高中数学高考黄金卷01（新课标Ⅲ卷）（文）（解析版）

这是一份高中数学高考黄金卷01（新课标Ⅲ卷）（文）（解析版），共13页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
黄金卷01（新课标Ⅲ卷）文科数学本卷满分150分，考试时间120分钟。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．集合，，则(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】∵，∴，∵，故选B。2．已知复数的实部与虚部之和为，则实数的值为(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】由题意可得：，∵实部与虚部之和为，∴，解得，故选B。3．若、、，且，则下列不等式中一定成立的是(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】∵，∴，对于A，若，则不等式不成立，对于B，若，则不等式不成立，对于A，若、，则不等式不成立，对于D，若，∴，故选D。4．《九章算术》的“开立圆术”中，“立圆”的意思是“球体”，古称“丸”，而“并立圆术”即求已知体积的球体的直径的方法：置积尺数，以十六乘之，九而一，所得开立方除之，即丸径。”其意思为：“把球体体积先乘再除以，然后再把得数开立方，所得即为所求球体直径的近似值。”则当球体体积为时，球半径的近似值为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】由题意可得，，则。5．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】由三视图可还原成三棱锥如图所示，其中是边长为的正三角形，作平面与点，连接，交于点，则为的中点，、、，∴，故选D。6．已知、满足约束条件，则目标函数的取值范围是(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】作图，令，则，做虚线，上下移动，则过截距最大即，过截距最小即，则转换为()，求值域，∴，最小为，最大值为，故选D。7．已知为第三象限角，且，则的值为(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】由已知得，则，由为第三象限角，得，故，，∴，故选D。8．已知()，函数的值域为，则的最小值为(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】当时，为一次函数，值域为，不符合题意；当时，为二次函数，又值域为，则，由题意可知，得，则，则，当且仅当时等号成立，故选A。9．函数()的图象关于对称，且在上单调递增，则函数在区间上的最小值为(  )。A、B、C、D、【答案】B【解析】由题意得：()，解得()，且，故，∴，即，∵、∴，故在区间上的最小值为，故选B。10．已知函数()有唯一的零点，则(  )。A、B、C、D、【答案】A【解析】有唯一的零点可转化为与由唯一的交点，要想有唯一的零点，则在处取得极小值，且，则交点坐标，的定义域为，，则且，即，构造出新的函数，则恒成立，∴是单调递增函数，又，，根据零点存在定理可知，故选A。11．南宋著名数学家杨辉在年所著的《详解九章算法》中首次提出“杨辉三角”，如图所示，这是数学史上的一个伟大的成就。在“杨辉三角”中，已知每一行的数字之和构成的数列为等比数列且数列前项和为，，将数列中的整数项组成新的数列，则的值为(  )。A、B、C、D、【答案】D【解析】根据“杨辉三角"的性质可得数列前项和为：，∴，∴此数列为、、、、、，其中的整数项为、、、、、、……，即、、、、、、……，其规律为各项之间以、、、、、、……递增，∴数列是奇数项以为公差，为首项的等差数列，偶数项以为公差，为首项的等差数列，即，，由得，∴，故选D。12．已知四棱锥中，是边长为的正三角形，，，二面角的余弦值为，当四棱锥的体积最大时，该四棱锥的外接球的体积为(  )。A、B、C、D、【答案】C【解析】∵四棱锥的底面面积为定值，故当四棱锥的高最大时，其体积最大，∵二面角的余弦值为，故当中边上的高最大时，当四棱锥的高最大，又，∴当时，边上的高最大，此时四棱锥的图像如图所示，连接交于点，连接，设的外心为，连接，在上取一点使其满足，∴，，∴，，，，，，∵、，∴为二面角的一个平面角，∴，故，∴，∴，∴，∵、，，∴平面，∴，又，∴平面，∴为四棱锥的外接球的球心，由，解得，故该四棱锥的外接球的体积为，故选C。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．设向量，，，若，则        。【答案】【解析】由已知得，解得，则，，故。14．已知数列满足，(，)。定义：使乘积为正整数的()叫做“幸运数”，则在内的所有“幸运数”的和为        。(用数字作答)【答案】【解析】∵，∴，为使为正整数，即满足，则，则在内的所有“幸运数”的和为：。15．已知函数()，若直线与曲线相切，则        。【答案】【解析】，设切点为，则切线斜率为，故，即，故，令()，则，∴当时，故在上单调递减，当时，故在上单调递增，∴，即有唯一实数根，∴。16．已知点为双曲线：(，)在第一象限上一点，点为双曲线的右焦点，为坐标原点，，则双曲线的离心率为        ；若、分别交双曲线于、两点，记直线与的斜率分别为、，则        。(本题第一空2分，第二空3分)【答案】    【解析】设，则，则，，即，将其代入双曲线方程得：，即，又，∴，即，两边同除以得，即，解得或，又，∴；设，又，则，将点、的坐标分别代入双曲线方程得，两式做差得：，故。三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）如图所示，在中，，，点在上，且。(1)若，求；(2)若，求的长。     【解析】(1)∵，，∴，则，                    2分在中，，∴，                          5分(2)设，，∵中，，且，设，在中，由余弦定理得：，∴，                                                                 8分在中由余弦定理可知，，即，                    10分解得，∴。                                             