还剩30页未读，
继续阅读
28.1-28.2 同步达标训练 人教版九年级数学下册
展开
人教版九年级数学下册《28.1锐角三角函数》同步达标训练（附答案）
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，下列三角函数正确的是（ ）
A．sinB＝ B．cosA＝ C．tanB＝ D．cosB＝
2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，则cosC＝（ ）
A． B． C． D．
3．已知cosα＝0.75，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
4．已知cosα＝，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
5．若sinα＞cosα，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜45° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．45°＜α＜90°
6．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．2
7．已知sin42°≈，则cos48°的值约为（ ）
A． B． C． D．
8．给出下列式子：①cos45°＞sin60°，②sin78°＞cos78°，③sin30°＞tan45°，④sin25°＝cos65°．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．③④
9．已知tanα＝，则α＝（ ）
A．60° B．30° C．45° D．90°
10．关于三角函数有如下公式：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，cosA＝，则AC＝ ．
12．比较sin53° tan37°的大小．
13．△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA+cosA＝ ．
14．在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则cosA＝ ．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，那么sinA＝ ．
16．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝ ．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．
18．我们知道：sin30°＝，tan30°＝，sin45°＝，tan45°＝1，sin60°＝，tan60°＝，由此我们可以看到tan30°＞sin30°，tan45°＞sin45°，tan60°＞sin60°，那么对于任意锐角α，是否可以得到tanα＞sinα呢？请结合锐角三角函数的定义加以说明．
19．（1）已知∠A是锐角，求证：sin2A+cos2A＝1．
（2）已知∠A为锐角，且sinA•cosA＝，求∠A的度数．
20．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求cosB．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，由勾股定理得，
AC＝＝＝5，
所以sinB＝＝，cosA＝＝，tanB＝＝，cosB＝＝，
故选：C．
2．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
由勾股定理得，BC＝＝＝4，
所以cosC＝＝，
故选：D．
3．解：∵＜0.75＜，cos30°＝，cos45°＝，
∴30°＜α＜45°，
故选：B．
4．解：∵cos30°＝，cos45°＝，
∵＜＜，
∴30°＜α＜45°，
故选：B．
5．解：∵cosα＝sin（90°﹣α），sinα＞cosα，
∴sinα＞sin（90°﹣α），
∴α＞90°﹣α，
∴α＞45°，
又∵α为锐角，
∴45°＜x＜90°，
故选：D．
6．解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
由于tanA＝2＝，不妨设b＝k，则a＝2k，由勾股定理得，c＝＝k，
所以cosA＝＝＝，
故选：A．
7．解：cos48°＝sin（90°﹣48°）＝sin42°≈，
故选：A．
8．解：∵cos45°＝，sin60°＝，
∴cos45°＜sin60°．
∴①错误．
∵cos78°＝cos（90°﹣12°）＝sin12°，
又∵正弦值随角度的增大而增大，
∴sin78°＞sin12°．
即sin78°＞cos78°．
∴②正确．
∵sin30°＝，tan45°＝1，
∴sin30°＜tan45°．
∴③错误．
∵cos65°＝cos（90°﹣25°）＝sin25°
∴④正确．
综上，正确的式子有：②④．
故选：B．
9．解：∵tanα＝，
∴α＝60°，
故选：A．
10．解：①sin105°＝sin（45°+60°）
＝sin60°cos45°+cos60°sin45°
＝×+×
＝，故此选项正确；
②tan105°＝tan（60°+45°）
＝
＝
＝
＝﹣2﹣，故此选项正确；
③sin15°＝sin（60°﹣45°）
＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°
＝×﹣×
＝，故此选项正确；
④cos90°＝cos（45°+45°）
＝cos45°cos45°﹣sin45°sin45°
＝×﹣×
＝0，故此选项正确；
故正确的有4个．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，cosA＝＝，
不妨设AC＝12k，则AB＝13k，由勾股定理得，
AC2+BC2＝AB2，
即（12k）2+32＝（13k）2，
解得k＝（取正值），
所以AC＝12k＝，
故答案为：．
12．解：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝53°，∠B＝37°．则AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵sin53°＝＝＝0.8，tan37°＝＝＝0.75，
∴sin53°＞tan37°．
故答案为＞
13．解：如图，∵tanA＝＝，
∴设AB＝5x，则BC＝4x，
AC＝3x，
则有：sinA+cosA＝+＝+＝，
故答案为：．
14．解：在直角△ABC中，∠C＝90°，
sinB＝＝＝cosA，
所以cosA＝，
故答案为：．
15．解：由Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，得
A＝45°．
sinA＝sin45°，
故答案为：．
16．解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠E＝×540°＝108°，∠BAE＝108°
又∵EA＝ED，
∴∠EAD＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠BAD＝∠BAE﹣∠EAD＝72°，
故答案为：72°．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．解：由勾股定理得，AB＝＝＝10，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
答：sinA＝，cosA＝，tanA＝．
18．解：对于任意锐角α，都有tanα＞sinα，理由如下：
如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，设∠A＝α．
则tanα＝，sinα＝，
∵b＜c，
∴＞，
∴tanα＞sinα．
19．解：如图，
在Rt△ABC中，sinA＝，cosA＝，根据勾股定理得，a2+b2＝c2，
（1）证明：sin2A+cos2A＝（）2+（）2＝＝1，
（2）∵sinA•cosA＝，
∴＝，
∴c2＝2ab，
∴a2+b2＝2ab，即：（a﹣b）2＝0，
