高中数学高考黄金卷01（新课标Ⅲ卷）（理）（解析版）

这是一份高中数学高考黄金卷01（新课标Ⅲ卷）（理）（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
黄金卷01（新课标Ⅲ卷）理科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合，，则(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】由可得：，由可得：，∴，故选A。2．在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于(  )。A、第一象限B、第二象限C、第三象限D、第四象限【答案】C【解析】由已知得：，则，∴复数对于的点为，位于第三象限，故选C。3．王老师是高三的班主任，为了在新型冠状病毒疫情期间更好地督促班上的学生完成作业，王老师特地组建了一个学习小组的钉钉群，群的成员由学生、家长、老师共同组成。已知该钉钉群中男学生人数多于女学生人数，女学生人数多于家长人数，家长人数多于教师人数，教师人数的两倍多于男学生人数。则该钉钉群人数的最小值为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】设教师人数为，家长人数为，女学生人数为，男学生人数为，、、、，则，，，则，又“教师人数的两倍多于男学生人数，∴，∴，当时，，此时总人数最少为，故选C。4．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】由三视图可还原成三棱锥如图所示，其中是边长为的正三角形，作平面与点，连接，交于点，则为的中点，、、，∴，故选D。5．若双曲线(，)的一个焦点到一条渐近线的距离等于焦距的，则该双曲线的渐近线方程是(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】双曲线(，)的一个焦点到一条渐近线的距离为，则，则，又，则，则，， 渐近线方程为，即，故选A。6．某公司为了调查产品在、、三个城市的营销情况，派甲、乙、丙、丁四人去调研，每人只去一个城市每个城市必须有人去，且甲乙不能去同一个城市，则不同的派遣方法有(  )。A、种B、种C、种D、种【答案】D【解析】人不同组合方案有：①若甲、乙各自单独为一组，有种，②若甲与丙、丁之一为一组，有种，③若乙与丙、丁之一为一组，有种，故不同的派遣方法有种，故选D。7．《九章算术》的“开立圆术”中，“立圆”的意思是“球体”，古称“丸”，而“并立圆术”即求已知体积的球体的直径的方法：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。”其意思为：“把球体体积先乘再除以，然后再把得数开立方，所得即为所求球体直径的近似值。”则当球体体积为时，球半径的近似值为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】由题意可得，，则。8．已知，则中的系数为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】，则，的通项公式，则两个通项公式为，当时，，当时，则的系数为，故选C。9．已知()关于对称，将函数图像向左平移()个单位后与重合，则的最小值为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵关于对称，∴，即()，又，∴，，将向左平移个单位，，此时与重合，∴有()，∴的最小值为，故选A。10．互相垂直的直线、(不与坐标轴垂直)过抛物线：的焦点，且分别与抛物线交于点、、、，记、的中点分别为、，则线段的中点的轨迹方程为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】由题意，抛物线：的焦点，设直线、的方程分别为和，、、、，联立得，∴、，联立得，∴、，∴、，∴，∴的轨迹方程为，故选A。11．已知函数()有唯一的零点，则(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】有唯一的零点可转化为与由唯一的交点，要想有唯一的零点，则在处取得极小值，且，则交点坐标，的定义域为，，则且，即，构造出新的函数，则恒成立，∴是单调递增函数，又，，根据零点存在定理可知，故选A。12．设棱锥的底面是正方形，且，，如果的面积为，则能够放入这个棱锥的最大球的半径为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】∵，，∴平面，∴面面，记是的中点，从而，∴平面，，设球是与平面、平面、平面都相切的球，由图得截面图及内切圆，不妨设平面，于是是的内心，设球的半径为，则，设，∵，∴，，，当且仅当，即时等号成立，∴当时，满足条件的球最大半径为，故选A。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量、为单位向量，，若，则与所成角的余弦值为       。【答案】【解析】由数量积公式得：。14．为了营造勤奋读书、努力学习、奋发向上的文化氛围，提高学生的阅读兴趣，某校开展了“朗读者”闯关活动，各选手在第一轮要进行诗词朗读的比拼，第二轮进行诗词背诵的比拼。已知某学生通过第一关的概率为，在已经通过第一关的前提下通过第二关的概率为，则该同学两关均通过的概率为       。【答案】【解析】设该学生通过第一关为事件，通过第二关为事件，在通过第一关的前提下通过第二关的概率为，∵，∴。15．已知数列、为等差数列，其前项和分别为、，，       。【答案】【解析】设，则、，∴，，∴。16．函数定义域为，对于任意的有，当时，，则       ；若当时，恒成立，则的取值范围是       。(本题第一空2分，第二空3分)【答案】        【解析】∵对任意的有，且当时，，∴；设，则，∴，则，∵时恒成立，∴，又时，，而时在时取得最小值，∴，解得。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）如图所示，在中，，，点在上，且。(1)若，求；(2)若，求的长。    【解析】(1)∵，，∴，则，                    2分在中，，∴，                          5分(2)设，，∵中，，且，设，在中，由余弦定理得：，∴，                                                                 8分在中由余弦定理可知，，即，                    10分解得，∴。                                             12分18．（12分）如图所示，已知在四棱柱中，底面，，，。(1)求证：平面；(2)设为的中点，求二面角的正弦值。      