高中数学高考黄金卷01（新课标Ⅱ卷）（理）（解析版）

这是一份高中数学高考黄金卷01（新课标Ⅱ卷）（理）（解析版），共14页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
本卷满分150分，考试时间120分钟。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】∵，，∴，故选B。
2．在复平面内，复数满足，则复数对应的点位于( )。
A、第一象限
B、第二象限
C、第三象限
D、第四象限
【答案】C
【解析】由已知得：，则，
∴复数对于的点为，位于第三象限，故选C。
3．若、、，且，则下列不等式中一定成立的是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】∵，∴，
对于A，若，则不等式不成立，
对于B，若，则不等式不成立，
对于A，若、，则不等式不成立，
对于D，若，∴，
故选D。
4．射线测厚技术原理公式为，其中、分别为射线穿过被测物前后的强度，是自然对数的底数，为被测物厚度，为被测物的密度，是被测物对射线的吸收系数。工业上通常用镅()低能射线测量钢板的厚度。若这种射线对钢板的半价层厚度为，钢板的密度为，则钢板对这种射线的吸收系数为( )。
(注：半价层厚度是指将已知射线强度减弱为一半的某种物质厚度，，结果精确到)
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】由题意可知、、，代入得：，
即，即，故选C。
5．已知为第三象限角，且，则的值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】由已知得，则，由为第三象限角，得，
故，，∴，故选D。
6．现有人参加抽奖活动，每人依次从装有张奖票(其中张为中奖票)的箱子中不放回地随机抽取一张，直到张中奖票都被抽出时活动结束，则活动恰好在第人抽完后结束的概率为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】C
【解析】将张奖票不放回地依取出共有种不同的取法，
若恰好在第次抽奖结束，则前三次共抽到张中奖票，第次抽到最后张中奖票，
共有种不同的取法，
∴概率，故选C。
7．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】由三视图可还原成三棱锥如图所示，
其中是边长为的正三角形，
作平面与点，
连接，交于点，则为的中点，
、、，
∴，故选D。
8．某商业区要进行“”信号测试，该商业区的形状近似为正六边形，某电讯公司在正六边形的对角顶点、处各安装一个基站，达到信号强度要求的区城刚好是分别以、为圆心，正六边形的边长为半径的两个扇形区域，未达到倍号强度要求的区域为“”信号盲区。若一游客在该商业区域内购物，则他刚好在“”信号盲区内的概率约为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】如图，阴影部分为达到信号强度要求的区域，
设正六边形的边长为，
则，
，
则该游客刚好在“” 信号盲区内的概率约为：
，故选D。
9．函数()的图像关于对称，且在上单调递增，则函数在区间上的最小值为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】由题意得：()，解得()，且，
故，∴，
即，∵、∴，
故在区间上的最小值为，故选B。
10．已知函数在处取得极大值，在处取得极小值，满足，，则的取值范围是( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】∵，∴，
∵函数在区间内取得极大值，在区间内取得极小值，
∴在和内各有一个根，，，，
即，在坐标系中画出其表示的区域，，
令，其几何意义为区域中任意一点与点连线的斜率，
分析可得，则，∴的取值范围是，故选D。
11．已知是双曲线(，)的左焦点，过作一条渐近线的垂线与右支交于点，垂足为，且，则双曲线方程为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】D
【解析】设双曲线右焦点为，连接，
左焦点到渐近线的距离为，故，
在中，，由双曲线定义得，
在中，由余弦定理得，
整理得，即，又，
解得、，故双曲线方程为：，故选D。
12．现有一批大小不同的球体原材料，某工厂要加工出一个四棱锥零件，要求零件底面为正方形，，侧面为等边三角形，线段的中点为，若，则所需球体原材料的最小体积为( )。
A、
B、
C、
D、
【答案】A
【解析】如图，设为中点，为正方形中心，
连、，，
设四棱锥的外接球的球心为，半径为，
则球心一定在过点且垂直于底面的垂线上，
∴，，
∵是边长为的等边三角形，∴，
又、，∴，∴,
又，∴为外心，
则球心一定在过点且垂直于侧面的垂线上，
∴，∴，∴，
又∵，∴，
此时球心在四棱锥外，不是最小球，浪费材料，
可把底面的外心看做最小球的球心，此时的球不是四棱锥的外接球，
但这时候原材料最省，最小球的半径，，故选A。
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．设向量，，，若，则 。
【答案】
【解析】由已知得，解得，
则，，故。
14．若函数，且，则的展开式中含的项的系数为 。
【答案】
【解析】，
故展开式中含的项为，故其系数为。
15．在中，点是的中点，，且，，则 ， 。(本题第一空2分，第二空3分)
【答案】
【解析】∵，∴，
在和中，分别由正弦定理得，，
又，∴两式相比得，即，
即，即，
则或，又，∴，故。