∴a＝b，
在Rt△ABC中，tanA＝＝1，∠A＝45°．
20．解：∵tanA＝，
∴∠A＝60°．
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°．
∴cosB＝．
2021-2022学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》
同步达标训练（附答案）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝m，那么边AB的长为（ ）
A． B．m•cosα C．m•sinα D．m•cotα
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角函数正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosA＝
3．如图点A（x，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cosα＝，则tanα的值（ ）
A． B． C． D．
4．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，D为AC边上一动点，且tan∠ABD＝，则BD的长度为（ ）
A． B．2 C．5 D．
5．在△ABC中，BC＝+1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（ ）
A． B．+1 C． D．+1
6．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使得B′与C重合，联结A′B，则tan∠A′BC′的值为 ．
7．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为 ．
8．在△ABC中，∠ACB＜90°，AB＝13，AC＝4，tan∠ABC＝，则BC的长为 ．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求cosA的值．
10．如图，AD是△ABC的高，cosB＝，sinC＝，AC＝10，求AB的长．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cosA＝．
（1）求CD的长；
（2）求tan∠DBC的值．
12．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．
（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝22°，AB＝10，求AC的长．（sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，其中结果精确到0.1）
14．如图某船由西向东航行，在点A处测得小岛O在北偏东60°方向，船航行了10海里后到达点B．这时测得小岛O在北偏东45°方向，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离．（结果保留根号）
15．如图，为了测量旗杆AB的高，一位学生在教学楼距地面6m高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为59°，旗杆底部B点的俯角为45°．求旗杆AB的高．（结果
精确到个位）[参考数据：sin59°＝0.86，cos59°＝0.52，tan59°＝1.67]
16．如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距12米的D处测得广告牌顶部A的仰角为37°，测得广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．（结果保留根号，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
17．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部坚有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，≈1.73，sin53°≈，
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．
18．钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施．中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措．如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96°，以及该斜坡AC的坡度i＝，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）
（参考数据：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.85，tan30.96°≈0.60）
19．大汉雄风坐落于河南省永城市芒砀山主峰，是为纪念刘邦在芒砀山斩蛇起义创建四百年大汉王朝而建，某数学兴趣小组想测量底座之上部分雕像AB的高度，如图在和雕塑底座上端水平的山坡C处测得雕塑顶端B的仰角为58.5°，沿山坡上行10米到达点D，测得雕塑顶端B的仰角为45°，已知山坡的坡度i＝1：3，且A，C在同一水平地面上，求塑像AB的高度．（测倾器高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin58.5°≈0.85，cos58.5°≈0.52，tan58.5°≈1.63，≈1.4，≈1.7，≈3.2．）
20．如图，大楼AB高10米，远处有一雕像（含底座）．某人在楼顶A测得雕像顶C点的仰角为30°，此人从楼底B向雕像水平方向前进2米到达点E，在E处测得C点的仰角为53°．已知雕像底座DF的高是8米，求雕像CF的高．（参考数据：sin53°＝，cos53°＝，tan53°＝，≈1.7，计算结果精确到1m．）
21．如图，一艘海轮船位于灯塔P北偏东60°方向，与灯塔距离为80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P南偏东37°方向的B处，求此时轮船所在B处与灯塔P的距离．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.7，结果取整数）
22．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h．
（1）求学校到红色文化基地A的距离？
（2）哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
23．我南海巡逻船接到有人落水求救信号，如图，巡逻船A观测到∠PBA＝67.5°，同时，巡逻船B观测到∠PAB＝36.9°，两巡逻船相距63海里，求此时巡逻船A与落水人P的距离？（参考数据sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈）
24．如图，一辆轿车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，轿车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝53°，如果斑马线的宽度AB＝4米，驾驶员与车头的距离是1.8米，这时轿车车头与斑马线的距离x约是多少米？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73，结果精确到0.1米）
25．图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．
（1）当∠CDE＝60°时，
①求点C到直线DE的距离（计算结果保留根号）；
②若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；
（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在直线DE上即可，则CD旋转的角度为 ．（直接写出结果）
