高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 抛物线的简单几何性质评课课件ppt

这是一份高中数学北师大版 (2019)选择性必修 第一册3.2 抛物线的简单几何性质评课课件ppt，文件包含第二章32第1课时抛物线的简单几何性质一pptx、第二章32第1课时抛物线的简单几何性质一docx等2份课件配套教学资源，其中PPT共60页， 欢迎下载使用。


第1课时　抛物线的简单几何性质(一)
第二章　3.2　抛物线的简单几何性质
学习目标
1.掌握抛物线的几何性质.
2.会利用抛物线的性质解决一些简单的抛物线问题.
导语
在上一节中，我们已经学习了抛物线的定义及其标准方程，类比椭圆和双曲线的几何性质的导学过程，这一节我们利用方程研究抛物线的几何性质.
内容索引
课时对点练
随堂演练
抛物线的简单几何性质

一
问题　类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线y2＝2px(p>0)的哪些几何性质，如何研究这些性质？
提示　范围、对称性、顶点、离心率.
知识梳理
x
x
y
y
1
(1)只有焦点在坐标轴上，顶点是原点的抛物线的方程才是标准方程.(2)过焦点且垂直于对称轴的弦称为通径，通径长为2p.
注意点：
　　抛物线的顶点在原点，对称轴重合于椭圆9x2＋4y2＝36短轴所在的直线，抛物线焦点到顶点的距离为3，求抛物线的方程及抛物线的准线方程.
∴抛物线的对称轴为x轴，∴设抛物线的方程为y2＝2px(p>0)或y2＝－2px(p>0).∵抛物线的焦点到顶点的距离为3，
∴抛物线的标准方程为y2＝12x或y2＝－12x，其准线方程分别为x＝－3和x＝3.
把握三个要点确定抛物线的简单几何性质(1)开口：由抛物线标准方程看图象开口，关键是看准一次项是x还是y，一次项的系数是正还是负.(2)关系：顶点位于焦点与准线中间，准线垂直于对称轴.(3)定值：焦点到准线的距离为p；过焦点垂直于对称轴的弦(又称为通径)长为2p；离心率恒等于1.
反思感悟
　　　边长为1的等边三角形AOB，O为坐标原点，AB⊥x轴，以O为顶点且过A，B的抛物线方程是
√
设抛物线方程为y2＝ax(a≠0).
抛物线的几何性质的应用

二
　　(1)已知正三角形AOB的一个顶点O位于坐标原点，另外两个顶点A，B在抛物线y2＝2px(p＞0)上，求这个三角形的边长.
如图所示，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
又|OA|＝|OB|，
整理得(x1－x2)(x1＋x2＋2p)＝0.因为x1＞0，x2＞0,2p＞0，所以x1＝x2，
由此可得|y1|＝|y2|，即线段AB关于x轴对称，由此得∠AOx＝30°，
(2)已知A，B是抛物线y2＝2px(p>0)上两点，O为坐标原点，若|OA|＝|OB|，且△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，求直线AB的方程.
如图，设点A(x0，y0)，由题意可知点B(x0，－y0)，
∴AF⊥OB，∴kAF·kOB＝－1，
反思感悟
利用抛物线的性质可以解决的问题(1)对称性：解决抛物线的内接三角形问题.(2)焦点、准线：解决与抛物线的定义有关的问题.(3)范围：解决与抛物线有关的最值问题.(4)焦点弦：解决焦点弦问题.
　　　(1)(多选)设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在抛物线C上，|MF|＝5，若y轴上存在点A(0,2)，使得　　　＝0，则p的值可以为A.2 　　　 B.4 　　　 C.6 　　　D.8
√
√
由题意可得，以MF为直径的圆过点(0,2)，
因为圆心是MF的中点，所以根据中点坐标公式可得，
据此可知该圆与y轴相切于点A(0,2)，故圆心纵坐标为2，则M点纵坐标为4，
代入抛物线方程得p2－10p＋16＝0，所以p＝2或p＝8.
(2)抛物线y2＝4x的焦点为F，准线为l，点A是抛物线上一点，且∠AFO＝120°(O为坐标原点)，AK⊥l，垂足为K，则△AKF的面积是______.
由抛物线方程可知F(1,0)，准线l的方程为x＝－1.如图，设A(x0，y0)，过A作AH⊥x轴于H，在Rt△AFH中，|FH|＝x0－1，由∠AFO＝120°得∠AFH＝60°，
课堂小结
1.知识清单：　　　 (1)抛物线的几何性质. (2)抛物线的几何性质的应用.2.方法归纳：待定系数法.3.常见误区：求抛物线方程时焦点的位置易判断失误.
随堂演练

1
2
3
4
√
1.对抛物线y＝4x2，下列描述正确的是A.开口向上，焦点为(0,1)
1
2
3
4
由抛物线y＝4x2，
2.(多选)以y轴为对称轴的抛物线的通径(过焦点且与对称轴垂直的弦)长为8，若抛物线的顶点在坐标原点，则其方程为A.y2＝8x B.y2＝－8xC.x2＝8y D.x2＝－8y
1
2
3
4
√
设抛物线方程为x2＝2py或x2＝－2py(p>0)，由题意得2p＝8.∴抛物线方程为x2＝8y或x2＝－8y.
√
1
2
3
4
√
3.若抛物线y2＝x上一点P到准线的距离等于它到顶点的距离，则点P的坐标为
1
2
3
4
设抛物线的焦点为F，原点为O，P(x0，y0)，由条件及抛物线的定义知，|PF|＝|PO|，
1
2
3
4
4.已知抛物线y2＝2px(p>0)，直线x＝m与抛物线交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，则y1＋y2＝____.
0
因为抛物线y2＝2px(p>0)关于x轴对称，x＝m与x轴垂直，故y1＝－y2，即y1＋y2＝0.
课时对点练

