2022-2023学年苏教版（2019）选择性必修一第四章 数列 单元测试卷（含答案）

苏教版（2019）选择性必修一第四章 数列 单元测试卷

学校：___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、选择题

1、用数学归纳法证明，，则当时，左端应在的基础上加上(   )

A.  B.

C. D.

2、已知数列中，，，若，则(   )

A.8 B.9 C.10 D.11

3、甲、乙两位旅客乘坐高铁外出旅游，甲旅客喜欢看风景，需要靠窗的座位；乙旅客行动不便，希望座位靠过道.已知高铁二等座的部分座位号码如图所示，则下列座位号码符合甲、乙两位旅客要求的是(   )

A.21，28 B.22，29 C.23，39 D.24，40

4、已知数列满足，则下列结论正确的是(   )

A.数列是公差为的等差数列 B.数列是公差为1的等差数列

C.数列是公比为的等比数列 D.数列是公比为1的等比数列

5、已知数列满足，且，则(   )

A. B. C. D.

6、我国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有善走男，日增等里，首日行走一百里，九日共行一千二百六十里，问日增几何？”，该问题中，善走男第5日所走的路程里数是(   ).

A.110 B.120 C.130 D.140

7、设等差数列的公差为d，若，则“”是“”的(   )

A.充分不必要条件  B.必要不充分条件

C.充要条件  D.既不充分也不必要条件

8、若数列满足（其中d是常数），则称数列是“等方差数列”.已知数列是公差为m的等差数列，则“”是“是等方差数列”的(   ).

A.充分非必要条件  B.必要非充分条件

C.充要条件  D.既非充分又非必要条件

9、在数列中，若，.是数列的前n项和，则等于(   )

A.2022 B.2024 C.1011 D.1012

10、已知数列为无穷数列，由k个不同的数构成.若对任意的，，则k的最大值为(   )

A.3 B.4 C.5 D.6

二、填空题

11、数列满足，，则数列的通项公式为___________.

12、已知数列的各项均为正数，，，则______.

13、已知函数，等差数列满足，则__________.

14、正项数列的前n项和为，且有，则___________.

15、已知a，b，c三个数成等差数列，函数的图像过定点A，函数的图像经过点A，则函数的定义域为______________.

16、若数列的前n项和，则____________.

三、解答题

17、已知为数列的前n项和，是公差为1的等差数列.

（1）求的通项公式；

（2）证明：.

18、已知等差数列中，.

（1）求数列的通项公式；

（2）若，是否存在正整数m，使得，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.

19、已知等差数列满足，且.

（1）求数列的通项公式：

（2）设，求数列的前n项和.

20、已知的展开式中第2项，第3项，第4项的二项式系数成等差数列.

（1）求n的值；

（2）求的展开式中的系数.

参考答案

1、答案：C

解析：当时，等式左端为，

当时，等式左端为，

左端应在的基础上加上.

故选：C.

2、答案：C

解析：依题意，，，而，

因此，数列是以1为首项，1为公差的等差数列，，即，

由，得，所以.

故选：C.

3、答案：A

解析：左侧窗口的座位号可以构成以1为首项，5为公差的等差数列，其通项为，

靠右侧窗口的座位号可以构成以5为首项，5为公差的等差数列，其通项为；

左侧过道的座位号可以构成以2为首项，5为公差的等差数列，其通项为，

右侧过道的座位号可以构成以3为首项，5为公差的等差数列，其通项为；

则符合甲旅客要求的是，；符合甲旅客要求的是，；

所以座位号码符合甲、乙两位旅客要求的是21，28.

故选：A.

4、答案：B

解析：因为，

故可得，，

是公差为1的等差数列.

故选：B.

5、答案：B

解析：由题意知，，

由等差数列的等差中项，得数列为等差数列，

又，所以，

则，

所以.

故选：B.

6、答案：D

解析：由题意设此人第一天走里，第二天走里，，第n天走里，是等差数列，首项是，

因为，所以.故选：D.

7、答案：C

解析：充分性：若，则，即，，即，所以充分性成立；必要性：若，即，，则，必要性成立.因此，“”是“”的充要条件.

故选：C.

8、答案：C

解析：若，则为常数列，满足，所以是等方差数列，充分性成立，

因为是等方差数列，所以，则，

因为数列是公差为m的等差数列，所以，

所以，由于,

当时，随着n的改变而改变，

不是定值，不合要求，

当时，为定值，此时满足题意，

综上必要性成立.

故选：C.

9、答案：D

解析：，，，，…，

数列是以3为周期的周期数列.

又，，

.

故选：D.

10、答案：B

解析：由题意或3，由于，则当时，或1，时，或-1，

因此数列，从第2项开始，最多只有3个不同的数：-1，0，1，只有可以取2或取3，因此中最多只有4个不同的数，即k的最大值是4.

故选：B.

11、答案：.

解析：，所以，即，

是等差数列，而，

所以，

所以.

故答案为：.

12、答案：

解析：由题意可得，，所以数列是以4为首项，4为公差的等差数列，所以，得.

故答案为：.

13、答案：

解析：.

依题意是等差数列，

令，

，

结合等差数列的性质，两式相加得.

故答案为：.

14、答案：

解析：依题意，，

当时，，

当时，，

，所以数列是首项为，公差为的等差数列，

所以，.

故答案为：

15、答案：

解析：因为a，b，c成等差数列，所以，

所以，当时，，

所以函数的图像过定点，

所以，解得，

所以，

令，则

所以函数的定义域为.

故答案为：.

16、答案：

解析：当时，；当时，，时也适合，则，则，.

17、答案：（1），

（2）证明见解析

解析：（1）因为，所以，

是公差为1的等差数列，

所以，

故，

当时，，

显然，

所以，.

（2），

所以

，

随着n的变大，变大，故当时，取得最小值，

最小值为，且，

故.

18、答案：（1）

（2）不存在，理由见解析

解析：（1）设等差数列的公差为d，

由，

得，，

所以，

即；

（2），

，

，

则，解得，不符合题意，

不存在正整数m，使得.

19、答案：（1）

（2）

解析：（1）设等差数列的公差为d，

，则由，得，

解得，

所以；

（2）由题可得，

所以

.

20、答案：（1）7

（2）57

解析：（1）根据题意得展开式的通项公式为：，

故其第2项，第3项，第4项的二项式系数分别为，，，

根据题意得，化简得，解得或（舍去），

故n的值为7.

（2）由（1）知，故，其中的展开式的通项公式为：，

则展开式中的系数系数为：

.