（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）
26．如图1，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图2是它的俯视图．汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米．（参考数据：sin40°≈0.6428，cos40°≈0.7660，sin41°≈0.6561，cos41°≈0.7547，sin42°≈0.6691，cos42°≈0.7431）
（1）当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．
（2）若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？
27．张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图②，其相关数据为AM＝10cm，MD＝6cm，DE＝22cm，EH＝38cm，求EC的长（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝，≈1.73）
28．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条50cm长的绑绳EF，tanα＝，求“人字梯”的顶端离地面的高度（AD）和“人字梯”脚长（AC）．
29．大鸿寨风景区位于禹州市鹏山镇境内，集自然山、水、洞、林为一体，是河南省少有的自然生态旅游区之一，某校数学兴趣小组在研学旅行活动中对大鸿寨主峰卧佛山的高度进行了测量．如图，他们先在山脚A处测得山顶B的仰角∠BAD为45°，然后沿着倾斜角为25°的斜坡向上走了350米达到点C，在点C处测得山顶B的仰角∠BCE为50°，求大鸿寨主峰卧佛山的高度BD．
（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）
30．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G在同一直线上，cos80°≈0.018，sin80°≈0.98，≈1.414），此时小强头部E点与地面DK的距离是多少？
参考答案
1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝m，
∵sinB＝，
∴AB＝＝．
故选：A．
2．解：因为∠ACB＝90°，CD⊥AB，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
故选：B．
3．解：过A作AB⊥x轴于B，则∠ABO＝90°，
∵cosα＝＝，
设OB＝3x，则OA＝5x，
∵A（x，4），
∴AB＝4，
由勾股定理得：AB2+OB2＝OA2，
42+（3x）2＝（5x）2，
解得：x＝1（负数舍去），
即OB＝3，
∴tanα＝＝，
故选：A．
4．解：作DE⊥AB于点E，
设DE长为x，则tanA＝＝＝，
∴EA＝x，
∵tan∠ABD＝＝，
∴BE＝2x，
∴AB＝EA+BE＝x+2x＝6，
∴x＝，
∴BD＝＝＝，
故选：D．
5．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，∵∠B＝45°，
∴BD＝AD．
在Rt△ACD中，∵∠C＝30°，
∴CD＝AD．
∵BD+CD＝BC，
∴AD+AD＝1+．
即AD＝1．
S△ABC＝×BC×AD
＝（1+）．
故选：C．
6．解：过A′作出A′D⊥BC′，垂足为D．
在等腰△A′B′C′中，则A′D是底边上的中线，且A′D⊥B′C′，
∵A′B′＝AB＝5，B′C′＝BC＝8，
∴B′D＝B′C′＝4，BD＝8+4＝12，
∴A′D＝＝3，
Rt△A′BD中，
tan∠A′BC′＝＝．
7．解：如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D．
∵∠ABC＝45°，
∴45°＝∠BAD+∠D＝2∠D，
∴∠D＝22.5°，
设AC＝1，则BC＝1，AB＝AC＝，
∴CD＝CB+BD＝CB+AB＝1+，
∴tan22.5°＝tanD＝＝＝＝﹣1．
故答案为：﹣1．
8．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，tan∠ABC＝＝，
设AD＝12x，BD＝5x，
由勾股定理得AB＝13x，
∵AB＝13，
∴x＝1，
∴AD＝12，BD＝5，
∴CD＝，
∴BC＝BD+CD＝5+4＝9，
故答案为：9．
9．解：过A作AE⊥BC于E，过B作BD⊥AC于D，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BE＝3，
∴AE＝，
∴三角形ABC的面积＝AC•BD＝BC•AE，
即，
∴AD＝，
∴cosA＝＝．
10．解：在Rt△ACD中，sinC＝，
∵sinC＝，AC＝10，
∴，
∴AD＝6．
∴CD＝．
在Rt△ABD中，
∵cosB＝，
∴∠B＝45°，
∴∠BAD＝∠B＝45°，
∴BD＝AD＝6，
∴AB＝6．
11．解：（1）在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝6，cosA＝，
∴AD＝＝10，
∴＝＝8．
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴CD＝DE＝8；
（2）由（1）AD＝10，DC＝8，
∴AC＝AD+DC＝18，
在△ADE与△ABC中，
∵∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即＝，
∴BC＝24，
∴．
12．解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，
∴AB＝10，
在Rt△ACB中，由勾股定理得，
AC＝＝＝6，
即AC的长为6；
（2）如图，
连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，
∵BF为AD边上的中线，
即F为AD的中点，
∴CF＝AD＝FD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝2，
∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，
∴CE＝CD＝2，
在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，
∴tan∠FBD＝＝＝．
解法二：∵BF为AD边上的中线，
∴F是AD中点，
∵FE⊥BD，AC⊥BD，
∴FE∥AC，
∴FE是△ACD的中位线，
∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2，
∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝＝＝．
13．解：在Rt△ABC中，
∵cosA＝，∠A＝22°，AB＝10，
∴AC＝cosA•AB
＝cos22°•10
≈0.93×10
＝9.3．
14．解：设OC＝x海里，
依题意得BC＝OC＝x海里，AC＝x海里，
∴AC﹣BC＝10，即（−1）x＝10，
∴x＝＝5（+1），
答：船与小岛的距离是5（+1）海里．
15．解：过C作CD⊥AB于D，
则∠ACD＝59°，∠DCB＝45°，BD＝6m，
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠BCD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝6（m），
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠ACD＝59°，
∴tan59°＝，
∴AD＝CD•tan59°≈6×1.67≈10（m），
∴AB＝AD+BD＝10+6＝16（m），
答：旗杆AB的高为16m．
16．解：在Rt△BCD中，BC＝DC•tan30°＝12×＝4（m），
在Rt△ACD中，AC＝DC•tan37°≈12×0.75＝9（m），
∴AB＝AC﹣BC＝（9﹣4）（m）．