【解析】(1)连接，如图，在中，易得，，由于，∴，                                          2分又底面，底面，∴，又∵，∴平面，                                   4分又，∴平面；                                        5分(2)∵、、两两垂直，∴以为坐标原点，、、所在的直线为、、轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则、、、、、，             6分则、、，                                7分设平面的法向量为，则，即，令，得、，则，                                9分设平面的法向量为，则，即，令，得、，则，                               11分则，设二面角的平面角为，则。        12分19．（12分） “一带一路”为世界经济增长开辟了新空间，为国际贸易投资搭建了新平台，为完善全球经济治理拓展了新实践。某企业为抓住机遇，计划在某地建立猕猴桃饮品基地，进行饮品、、的开发。(1)在对三种饮品市场投放的前期调研中，对名试饮人员进行抽样调查，得到对三种饮品选择情况的条形图。若饮品的百件利润为元，饮品的百件利润为元，饮品的百件利润为元，请估计三种饮品的平均百件利润；(2)为进一步提高企业利润，企业决定对饮品进行加工工艺的改进和饮品的研发。已知工艺改进成功的概率为，开发新饮品成功的概率为，且工艺改进与饮品研发相互独立；①求工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率；②若工艺改进成功则可为企业获利万元，不成功则亏损万元，若饮品研发成功则获利万元，不成功则亏损万元，求该企业获利的数学期望。       【解析】(1)根据样本的条形图可得：顾客选择饮品的频率为，选择饮品的频率为，选择饮品的频率为，               2分由样本估计总体可得总体顾客中选择饮品的频率为，选择饮品的频率为，选择饮品的频率为，               3分则可以得到总体的百件利润平均值为元；    4分(2)①设饮品工艺改进成功为事件，新品研发成功为事件，依题意可知事件与事件相互独立，事件为工艺改进和新品研发恰有一项成功，则，                                 6分②由题意知企业获利的取值为、、、，                          7分∴，，，，                          11分∴的分布列为。            12分20．（12分）如图所示，已知椭圆：()的左、右焦点分别为、，过点且与轴垂直的直线与圆：交于点(点在轴上方)，与椭圆交于点(点在轴下方)，且满足。(1)若的面积为，求椭圆的标准方程；(2)过点作椭圆的切线，与直线交于点，其中，试判断以线段为直径的圆是否经过点，并说明理由。      【解析】(1)设，则直线的方程为，与联立得，       1分由得，∴，则，又，∴，                         2分故，，                                            3分由，解得，故，∴椭圆的标准方程为；                                          4分(2)由(1)知，椭圆的方程为，，                            5分设切线的方程为，                                         6分由得：，                8分∴，                                 9分解得或，其中时不满足，舍去，                          10分又，∴，即，故以线段为直径的圆经过点。                                         12分21．（12分）已知函数。(1)当时，判断函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，求正整数的最小值。【解析】(1)当时，，定义域为，则，                                            1分设，定义域为，则，                     2分令得，当时，则在上单调递增，当时，则在上单调递减，则在处取极大值也是最大值，，                     4分故当时，恒成立，当且仅当时取等号，∴在设单调递减；                                               5分(2)若()有两个极值点，即()有两个极值点，即有两个异号零点，等价于函数的图像与直线有两个交点，                 6分∵的定义域为，，                                  7分设，∴，故在上单调递增，而，，故存在，使得，          9分则在上单调递减，在上单调递增，则，                              10分若函数的图像与直线有两个交点，则，                    11分当时，，∵，。                            12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)。以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为。(1)写出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；(2)已知点、，直线过点且与曲线相交于、两点，设线段的中点为，求的值。【解析】(1)由直线的参数方程消去，得到直线的普通方程为：，                        2分由得，∴曲线的直角坐标方程为，                                       4分(2)由题意可知直线必过点，∴，∴，       5分∴直线的参数方程为(为参数)，                                   6分代入中得：，设、、点所对应的参数分别为、、，                              8分∴，∴。                                        10分23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知函数，。(1)当时，求不等式的解集；(2)当时，不等式恒成立，求的取值范围。【解析】(1)当时，，                            2分不等式等价于或或，                    4分解得或，不等式解集为；                            5分(2)当时，不等式等价于，                7分整理得，记，则，解得。         10分