12分18．（12分）如图所示，四棱柱中，底面为菱形，底面，为的中点。(1)证明：平面平面；(2)若，点到平面的距离为，求三棱锥的体积。       【解析】(1)证明：连接，设与的交点为，连接，                           1分∵为的中点，为的中点，                                  2分∴，则平面，                                     3分又∵平面，∴平面平面；                       4分(2)解：连接、、，设交于点，                             5分由题意可知四边形为正方形，且，则，         7分∴平面，∴，                                      8分又∵，∴平面，∴，∴菱形为正方形，                                               10分∴点到平面的距离为，∴。 12分19．（12分）近几年，“互联网+”已经影响了多个行业，在线教育作为现代信息技术同教育相结合的产物，也引发了教育领域的变革。目前在线教育主要包括在线测评、在线课堂、自主学习、线下延伸四种模式。为了解学生参与在线教育情况，某区从名高一学生中随机抽取了名学生，对他们参与的在线教育模式进行调查，其调查结果整理如下：(其中标记“√”表示参与了该项在线教育模式)。教育模式人数(人)在线测评在线课堂自主学习线下延伸√√ √ √  √√  √ √√ √ √√ √ (1)试估计该区高一学生中参与在线课堂教育模式的人数；(2)在样本中用分层抽样的方法从参与自主学习的学生中抽取人，现从这人中随机抽取人，求这人都参与线下延伸教育模式的概率。【答案】(1)∵在样本人中参与在线测试的共人，∴全区名高一学生中参与在线课堂的人数为人，           3分(2)记“抽取参加测试的人都参加了线下延伸”为事件，用分层抽样抽取的人中，有人参加了自主学习和线下延伸，记为、、，有人参加了自主学习和在线测评，记为、，                               6分人中抽取人，共有、、、、、、、、、共种取法分，其中事件包含个，                 10分∴这人都参与线下延伸教育模式的概率。                           12分20．（12分）已知抛物线：的焦点为，点，圆()与抛物线交于、两点，直线与抛物线交点为。(1)求证：直线过焦点；(2)过作直线，交抛物线于、两点，求四边形面积的最小值。【解析】(1)由题意，设、，直线的方程为，联立得，                              2分由题意可得，该方程有一个根为，由韦达定理得，则，∴，则直线的斜率为，直线的斜率为，          4分∴，故、、三点共线，∴直线过焦点；                   5分(2)设直线方程为，则直线的方程为，               6分联立得：，设、，则，∴，同理可得，                        10分∴四边形面积为：，当且仅当时，四边形面积取得最小值，最小值为。              12分21．（12分）已知函数。(1)当时，判断函数的单调性；(2)若函数有两个极值点，求正整数的最小值。【解析】(1)当时，，定义域为，则，                                            1分设，定义域为，则，                     2分令得，当时，则在上单调递增，当时，则在上单调递减，则在处取极大值也是最大值，，                     4分故当时，恒成立，当且仅当时取等号，∴在设单调递减；                                               5分(2)若()有两个极值点，即()有两个极值点，即有两个异号零点，等价于函数的图像与直线有两个交点，                 6分∵的定义域为，，                                  7分设，∴，故在上单调递增，而，，故存在，使得，          9分则在上单调递减，在上单调递增，则，                              10分若函数的图像与直线有两个交点，则，                    11分当时，，∵，。                            12分请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）在直角坐标系中，直线的参数方程为(为参数)。以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线的极坐标方程为。(1)写出直线的普通方程及曲线的直角坐标方程；(2)已知点、，直线过点且与曲线相交于、两点，设线段的中点为，求的值。【解析】(1)由直线的参数方程消去，得到直线的普通方程为：，                        2分由得，∴曲线的直角坐标方程为，                                       4分(2)由题意可知直线必过点，∴，∴，       5分∴直线的参数方程为(为参数)，                                   6分代入中得：，设、、点所对应的参数分别为、、，                              8分∴，∴。                                        10分23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）已知()(1)证明：；(2)若成立，求的取值范围。【解析】(1)由得，2分当且仅当，即时取等号，∴；                             4分(2)由得，                                             5分由得，即，                             6分当时，，恒不成立，                          7分当时，，有，即，解得，            9分综上，的取值范围是。                                               10分