答：广告牌AB的高度为（9﹣4）m．
17．解：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，
由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝12米，AE＝24米，
∵i＝1：＝＝tan∠BAM，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝6（米），
即点B距水平地面AE的高度为6米；
（2）在Rt△ABM中，
∴NE＝BM＝AB＝6（米），
AM＝AB＝6（米），
∴ME＝AM+AE＝（6+24）米，
∵∠CBN＝45°，
∴CN＝BN＝ME＝（6+24）米，
∴CE＝CN+NE＝（6+30）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝24米，
∴DE＝AE•tan53°≈24×＝32（米），
∴CD＝CE﹣DE
＝6+30﹣32
＝6﹣2
≈7（米）
答：广告牌CD的高约7米．
18．解：∵斜坡AC的坡度i＝，
∴AB：BC＝5：6，
故可设AB＝5x米，BC＝6x米，
在Rt△ADB中，∠D＝30.96°，BD＝（140+6x）米，
∴tan30.96°＝＝0.60，
解得：x＝60（米），
经检验，x＝60是方程的解，
∴5x＝300（米），
答：该岛礁的高AB为300米．
19．解：过点 PD作 DE⊥AC 交 AC于点 E，DF⊥AB交 AB于点 F，
∵i＝1：3，CD＝10，
设 DE＝xm，则 CE＝3xm，
在 Rt△CED 中，x2+（3x）2＝102，
解得：x＝或x＝﹣（舍），
∴DE＝m，则CE＝3m，
∵∠BDF＝∠DBF＝45°，
∴BF＝DF，
设 BF＝DF＝m 米，则 AB＝（m+）米，AC＝（m﹣3）米，
在 Rt△CAB 中，，
解得：m≈29.9，
∴AB＝29.9+≈33.1（米），
答：塑像的高度约为 33.1米．
20．解：如图，过点A作AG⊥CD于G，设CD＝x，
∴四边形ABDG是矩形，
∴AG＝BD，GD＝AB，
∵∠CED＝53°，
∴DE＝，
∴AG＝BD＝+2，
∵∠CAG＝30°，
∴CG＝AG•tan30°，即CD﹣GD＝AG•tan30°，
∴，
解得：x≈20，
∴CF＝CD﹣DF＝20﹣8＝12（米），
答：雕像CF的高为12米．
21．解：过点P作PD⊥AB于D点，
由题意知，AB∥EF，∠ADP＝∠BDP＝90°，AP＝80nmile，
∴∠A＝∠EPA＝60°，∠B＝∠BPF＝37°，
Rt△ADP中，∵sinA＝，
∴PD＝AP•sinA＝AP•sin60°＝（nmile），
Rt△BDP中，∵sinB＝，
∴（nmile），
答：轮船所在B处与灯塔P的距离约为113nmile．
22．解：（1）作BD⊥AC于D．
依题意得，
∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝45°．
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴BD＝CD，
设BD＝xkm，则CD＝xkm，
在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BD＝2xkm，tan30°＝，
∴＝，
∴AD＝x，
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，
∴sin∠DCB＝＝，
∴BC＝x，
∵CD+AD＝30+30，
∴x+x＝30+30，
∴x＝30，
∴AB＝2x＝60（km）；
（2）第二组先到达目的地，
理由：∵BD＝30km，
∴BC＝x＝30km，
第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30÷35＝（h），
∵＜1.5，
∴第二组先到达目的地，
答：第二组先到达目的地．
23．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC＝x海里．
在Rt△APC中，
∵tan∠A＝，
∴AC＝＝
在Rt△PCB中，
∵tan∠B＝，
∴BC＝＝．
∵AC+BC＝AB＝63，
∴+＝63，解得x＝36．
∵sin∠A＝，
∴PA＝＝＝36×＝39（海里）．
∴巡逻船A与落水人P的距离为39海里．
24．解：延长AB，过C作CE⊥AB于点E，
∵∠DCA＝30°，∠DCB＝53°，
∴∠CAB＝∠DCA＝30°，∠CBE＝∠DCB＝53°，
设CE＝m．
则在直角△ACE中，tan∠CAE＝，
∴AE＝＝，
同理BE＝，
∵AB＝AE﹣BE，
∴﹣＝4，
解得：m＝4×≈4.08（m），
∴AE＝m≈7.06（m），
∴x＝7.06﹣4﹣1.8＝1.3（m）．
25．解：（1）①过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE于点F，
则点C到直线DE的距离为CF，
在Rt△CDF中，
∵sin∠CDE＝，
∴CF＝CD•sin60°＝70×＝35（mm）．
②由图可知，点A到直线DE的距离为：AH+CF．
∵∠DCB＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，
∵CG∥DE，
∴∠GCD＝∠CDE＝60°．
∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．
在Rt△ACH中，
∵sin∠ACH＝，
∴AH＝AC•sin∠ACH＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64（mm），
∴点A到直线DE的距离为AH+CF＝35+64＝123.5≈124（mm）．
（2）如下图所示，虚线部分为旋转后的位置，B的对应点为B′，C的对应点为C′，
则B′C′＝BC＝35mm，DC′＝DC＝70mm．
在Rt△B′C′D中，
∵tan∠B′DC′＝＝＝0.5，tan26.6°≈0.5，
∴∠B′DC′＝26.6°．
∴CD旋转的角度为∠CDC′＝∠CDE﹣∠B′DC′＝60°﹣26.6°＝33.4°．
故答案为：33.4°．
26．解：（1）过点A作AC⊥OB，垂足为点C，
在Rt△ACO中，
∵∠AOC＝40°，AO＝1.2米，
∴AC＝sin∠AOC•AO≈0.6428×1.2≈0.77米，
∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，
∴车门不会碰到墙．
（2）当靠墙一侧的车门能打开的最大角度时，AC＝0.8米，
∵sin∠AOC＝＝≈0.67，
∴∠AOC≈42°．
答：靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为42°．
27．解：过点A作AG⊥EH于G，过点M作MN⊥AG于N，如图所示，
则四边形MEGN为矩形，
∴EG＝MN，NG＝ME＝MD+DE＝6+22＝28（cm），
在Rt△AMN中，sin∠AMN＝，cos∠AMN＝，
∴AN＝AM×sin37°≈10×＝6（cm），MN＝AM×cos37°≈10×＝8（cm），
∴EG＝8cm，AG＝AN+NG＝6+28＝34（cm），
∵∠ACG＝60°，
∴CG＝＝＝≈19.60（cm），
∴EC＝EG+CG＝8+19.60≈27.6（cm），
答：EC的长约为27.6cm．
28．解：如图，
由题意得，FG＝EF＝25，
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝α，
∴＝，即，
解得AG＝，
∵EF∥BC，
∴＝，
解得AD＝160，
∵，即，
解得DC＝60，
∴AC＝＝20cm．
∴“人字梯”的顶端离地面的高度AD是160cm，脚长AC是20cm．
29．解：作CF⊥AD于F，
∵∠CAF＝25°，AC＝350米，
∴CF＝sin25°•AC＝0.4×350≈140（米），AF＝cos25°•AC≈0.9×350＝315（米），
设AD＝x，
∵∠BAD为45°，BD⊥AD，
∴BD＝AD＝x，
∴CE＝DF＝x﹣315，BE＝x﹣140，
∵∠BCE＝50°，BD⊥CE，
∴tan50°＝，即1.2≈，
解得x＝1190（米），
∴大鸿寨主峰卧佛山的高度BD为1190米．