16．设函数的零点为、、…，表示不超过的最大整数，有下述四个结论：①函数在上单调递增；②函数与有相同零点；③函数有且仅有一个零点，且；④函数有且仅有两个零点，且。其中所有正确结论的序号是 。
【答案】①②④
【解析】，当时，，
∴函数在上单调递增，故①正确，
显然不是零点，令，
则在上，与有相同零点，故②正确，
在上，，
∴在上单调递增，在上也单调递增，
而、，∴存在，使，
又、，∴存在的，使，
∴在上只有两个零点、，也即在上只有两个零点到、，
且，故③错误、④正确，正确的命题有个，故填①②④。
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17．（12分）
已知等比数列的前项和为，且()。
(1)求数列的通项公式；
(2)若数列满足，求数列的前项和。
【解析】(1)当时，， 1分
当时，，即， 2分
∴等比数列的公比是，∴，即，故， 3分
故数列是首项为，公比为的等比数列，； 4分
(2)由(1)知，，又，∴，故，∴， 6分
则， 7分
， 8分
两式相减得：
， 11分
∴。 12分
18．（12分）
“一带一路”为世界经济增长开辟了新空间，为国际贸易投资搭建了新平台，为完善全球经济治理拓展了新实践。某企业为抓住机遇，计划在某地建立猕猴桃饮品基地，进行饮品、、的开发。
(1)在对三种饮品市场投放的前期调研中，对名试饮人员进行抽样调查，得到对三种饮品选择情况的条形图。若饮品的百件利润为元，饮品的百件利润为元，饮品的百件利润为元，请估计三种饮品的平均百件利润；
(2)为进一步提高企业利润，企业决定对饮品进行加工工艺的改进和饮品的研发。已知工艺改进成功的概率为，开发新饮品成功的概率为，且工艺改进与饮品研发相互独立；
①求工艺改进和新品研发恰有一项成功的概率；
②若工艺改进成功则可为企业获利万元，不成功则亏损万元，若饮品研发成功则获利万元，不成功则亏损万元，求该企业获利的数学期望。
【解析】(1)根据样本的条形图可得：顾客选择饮品的频率为，
选择饮品的频率为，选择饮品的频率为， 2分
由样本估计总体可得总体顾客中选择饮品的频率为，
选择饮品的频率为，选择饮品的频率为， 3分
则可以得到总体的百件利润平均值为元； 4分
(2)①设饮品工艺改进成功为事件，新品研发成功为事件，
依题意可知事件与事件相互独立，
事件为工艺改进和新品研发恰有一项成功，
则， 6分
②由题意知企业获利的取值为、、、， 7分
∴，，
，， 11分
∴的分布列为。 12分
19．（12分）
如图①，已知在长方形中，，， 、分别为、的中点，以为棱将矩形折成如图②所示，使得二面角成，为中点。
(1)证明：直线平面；
(2)求二面角的余弦值。
【解析】(1)∵，，平面，平面，，
∴平面，又平面，∴， 2分
由已知得为二面角即二面角的平面角，∴，
又，，∴，又，∴平面，
∵平面，∴， 4分
在矩形中，∵，，
∴≌，，，，
∵，平面、平面，∴平面； 6分
(2)作，交与点，由于、及相互垂直，
故以为坐标原点，
以为轴、为轴、为轴建立如图所示的空间直角坐标系，
可得、、、，
由(1)知平面，∴平面的一个法向量为， 7分
在平面中，，，
设平面的一个法向量为，
则，即，令可得， 10分
∴，∴二面角的余弦值为。 12分
20．（12分）
已知抛物线：的焦点为，点，圆()与抛物线交于、两点，直线与抛物线交点为。
(1)求证：直线过焦点；
(2)过作直线，交抛物线于、两点，求四边形面积的最小值。
【解析】(1)由题意，设、，直线的方程为，
联立得， 2分
由题意可得，该方程有一个根为，
由韦达定理得，则，∴，
则直线的斜率为，直线的斜率为， 4分
∴，故、、三点共线，∴直线过焦点； 5分
(2)设直线方程为，则直线的方程为， 6分
联立得：，
设、，则，
∴，同理可得， 10分
∴四边形面积为：
，
当且仅当时，四边形面积取得最小值，最小值为。 12分
21．（12分）
已知函数。
(1)当时，判断函数的单调性；
(2)若函数有两个极值点，求正整数的最小值。
【解析】(1)当时，，定义域为，
则， 1分
设，定义域为，则， 2分
令得，
当时，则在上单调递增，
当时，则在上单调递减，
则在处取极大值也是最大值，， 4分
故当时，恒成立，当且仅当时取等号，
∴在设单调递减； 5分
(2)若()有两个极值点，
即()有两个极值点，
即有两个异号零点，
等价于函数的图像与直线有两个交点， 6分
∵的定义域为，
， 7分
设，∴，故在上单调递增，
而，，故存在，使得， 9分
则在上单调递减，在上单调递增，
则， 10分
若函数的图像与直线有两个交点，则， 11分
当时，，∵，。 12分
请考生在第22、23两题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]（10分）
已知点是曲线：上的动点，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，将线段绕点顺时针旋转得到线段，设点的轨迹为曲线。
(1)求曲线和的极坐标方程；
(2)设直线：，射线：，，若与曲线，直线分别交于、两点，求的最大值。
【解析】(1)将、代人得曲线的极坐标方程，
即，即， 2分
设，则，代入曲线的极坐标方程得曲线的极坐标方程，
即； 5分
(2)直线的极坐标方程为，设、，
则、， 6分
∴

， 9分
∴的最大值为。 10分
23．[选修4-5：不等式选讲]（10分）
已知函数，。
(1)当时，若的最小值为，求实数的值；
(2)当时，若不等式的解集包含，求实数的取值范围。
【解析】(1)当时，， 2分
∵的最小值为，∴，解得或； 4分
(2)当时，即， 5分
当时，原式等同于，即， 7分
∵不等式的解集包含，∴且，即， 9分
故实数的取值范围是。 10分