧为一段圆弧，其尺寸如图所示，则截面（图中阴影部分）的面积为（    ）

A． B．

C． D．

【答案】B

【解析】如图，

由图可知，球半径，

设阴影部分面积为，则截面面积为,

，

，

，

连接,作于F点，

，

为中点，

，

，故 ，,

扇形的面积，

，

，

故选：B

5．定义在上的函数满足：，函数，若，则______．

【答案】

【解析】∵，∴，故；

令，则，

而，即，该函数是奇函数 ，故；

故，

又∵，∴.

故答案为：.

6．已知函数，.下列有关的说法中，正确的是______(填写你认为正确的序号).

①不等式的解集为或；

②在区间上有四个零点；

③的图象关于直线对称；

④的最大值为；

⑤的最小值为；

【答案】③④

【解析】由

①，即，又，则或，故①不正确.

②,则或，又

所以，共有5个零点，故②不正确.

③

所以，则的图象关于直线对称，故③正确.

④

设 ，则，则

由解得，由解得或

所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.

当时, ,当时, ,

当时，，当时，，

所以当时，函数有最大值

所以当时,函数有最小值

所以④正确，⑤不正确.

故答案为：③④

7．已知函数.

（1）求函数在区间上的值域；

（2）若方程在区间上至少有两个不同的解，求的取值范围.

【答案】（1）；（2）.

【解析】（1），

令，，

由的图像知，，即，，

所以函数的值域为.

（2）

，，即

，，且或

由于方程在区间上至少有两个不同的解，

所以，解得，

所以的取值范围为.