30．解：过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M，如图所示：
∵EF+FG＝166cm，FG＝100cm，
∴EF＝166﹣100＝66（cm），
∵∠FGK＝80°，
∴FN＝100•sin80°≈100×0.98＝98（cm），
∵∠EFG＝125°，
∴∠EFM＝180°﹣125°﹣10°＝45°，
∴FM＝66•cos45°＝66×＝33≈46.66（cm），
∴MN＝FN+FM≈144.66（cm），
即此时小强头部E点与地面DK相距约为144.66cm；
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，下列三角函数正确的是（ ）
A．sinB＝ B．cosA＝ C．tanB＝ D．cosB＝
2．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，则cosC＝（ ）
A． B． C． D．
3．已知cosα＝0.75，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
4．已知cosα＝，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜30° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．60°＜α＜90°
5．若sinα＞cosα，则锐角α的取值范围是（ ）
A．0°＜α＜45° B．30°＜α＜45° C．45°＜α＜60° D．45°＜α＜90°
6．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝2，则cosA的值为（ ）
A． B． C． D．2
7．已知sin42°≈，则cos48°的值约为（ ）
A． B． C． D．
8．给出下列式子：①cos45°＞sin60°，②sin78°＞cos78°，③sin30°＞tan45°，④sin25°＝cos65°．其中正确的是（ ）
A．①③ B．②④ C．①④ D．③④
9．已知tanα＝，则α＝（ ）
A．60° B．30° C．45° D．90°
10．关于三角函数有如下公式：
sin（α+β）＝sinαcosβ+cosαsinβ，sin（α﹣β）＝sinαcosβ﹣cosαsinβ
cos（α+β）＝cosαcosβ﹣sinαsinβ，cos（α﹣β）＝cosαcosβ+sinαsinβ
tan（α+β）＝（1﹣tanαtanβ≠0），合理利用这些公式可以将一些角的三角函数值转化为特殊角的三角函数来求值，如sin90°＝sin（30°+60°）＝sin30°cos60°+cos30°sin60°＝＝1
利用上述公式计算下列三角函数①sin105°＝，②tan105°＝﹣2﹣，③sin15°＝，④cos90°＝0
其中正确的个数有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，cosA＝，则AC＝ ．
12．比较sin53° tan37°的大小．
13．△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，则sinA+cosA＝ ．
14．在△ABC中，∠C＝90°，若sinB＝，则cosA＝ ．
15．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，那么sinA＝ ．
16．如图，AD是正五边形ABCDE的一条对角线，则∠BAD＝ ．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，求sinA，cosA，tanA的值．
18．我们知道：sin30°＝，tan30°＝，sin45°＝，tan45°＝1，sin60°＝，tan60°＝，由此我们可以看到tan30°＞sin30°，tan45°＞sin45°，tan60°＞sin60°，那么对于任意锐角α，是否可以得到tanα＞sinα呢？请结合锐角三角函数的定义加以说明．
19．（1）已知∠A是锐角，求证：sin2A+cos2A＝1．
（2）已知∠A为锐角，且sinA•cosA＝，求∠A的度数．
20．在△ABC中，∠C＝90°，tanA＝，求cosB．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分50分）
1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，由勾股定理得，
AC＝＝＝5，
所以sinB＝＝，cosA＝＝，tanB＝＝，cosB＝＝，
故选：C．
2．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，
由勾股定理得，BC＝＝＝4，
所以cosC＝＝，
故选：D．
3．解：∵＜0.75＜，cos30°＝，cos45°＝，
∴30°＜α＜45°，
故选：B．
4．解：∵cos30°＝，cos45°＝，
∵＜＜，
∴30°＜α＜45°，
故选：B．
5．解：∵cosα＝sin（90°﹣α），sinα＞cosα，
∴sinα＞sin（90°﹣α），
∴α＞90°﹣α，
∴α＞45°，
又∵α为锐角，
∴45°＜x＜90°，
故选：D．
6．解：在△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别为a、b、c，
由于tanA＝2＝，不妨设b＝k，则a＝2k，由勾股定理得，c＝＝k，
所以cosA＝＝＝，
故选：A．
7．解：cos48°＝sin（90°﹣48°）＝sin42°≈，
故选：A．
8．解：∵cos45°＝，sin60°＝，
∴cos45°＜sin60°．
∴①错误．
∵cos78°＝cos（90°﹣12°）＝sin12°，
又∵正弦值随角度的增大而增大，
∴sin78°＞sin12°．
即sin78°＞cos78°．
∴②正确．
∵sin30°＝，tan45°＝1，
∴sin30°＜tan45°．
∴③错误．
∵cos65°＝cos（90°﹣25°）＝sin25°
∴④正确．
综上，正确的式子有：②④．
故选：B．
9．解：∵tanα＝，
∴α＝60°，
故选：A．
10．解：①sin105°＝sin（45°+60°）
＝sin60°cos45°+cos60°sin45°
＝×+×
＝，故此选项正确；
②tan105°＝tan（60°+45°）
＝
＝
＝
＝﹣2﹣，故此选项正确；
③sin15°＝sin（60°﹣45°）
＝sin60°cos45°﹣cos60°sin45°
＝×﹣×
＝，故此选项正确；
④cos90°＝cos（45°+45°）
＝cos45°cos45°﹣sin45°sin45°
＝×﹣×
＝0，故此选项正确；
故正确的有4个．
故选：D．
二．填空题（共6小题，满分30分）
11．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，cosA＝＝，
不妨设AC＝12k，则AB＝13k，由勾股定理得，
AC2+BC2＝AB2，
即（12k）2+32＝（13k）2，
解得k＝（取正值），
所以AC＝12k＝，
故答案为：．
12．解：如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝53°，∠B＝37°．则AC＝3，BC＝4，AB＝5，
∵sin53°＝＝＝0.8，tan37°＝＝＝0.75，
∴sin53°＞tan37°．
故答案为＞
13．解：如图，∵tanA＝＝，
∴设AB＝5x，则BC＝4x，
AC＝3x，
则有：sinA+cosA＝+＝+＝，
故答案为：．
14．解：在直角△ABC中，∠C＝90°，
sinB＝＝＝cosA，
所以cosA＝，
故答案为：．
15．解：由Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，得
A＝45°．
sinA＝sin45°，
故答案为：．
16．解：∵正五边形ABCDE的内角和为（5﹣2）×180°＝540°，
∴∠E＝×540°＝108°，∠BAE＝108°
又∵EA＝ED，
∴∠EAD＝×（180°﹣108°）＝36°，
∴∠BAD＝∠BAE﹣∠EAD＝72°，
故答案为：72°．