1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
由题意知，线段AB所在的直线方程为x＝1，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
2.以坐标轴为对称轴，以原点为顶点且过圆x2＋y2－2x＋6y＋9＝0的圆心的抛物线的方程是A.y＝3x2或y＝－3x2B.y＝3x2C.y2＝－9x或y＝3x2D.y＝－3x2或y2＝9x
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
圆的方程可化为(x－1)2＋(y＋3)2＝1，圆心为(1，－3)，由题意可设抛物线方程为y2＝2px(p>0)或x2＝－2py(p>0).把(1，－3)代入得9＝2p或1＝6p，
即y2＝9x或y＝－3x2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
4.若抛物线y2＝4x上一点P到x轴的距离为2　 ，则点P到抛物线的焦点F的距离为A.4 　　　 B.5　　　 C.6 　　　 D.7
√
由题意，知抛物线y2＝4x的准线方程为x＝－1，
∴点P到抛物线的准线的距离为3＋1＝4，∴点P到抛物线的焦点F的距离为4.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
5.已知抛物线y2＝2px(p>0)的准线与曲线x2＋y2－4x－5＝0相切，则p的值为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
曲线的方程可化为(x－2)2＋y2＝9，其表示圆心为(2,0)，半径为3的圆，
解得p＝2.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
√
6.(多选)若抛物线y2＝8x上一点P到其焦点的距离为9，则点P的坐标为
根据抛物线y2＝8x，知p＝4，可知点P到其焦点的距离等于点P到其准线x＝－2的距离，得xP＝7，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
7.已知点A(－2,3)在抛物线C：y2＝2px(p>0)的准线上，记抛物线C的焦点为F，则直线AF的斜率为______.
∵点A(－2,3)在抛物线C的准线上，
则焦点F的坐标为(2,0).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
8.已知F是抛物线C：y2＝8x的焦点，M是C上一点，FM的延长线交y轴于点N.若M是FN的中点，则|FN|＝____.
6
如图，过点M作MM′⊥y轴，垂足为M′，|OF|＝2，∵M为FN的中点，|MM′|＝1，
∴|MF|＝3，∴|FN|＝6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
9.若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|＝ 　 ，|AF|＝3，求此抛物线的标准方程.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设所求抛物线的标准方程为x2＝2py(p>0)，
所以所求抛物线的标准方程为x2＝4y或x2＝8y.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
10.已知抛物线C的顶点在原点，焦点F在x轴的正半轴上，设A，B是抛物线C上的两个动点(AB不垂直于x轴)，且|AF|＋|BF|＝8，线段AB的垂直平分线恒经过点Q(6,0)，求抛物线的方程.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设抛物线的方程为y2＝2px(p＞0)，
即x1＋x2＝8－p.∵Q(6,0)在线段AB的中垂线上，∴|QA|＝|QB|，
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴(x1－x2)(x1＋x2－12＋2p)＝0.∵AB与x轴不垂直，∴x1≠x2.故x1＋x2－12＋2p＝8－p－12＋2p＝0，即p＝4.从而抛物线方程为y2＝8x.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
∴点A的坐标为(1，±2).
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
12.已知P是抛物线C：y2＝2px(p>0)上的一点，F是抛物线C的焦点，O为坐标原点，若|PF|＝2，∠PFO＝ ，则抛物线C的方程为A.y2＝6x B.y2＝2xC.y2＝x D.y2＝4x
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
过P向x轴作垂线，设垂足为Q，
将P点的坐标代入y2＝2px，得p＝3，故C的方程为y2＝6x.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设M(x1，y1)，
解得p＝4，即抛物线的方程为y2＝8x.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
6
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
要使△ABF为等边三角形，
解得p2＝36，p＝6.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
√
15.已知点A是抛物线x2＝4y的对称轴与准线的交点，点B为抛物线的焦点，P在抛物线上且满足|PA|＝m|PB|，当m取最大值时，点P恰好在以A，B为焦点的双曲线上，则该双曲线的离心率为
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
设点P(x，y)，y≥0，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
16.已知抛物线y2＝8x.(1)求出该抛物线的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围；
抛物线y2＝8x的顶点、焦点、准线方程、对称轴、变量x的范围分别为(0,0)，(2,0)，x＝－2，x轴，x≥0.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
(2)以坐标原点O为顶点，作抛物线的内接等腰三角形OAB，|OA|＝|OB|，若焦点F是△OAB的重心，求△OAB的周长.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
如图所示，由|OA|＝|OB|可知AB⊥x轴，垂足为点M，又焦点F是△OAB的重心，
因为F(2,0)，
所以M(3,0).故设A(3，m)，代入y2＝8x得m2＝24，
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16