2021-2022学年陕西省咸阳市高新一中高一下学期入学测试数学试题（解析版）

2021-2022学年陕西省咸阳市高新一中高一下学期入学测试数学试题

一、单选题

1．已知集合，，，则（       ）

A． B．0，2

C． D．

【答案】D

【分析】利用集合的交、补运算求，注意各选项中集合表示方式的正确性.

【详解】由题设，，而，

∴.

故选：D

2．已知集合到的映射，那么集合中元素2在中的象是（       ）

A．5 B． C．6 D．8

【答案】A

【分析】由映射的定义，中元素2映射到中为，即可得解.

【详解】由可得，

故选：A

3．（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】结合诱导公式、两角差的正弦公式求得正确答案.

【详解】

.

故选：A

4．已知，，，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】先利用对数函数的换底公式，然后根据对数函数的单调性判断即可解得答案.

【详解】解：，，，根据对数函数的单调性故.

故选：B.

5．已知向量，则（       ）

A．0 B．1 C． D．2

【答案】A

【分析】根据向量数量积的坐标运算公式，准确计算，即可求解.

【详解】由题意，向量，可得，

所以.

故选：A.

6．某种产品今年的产量是，如果保持的年增长率，那么经过年，该产品的产量满足（       ）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】根据增长率，求得经过年后的产量.

【详解】今年产量为，经过年后产量为，经过年后产量为，以此类推，经过年后产量为.

故选D.

【点睛】本小题主要考查指数增长，考查实际生活中的数学应用问题，属于基础题.

7．函数的单调增区间为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】根据二次函数的开口和对称轴求解即可.

【详解】二次函数，开口向下，对称轴为，

所以单调增区间为.

故选：A

8．函数的图象大致为（　　）

A． B．

C． D．

【答案】A

【分析】先判断函数奇偶性得函数为奇函数，故排除C,D，在根据时，排除B,进而得答案.

【详解】因为，

所以是奇函数，排除C，D.

当时，，，排除B.

故选：A.

【点睛】思路点睛：函数图象的辨识可从以下方面入手：

(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．

(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；

(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；

(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.

9．设M和m分别表示函数的最大值和最小值，则等于（       ）

A． B． C． D．-2

【答案】D

【分析】利用余弦函数的性质可求得cosx范围，进而确定函数的值域，求得M和m，则M+m的值可得.

【详解】因为，所以，

所以，

所以M+m=-2.

故选：D

10．已知函数(，)的部分图象如图所示，则（       ）

A． B．点是图象的一个对称中心

C． D．直线是图象的一条对称轴

【答案】D

【分析】结合三角函数的最值、对称轴、对称中心的公式，以及通过代入三角函数图像与y轴的交点，即可分别求解.

【详解】因为，所以，解得，故A错误；

，则．又，所以，故C错误；

令，，解得，，且，故图象的对称中心为，故B错误；

，令，，解得，，

所以图象对称轴的方程为，，令，则，故D正确.

故选：D

11．已知，则（       ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】根据题意，结合二倍角公式与同角的三角函数关系，构造齐次式即可求解.

【详解】．

故选：D.

12．函数的图象与函数 的图象所有交点的横坐标之和等于（       ）

A．2 B．4 C．6 D．8

【答案】B

【分析】根据函数的图象与函数 的图象求得正确答案.

【详解】画出函数的图象与函数 的图象如下图所示，

由图可知，两个图象有个交点，

由于函数的图象与函数 的图象都关于对称.

所以所有交点的横坐标之和等于.

故选：B

二、填空题

13．若，则___________.

【答案】

【解析】由即可计算.

【详解】，

.

故答案为：.

14．已知，且，则___________.

【答案】

【解析】首先求，再利用二倍角的正切公式求.

【详解】解：，且，

，

，，

故答案为：.

15．已知与的夹角为，，，则__________.

【答案】

【分析】首先运算出与的数量积，然后对进行平方再开方变形，即可求解.

【详解】∵与的夹角为，，，

∴，

∴.

故答案为：.

16．已知函数，则_________.

【答案】3

【分析】根据分段函数的解析式求得.

【详解】.

故答案为：

三、解答题

17．求值：

(1)lg 500＋lg－lg 64＋50(lg 2＋lg 5)2；

(2).

【答案】(1)52

(2)

【分析】（1）利用对数运算化简求得正确答案.

（2）利用二倍角公式求得正确答案.

【详解】(1)原式

.

(2)原式.

18．已知函数，求不等式的解集．

【答案】或

【分析】利用对数运算化简的解析式，结合对数函数的单调性求得不等式的解集.

【详解】，

则不等式，即或，

故或，

所以不等式的解集为或．

19．已知函数．

(1)求的最值；

(2)当时，求的值域.

【答案】(1)

(2)

【分析】（1）利用同角三角函数的基本关系式、辅助角公式化简的解析式，由此求得的最值.

（2）根据三角函数值域的求法，求得在区间上的值域.

【详解】(1)，

；

(2)由（1）可知，．

当时，，，

.

20．已知，，其中.

(1)求证：与互相垂直；

(2)若与（）的长度相等，求.

【答案】(1)证明见解析

(2)

【分析】（1）通过计算来证得与互相垂直.

（2）根据与（）的长度相等列方程，化简求得，进而求得.

【详解】(1)因为

，

所以与互相垂直.

(2)，

，

所以，

，

因为，

所以，有，

因为，故，又因为，所以.

21．如图，已知AD，BE，CF分别是△ABC的三条高，求证：AD，BE，CF相交于同一点．

【答案】证明见解析

【分析】设交于点，通过证明来证得结论成立.

【详解】设AD，BE交于点H，以下只需证明点H在CF上，因为AD⊥BC，BE⊥CA，则有，，

又，①

，②

①﹣②，可得即，所以，CH⊥AB，

而CF⊥AB，则C，H，F三点共线，H在CF上．故AD，BE，CF相交于同一点．

22．已知函数f(x)＝sinsin x－cos2x＋

（1）求f(x)的最大值及取得最大值时x的值；

（2）若方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2，求cos(x1－x2)的值．

【答案】（1）x＝π＋kπ(k∈Z)，最大值为1；（2）.

【分析】（1）利用二倍角公式和辅助角公式化简函数f(x)解析式，由正弦函数的性质可得答案.

（2）求出函数f(x)的对称轴，得到x1与x2的关系，利用诱导公式化简可得答案.

【详解】（1）f(x)＝cos xsin x－ (2cos2x－1)＝sin 2x－cos 2x＝sin.

当2x－＝＋2kπ(k∈Z)，即x＝π＋kπ(k∈Z)时，函数f(x)取最大值，且最大值为1.

（2）由（1）知，当x∈(0，π)时，函数f(x)图象的对称轴为x＝π.

又方程f(x)＝在(0，π)上的解为x1，x2.

所以x1＋x2＝π，则x1＝π－x2，

所以cos(x1－x2)＝cos＝sin，

又f(x2)＝sin＝，

故cos(x1－x2)＝.

【点睛】本题考查三角函数恒等变换，考查正弦函数的图像与性质，属于中档题.