三．解答题（共4小题，满分40分）
17．解：由勾股定理得，AB＝＝＝10，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
答：sinA＝，cosA＝，tanA＝．
18．解：对于任意锐角α，都有tanα＞sinα，理由如下：
如图，△ABC中，∠C＝90°，∠A、∠B、∠C的对边分别是a、b、c，设∠A＝α．
则tanα＝，sinα＝，
∵b＜c，
∴＞，
∴tanα＞sinα．
19．解：如图，
在Rt△ABC中，sinA＝，cosA＝，根据勾股定理得，a2+b2＝c2，
（1）证明：sin2A+cos2A＝（）2+（）2＝＝1，
（2）∵sinA•cosA＝，
∴＝，
∴c2＝2ab，
∴a2+b2＝2ab，即：（a﹣b）2＝0，
∴a＝b，
在Rt△ABC中，tanA＝＝1，∠A＝45°．
20．解：∵tanA＝，
∴∠A＝60°．
∵∠A+∠B＝90°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°．
∴cosB＝．
2021-2022学年人教版九年级数学下册《28.2解直角三角形及其应用》
同步达标训练（附答案）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝m，那么边AB的长为（ ）
A． B．m•cosα C．m•sinα D．m•cotα
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列四个三角函数正确的是（ ）
A．sinA＝ B．cosA＝ C．tanA＝ D．cosA＝
3．如图点A（x，4）在第一象限，OA与x轴所夹的锐角为α，cosα＝，则tanα的值（ ）
A． B． C． D．
4．如图，Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8，D为AC边上一动点，且tan∠ABD＝，则BD的长度为（ ）
A． B．2 C．5 D．
5．在△ABC中，BC＝+1，∠B＝45°，∠C＝30°，则△ABC的面积为（ ）
A． B．+1 C． D．+1
6．如图，等腰△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝8，将△ABC沿直线BC平移得到△A′B′C′，使得B′与C重合，联结A′B，则tan∠A′BC′的值为 ．
7．构建几何图形解决代数问题是“数形结合”思想的重要性，在计算tan15°时，如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，∠ABC＝30°，延长CB使BD＝AB，连接AD，得∠D＝15°，所以tan15°＝＝＝＝2﹣．类比这种方法，计算tan22.5°的值为 ．
8．在△ABC中，∠ACB＜90°，AB＝13，AC＝4，tan∠ABC＝，则BC的长为 ．
9．如图，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，求cosA的值．
10．如图，AD是△ABC的高，cosB＝，sinC＝，AC＝10，求AB的长．
11．如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cosA＝．
（1）求CD的长；
（2）求tan∠DBC的值．
12．如图，已知△ABD中，AC⊥BD，BC＝8，CD＝4，cos∠ABC＝，BF为AD边上的中线．
（1）求AC的长；
（2）求tan∠FBD的值．
13．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝22°，AB＝10，求AC的长．（sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40，其中结果精确到0.1）
14．如图某船由西向东航行，在点A处测得小岛O在北偏东60°方向，船航行了10海里后到达点B．这时测得小岛O在北偏东45°方向，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离．（结果保留根号）
15．如图，为了测量旗杆AB的高，一位学生在教学楼距地面6m高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为59°，旗杆底部B点的俯角为45°．求旗杆AB的高．（结果
精确到个位）[参考数据：sin59°＝0.86，cos59°＝0.52，tan59°＝1.67]
16．如图，楼顶上有一个广告牌AB，从与楼BC相距12米的D处测得广告牌顶部A的仰角为37°，测得广告牌底部B的仰角为30°，求广告牌AB的高度．（结果保留根号，参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）
17．校内数学兴趣小组组织了一次测量探究活动．如图，大楼的顶部坚有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度i＝1：，AB＝12米，AE＝24米．（测角器的高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：，≈1.73，sin53°≈，
（1）求点B距水平地面AE的高度；
（2）求广告牌CD的高度．
18．钓鱼岛及其附属岛屿是中国的固有领土，神圣不可侵犯！自2021年2月1日起，旨在维护国家主权、更好履行海警机构职责的《中华人民共和国海警法》正式实施．中国海警在钓鱼岛海域开展巡航执法活动，是中方依法维护主权的正当举措．如图是钓鱼岛其中一个岛礁，若某测量船在海面上的点D处测得与斜坡AC坡脚点C的距离为140米，测得岛礁顶端A的仰角为30.96°，以及该斜坡AC的坡度i＝，求该岛礁的高（即点A到海平面的铅垂高度）．（结果保留整数）
（参考数据：sin30.96°≈0.51，cos30.96°≈0.85，tan30.96°≈0.60）
19．大汉雄风坐落于河南省永城市芒砀山主峰，是为纪念刘邦在芒砀山斩蛇起义创建四百年大汉王朝而建，某数学兴趣小组想测量底座之上部分雕像AB的高度，如图在和雕塑底座上端水平的山坡C处测得雕塑顶端B的仰角为58.5°，沿山坡上行10米到达点D，测得雕塑顶端B的仰角为45°，已知山坡的坡度i＝1：3，且A，C在同一水平地面上，求塑像AB的高度．（测倾器高度忽略不计，结果精确到0.1米，参考数据：sin58.5°≈0.85，cos58.5°≈0.52，tan58.5°≈1.63，≈1.4，≈1.7，≈3.2．）
20．如图，大楼AB高10米，远处有一雕像（含底座）．某人在楼顶A测得雕像顶C点的仰角为30°，此人从楼底B向雕像水平方向前进2米到达点E，在E处测得C点的仰角为53°．已知雕像底座DF的高是8米，求雕像CF的高．（参考数据：sin53°＝，cos53°＝，tan53°＝，≈1.7，计算结果精确到1m．）
21．如图，一艘海轮船位于灯塔P北偏东60°方向，与灯塔距离为80nmile的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P南偏东37°方向的B处，求此时轮船所在B处与灯塔P的距离．（参考数据：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75，≈1.7，结果取整数）
22．为了丰富学生的文化生活，学校利用假期组织学生到红色文化基地A和人工智能科技馆C参观学习．如图，学校在点B处，A位于学校的东北方向，C位于学校南偏东30°方向，C在A的南偏西15°方向（30+30）km处．学生分成两组，第一组前往A地，第二组前往C地，两组同学同时从学校出发，第一组乘客车，速度是40km/h，第二组乘公交车，速度是35km/h．
（1）求学校到红色文化基地A的距离？
（2）哪组同学先到达目的地？请说明理由（结果保留根号）．
23．我南海巡逻船接到有人落水求救信号，如图，巡逻船A观测到∠PBA＝67.5°，同时，巡逻船B观测到∠PAB＝36.9°，两巡逻船相距63海里，求此时巡逻船A与落水人P的距离？（参考数据sin36.9°≈，tan36.9°≈，sin67.5°≈）
24．如图，一辆轿车在一个十字路口遇到红灯刹车停下，轿车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA＝30°和∠DCB＝53°，如果斑马线的宽度AB＝4米，驾驶员与车头的距离是1.8米，这时轿车车头与斑马线的距离x约是多少米？（参考数据：sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈，≈1.73，结果精确到0.1米）
25．图①是一种手机平板支架，由托板、支撑板和底座构成，手机放置在托板上，图②是其侧面结构示意图，托板长AB＝115mm，支撑板长CD＝70mm，板AB固定在支撑板顶点C处，且CB＝35mm，托板AB可绕点C转动，支撑板CD可绕点D转动．
（1）当∠CDE＝60°时，
①求点C到直线DE的距离（计算结果保留根号）；
②若∠DCB＝70°时，求点A到直线DE的距离（计算结果精确到个位）；
（2）为了观看舒适，把（1）中∠DCB＝70°调整为90°，再将CD绕点D逆时针旋转，使点B落在直线DE上即可，则CD旋转的角度为 ．（直接写出结果）
（参考数据：sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2，sin26.6°≈0.4，cos26.6°≈0.9，tan26.6°≈0.5，≈1.7）
26．如图1，是一辆小汽车与墙平行停放的实物图片，图2是它的俯视图．汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，已知小汽车车门宽AO为1.2米．（参考数据：sin40°≈0.6428，cos40°≈0.7660，sin41°≈0.6561，cos41°≈0.7547，sin42°≈0.6691，cos42°≈0.7431）
（1）当车门打开角度∠AOB为40°时，车门是否会碰到墙？请说明理由．
（2）若车停在原地不动，靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为多少？
27．张老师家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头（如图①），完全开启后，把手AM与水平线的夹角为37°，此时把手端点A、出水口点B和落水点C在同一直线上，洗手盆及水龙头示意图如图②，其相关数据为AM＝10cm，MD＝6cm，DE＝22cm，EH＝38cm，求EC的长（结果精确到0.1cm，参考数据：sin37°＝，cos37°＝，tan37°＝，≈1.73）
28．如图，已知“人字梯”的5个踩档把梯子等分成6份，从上往下的第二个踩档与第三个踩档的正中间处有一条50cm长的绑绳EF，tanα＝，求“人字梯”的顶端离地面的高度（AD）和“人字梯”脚长（AC）．
29．大鸿寨风景区位于禹州市鹏山镇境内，集自然山、水、洞、林为一体，是河南省少有的自然生态旅游区之一，某校数学兴趣小组在研学旅行活动中对大鸿寨主峰卧佛山的高度进行了测量．如图，他们先在山脚A处测得山顶B的仰角∠BAD为45°，然后沿着倾斜角为25°的斜坡向上走了350米达到点C，在点C处测得山顶B的仰角∠BCE为50°，求大鸿寨主峰卧佛山的高度BD．
（结果精确到1米，参考数据：sin25°≈0.4，cos25°≈0.9，tan25°≈0.5，sin50°≈0.8，cos50°≈0.6，tan50°≈1.2）
30．如图是小强洗漱时的侧面示意图，洗漱台（矩形ABCD）靠墙摆放，高AD＝80cm，宽AB＝48cm，小强身高166cm，下半身FG＝100cm，洗漱时下半身与地面成80°（∠FGK＝80°），身体前倾成125°（∠EFG＝125°），脚与洗漱台距离GC＝15cm（点D，C，G在同一直线上，cos80°≈0.018，sin80°≈0.98，≈1.414），此时小强头部E点与地面DK的距离是多少？
参考答案
1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝m，
∵sinB＝，
∴AB＝＝．
故选：A．
2．解：因为∠ACB＝90°，CD⊥AB，
所以sinA＝＝，cosA＝＝，tanA＝＝，
故选：B．
3．解：过A作AB⊥x轴于B，则∠ABO＝90°，
∵cosα＝＝，
设OB＝3x，则OA＝5x，
∵A（x，4），
∴AB＝4，
由勾股定理得：AB2+OB2＝OA2，
42+（3x）2＝（5x）2，
解得：x＝1（负数舍去），
即OB＝3，
∴tanα＝＝，
故选：A．
4．解：作DE⊥AB于点E，
设DE长为x，则tanA＝＝＝，
∴EA＝x，
∵tan∠ABD＝＝，
∴BE＝2x，
∴AB＝EA+BE＝x+2x＝6，
∴x＝，
∴BD＝＝＝，
故选：D．
5．解：过点A作AD⊥BC，垂足为D．
在Rt△ABD中，∵∠B＝45°，
∴BD＝AD．
在Rt△ACD中，∵∠C＝30°，
∴CD＝AD．
∵BD+CD＝BC，
∴AD+AD＝1+．
即AD＝1．
S△ABC＝×BC×AD
＝（1+）．
故选：C．
6．解：过A′作出A′D⊥BC′，垂足为D．
在等腰△A′B′C′中，则A′D是底边上的中线，且A′D⊥B′C′，
∵A′B′＝AB＝5，B′C′＝BC＝8，
∴B′D＝B′C′＝4，BD＝8+4＝12，
∴A′D＝＝3，
Rt△A′BD中，
tan∠A′BC′＝＝．
7．解：如图，在等腰直角△ABC中，∠C＝90°，延长CB至点D，使得AB＝BD，则∠BAD＝∠D．
∵∠ABC＝45°，
∴45°＝∠BAD+∠D＝2∠D，
∴∠D＝22.5°，
设AC＝1，则BC＝1，AB＝AC＝，
∴CD＝CB+BD＝CB+AB＝1+，
∴tan22.5°＝tanD＝＝＝＝﹣1．
故答案为：﹣1．
8．解：如图，过点A作AD⊥BC于点D，
在Rt△ABD中，tan∠ABC＝＝，
设AD＝12x，BD＝5x，
由勾股定理得AB＝13x，
∵AB＝13，
∴x＝1，
∴AD＝12，BD＝5，
∴CD＝，
∴BC＝BD+CD＝5+4＝9，
故答案为：9．
9．解：过A作AE⊥BC于E，过B作BD⊥AC于D，
∵AB＝AC＝5，BC＝6，
∴BE＝3，
∴AE＝，
∴三角形ABC的面积＝AC•BD＝BC•AE，
即，
∴AD＝，
∴cosA＝＝．
10．解：在Rt△ACD中，sinC＝，
∵sinC＝，AC＝10，
∴，
∴AD＝6．
∴CD＝．
在Rt△ABD中，
∵cosB＝，
∴∠B＝45°，
∴∠BAD＝∠B＝45°，
∴BD＝AD＝6，
∴AB＝6．
11．解：（1）在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝6，cosA＝，
∴AD＝＝10，
∴＝＝8．
∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴CD＝DE＝8；
（2）由（1）AD＝10，DC＝8，
∴AC＝AD+DC＝18，
在△ADE与△ABC中，
∵∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB，
∴△ADE∽△ABC，
∴，即＝，
∴BC＝24，
∴．
12．解：（1）∵AC⊥BD，cos∠ABC＝＝，BC＝8，
∴AB＝10，
在Rt△ACB中，由勾股定理得，
AC＝＝＝6，
即AC的长为6；
（2）如图，
连接CF，过F点作BD的垂线，垂足E，
∵BF为AD边上的中线，
即F为AD的中点，
∴CF＝AD＝FD，
在Rt△ACD中，由勾股定理得，
AD＝＝＝2，
∵三角形CFD为等腰三角形，FE⊥CD，
∴CE＝CD＝2，
在Rt△EFC中，EF＝＝＝3，
∴tan∠FBD＝＝＝．
解法二：∵BF为AD边上的中线，
∴F是AD中点，
∵FE⊥BD，AC⊥BD，
∴FE∥AC，
∴FE是△ACD的中位线，
∴FE＝AC＝3，CE＝CD＝2，
∴在Rt△BFE中，tan∠FBD＝＝＝．
13．解：在Rt△ABC中，
∵cosA＝，∠A＝22°，AB＝10，
∴AC＝cosA•AB
＝cos22°•10
≈0.93×10
＝9.3．
14．解：设OC＝x海里，
依题意得BC＝OC＝x海里，AC＝x海里，
∴AC﹣BC＝10，即（−1）x＝10，
∴x＝＝5（+1），
答：船与小岛的距离是5（+1）海里．
15．解：过C作CD⊥AB于D，
则∠ACD＝59°，∠DCB＝45°，BD＝6m，
在Rt△BCD中，∵∠BDC＝90°，∠BCD＝45°，
∴△BCD是等腰直角三角形，
∴BD＝CD＝6（m），
在Rt△ADC中，∠ADC＝90°，∠ACD＝59°，
∴tan59°＝，
∴AD＝CD•tan59°≈6×1.67≈10（m），
∴AB＝AD+BD＝10+6＝16（m），
答：旗杆AB的高为16m．
16．解：在Rt△BCD中，BC＝DC•tan30°＝12×＝4（m），
在Rt△ACD中，AC＝DC•tan37°≈12×0.75＝9（m），
∴AB＝AC﹣BC＝（9﹣4）（m）．
答：广告牌AB的高度为（9﹣4）m．
17．解：（1）如图，过点B作BM⊥AE，BN⊥CE，垂足分别为M、N，
由题意可知，∠CBN＝45°，∠DAE＝53°，i＝1：，AB＝12米，AE＝24米，
∵i＝1：＝＝tan∠BAM，
∴∠BAM＝30°，
∴BM＝AB＝6（米），
即点B距水平地面AE的高度为6米；
（2）在Rt△ABM中，
∴NE＝BM＝AB＝6（米），
AM＝AB＝6（米），
∴ME＝AM+AE＝（6+24）米，
∵∠CBN＝45°，
∴CN＝BN＝ME＝（6+24）米，
∴CE＝CN+NE＝（6+30）米，
在Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝24米，
∴DE＝AE•tan53°≈24×＝32（米），
∴CD＝CE﹣DE
＝6+30﹣32
＝6﹣2
≈7（米）
答：广告牌CD的高约7米．
18．解：∵斜坡AC的坡度i＝，
∴AB：BC＝5：6，
故可设AB＝5x米，BC＝6x米，
在Rt△ADB中，∠D＝30.96°，BD＝（140+6x）米，
∴tan30.96°＝＝0.60，
解得：x＝60（米），
经检验，x＝60是方程的解，
∴5x＝300（米），
答：该岛礁的高AB为300米．
19．解：过点 PD作 DE⊥AC 交 AC于点 E，DF⊥AB交 AB于点 F，
∵i＝1：3，CD＝10，
设 DE＝xm，则 CE＝3xm，
在 Rt△CED 中，x2+（3x）2＝102，
解得：x＝或x＝﹣（舍），
∴DE＝m，则CE＝3m，
∵∠BDF＝∠DBF＝45°，
∴BF＝DF，
设 BF＝DF＝m 米，则 AB＝（m+）米，AC＝（m﹣3）米，
在 Rt△CAB 中，，
解得：m≈29.9，
∴AB＝29.9+≈33.1（米），
答：塑像的高度约为 33.1米．
20．解：如图，过点A作AG⊥CD于G，设CD＝x，
∴四边形ABDG是矩形，
∴AG＝BD，GD＝AB，
∵∠CED＝53°，
∴DE＝，
∴AG＝BD＝+2，
∵∠CAG＝30°，
∴CG＝AG•tan30°，即CD﹣GD＝AG•tan30°，
∴，
解得：x≈20，
∴CF＝CD﹣DF＝20﹣8＝12（米），
答：雕像CF的高为12米．
21．解：过点P作PD⊥AB于D点，
由题意知，AB∥EF，∠ADP＝∠BDP＝90°，AP＝80nmile，
∴∠A＝∠EPA＝60°，∠B＝∠BPF＝37°，
Rt△ADP中，∵sinA＝，
∴PD＝AP•sinA＝AP•sin60°＝（nmile），
Rt△BDP中，∵sinB＝，
∴（nmile），
答：轮船所在B处与灯塔P的距离约为113nmile．
22．解：（1）作BD⊥AC于D．
依题意得，
∠BAE＝45°，∠ABC＝105°，∠CAE＝15°，
∴∠BAC＝30°，
∴∠ACB＝45°．
在Rt△BCD中，∠BDC＝90°，∠ACB＝45°，
∴∠CBD＝45°，
∴∠CBD＝∠DCB，
∴BD＝CD，
设BD＝xkm，则CD＝xkm，
在Rt△ABD中，∠BAC＝30°，
∴AB＝2BD＝2xkm，tan30°＝，
∴＝，
∴AD＝x，
在Rt△BDC中，∠BDC＝90°，∠DCB＝45°，
∴sin∠DCB＝＝，
∴BC＝x，
∵CD+AD＝30+30，
∴x+x＝30+30，
∴x＝30，
∴AB＝2x＝60（km）；
（2）第二组先到达目的地，
理由：∵BD＝30km，
∴BC＝x＝30km，
第一组用时：60÷40＝1.5（h）；第二组用时：30÷35＝（h），
∵＜1.5，
∴第二组先到达目的地，
答：第二组先到达目的地．
23．解：过点P作PC⊥AB，垂足为C，设PC＝x海里．
在Rt△APC中，
∵tan∠A＝，
∴AC＝＝
在Rt△PCB中，
∵tan∠B＝，
∴BC＝＝．
∵AC+BC＝AB＝63，
∴+＝63，解得x＝36．
∵sin∠A＝，
∴PA＝＝＝36×＝39（海里）．
∴巡逻船A与落水人P的距离为39海里．
24．解：延长AB，过C作CE⊥AB于点E，
∵∠DCA＝30°，∠DCB＝53°，
∴∠CAB＝∠DCA＝30°，∠CBE＝∠DCB＝53°，
设CE＝m．
则在直角△ACE中，tan∠CAE＝，
∴AE＝＝，
同理BE＝，
∵AB＝AE﹣BE，
∴﹣＝4，
解得：m＝4×≈4.08（m），
∴AE＝m≈7.06（m），
∴x＝7.06﹣4﹣1.8＝1.3（m）．
25．解：（1）①过点C作CG∥DE，过点A作AH⊥CG于H，过点C作CF⊥DE于点F，
则点C到直线DE的距离为CF，
在Rt△CDF中，
∵sin∠CDE＝，
∴CF＝CD•sin60°＝70×＝35（mm）．
②由图可知，点A到直线DE的距离为：AH+CF．
∵∠DCB＝70°，
∴∠ACD＝180°﹣∠DCB＝110°，
∵CG∥DE，
∴∠GCD＝∠CDE＝60°．
∴∠ACH＝∠ACD﹣∠DCG＝50°．
在Rt△ACH中，
∵sin∠ACH＝，
∴AH＝AC•sin∠ACH＝（115﹣35）×sin50°≈80×0.8＝64（mm），
∴点A到直线DE的距离为AH+CF＝35+64＝123.5≈124（mm）．
（2）如下图所示，虚线部分为旋转后的位置，B的对应点为B′，C的对应点为C′，
则B′C′＝BC＝35mm，DC′＝DC＝70mm．
在Rt△B′C′D中，
∵tan∠B′DC′＝＝＝0.5，tan26.6°≈0.5，
∴∠B′DC′＝26.6°．
∴CD旋转的角度为∠CDC′＝∠CDE﹣∠B′DC′＝60°﹣26.6°＝33.4°．
故答案为：33.4°．
26．解：（1）过点A作AC⊥OB，垂足为点C，
在Rt△ACO中，
∵∠AOC＝40°，AO＝1.2米，
∴AC＝sin∠AOC•AO≈0.6428×1.2≈0.77米，
∵汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，
∴车门不会碰到墙．
（2）当靠墙一侧的车门能打开的最大角度时，AC＝0.8米，
∵sin∠AOC＝＝≈0.67，
∴∠AOC≈42°．
答：靠墙一侧的车门能打开的最大角度约为42°．
27．解：过点A作AG⊥EH于G，过点M作MN⊥AG于N，如图所示，
则四边形MEGN为矩形，
∴EG＝MN，NG＝ME＝MD+DE＝6+22＝28（cm），
在Rt△AMN中，sin∠AMN＝，cos∠AMN＝，
∴AN＝AM×sin37°≈10×＝6（cm），MN＝AM×cos37°≈10×＝8（cm），
∴EG＝8cm，AG＝AN+NG＝6+28＝34（cm），
∵∠ACG＝60°，
∴CG＝＝＝≈19.60（cm），
∴EC＝EG+CG＝8+19.60≈27.6（cm），
答：EC的长约为27.6cm．
28．解：如图，
由题意得，FG＝EF＝25，
∵EF∥BC，
∴∠AFE＝α，
∴＝，即，
解得AG＝，
∵EF∥BC，
∴＝，
解得AD＝160，
∵，即，
解得DC＝60，
∴AC＝＝20cm．
∴“人字梯”的顶端离地面的高度AD是160cm，脚长AC是20cm．
29．解：作CF⊥AD于F，
∵∠CAF＝25°，AC＝350米，
∴CF＝sin25°•AC＝0.4×350≈140（米），AF＝cos25°•AC≈0.9×350＝315（米），
设AD＝x，
∵∠BAD为45°，BD⊥AD，
∴BD＝AD＝x，
∴CE＝DF＝x﹣315，BE＝x﹣140，
∵∠BCE＝50°，BD⊥CE，
∴tan50°＝，即1.2≈，
解得x＝1190（米），
∴大鸿寨主峰卧佛山的高度BD为1190米．
30．解：过点F作FN⊥DK于N，过点E作EM⊥FN于M，如图所示：
∵EF+FG＝166cm，FG＝100cm，
∴EF＝166﹣100＝66（cm），
∵∠FGK＝80°，
∴FN＝100•sin80°≈100×0.98＝98（cm），
∵∠EFG＝125°，
∴∠EFM＝180°﹣125°﹣10°＝45°，
∴FM＝66•cos45°＝66×＝33≈46.66（cm），
∴MN＝FN+FM≈144.66（cm），
即此时小强头部E点与地面DK相距约为144.66cm；
相关资料
更多
