山东省济南市章丘区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案）

这是一份山东省济南市章丘区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案），共26页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

山东省济南市章丘区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列四个几何体中，左视图为圆的是（　　）
A． B． C． D．
2．已知，则的值是（    ）
A． B．2 C． D．
3．用配方法解方程，下列变形正确的是（    ）
A． B． C． D．
4．下列结论中，菱形具有而矩形不一定具有的性质是（   ）
A．对角线相等 B．对角线互相平分 C．对角线互相垂直 D．对边相等且平行
5．二次函数的图象的开口方向、对称轴、顶点坐标分别是（    ）
A．向上、直线， B．向上、直线，
C．向下、直线， D．向下、直线，
6．不透明的口袋中装有3个黄球、1个红球和n个蓝球，这些小球除颜色外其余均相同．课外兴趣小组每次摸出一个球记录下颜色后再放回，大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，则n的值最可能是（　　）
A．4 B．5 C．6 D．7
7．若反比例函数的图象经过点，则它的图象也一定经过的点是（    ）
A． B． C． D．
8．如图，在平行四边形中，E为上一点，连接 并延长交的延长线于点F．如果，那么的值为（    ）

A． B． C． D．
9．已知反比例函数的图象如图所示，则一次函数和二次函数在同一平面直角坐标系中的图象可能是（    ）

A． B． C． D．
10．如图，点加在x轴上，且，分别过点作y轴的平行线与反比例函数的图象分别交于点，分别过点作x轴的平行线，分别于y轴交于点，连接，那么图中从左到右第2022个阴影部分的面积为（    ）

A． B． C． D．

二、填空题
11．如图，菱形的对角线，相交于点，，，则菱形的周长为____．

12．二次函数y＝x2﹣4x+2的最小值为_____．
13．如图，光源P在水平横杆AB的上方，照射横杆AB得到它在平地上的影子为CD（点P、A、C在一条直线上，点P、B、D在一条直线上），不难发现AB//CD．已知AB＝1.5m，CD＝4.5m，点P到横杆AB的距离是1m，则点P到地面的距离等于______m．

14．如图，某地修建一座高的天桥，已知天桥斜面的坡度为，则斜坡长度为_______．

15．如图，正方形ABCD，AB＝4，E、F点分别是CD、AD边上的点，AE与BF相交于点H，AF＝DE＝1，G点是BE上的中点，则GH的长为______．

16．已知二次函数的图象如图所示，以下结论：①；②；③；④；⑤．在以上5个结论中，其中一定成立的是__________（把所有正确结论的序号都填在横线上）


三、解答题
17．计算：
18．解方程：
19．如图，在中，、在边、上，，DE=3，AC=5，，求BC的长度．

20．原定于2020年10月在昆明举办的世界生物多样性大会第15次缔约方大会，因疫情推迟到2021年5月举办，为喜迎“COP15”，某校团委举办了以“COP15”为主题的学生绘画展览，为美化画面，要在长为、宽为的矩形面面四周镶上宽度相等的彩纸，并使彩纸的面积恰好与原画面面积相等（如图），求出彩纸的宽度．

21．去年，我国南方某地一处山坡上一座输电铁塔因受雪灾影响，被冰雪从C处压折，塔尖恰好落在坡面上的点B处，造成局部地区供电中断，为尽快抢通供电线路，专业维修人员迅速奔赴现场进行处理，在B处测得BC与水平线的夹角为45°，塔基A所在斜坡与水平线的夹角为30°，A、B两点间的距离为16米，求压折前该输电铁塔的高度（结果保留根号）．

22．如图，在正方形内作，交于点，交于点，连接，将绕点顺时针旋转，得到.

(1)求证：；
(2)若正方形的边长为， ，求的长．
23．某学校为了解全校学生对电视节目（新闻、体育、动画、娱乐、戏曲）的喜爱情况，从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．

请根据以上信息，解答下列问题
（1）这次被调查的学生共有多少名？
（2）请将条形统计图补充完整；
（3）若该校有3000名学生，估计全校学生中喜欢体育节目的约有多少名？
（4）该校宣传部需要宣传干事，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，用树状图或列表法求恰好选中甲、乙两位同学的概率．
24．如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于两点，与y轴交于点C．

(1)求直线和反比例函数的表达式；
(2)直接写出时x的取值范围；
(3)将直线向上平移，平移后的直线与反比例函数在第一象限的图象交于点P，连接，，若的面积为12，求点P的坐标．
25．（1）如图1，和均为等边三角形，直线和直线交于点F．填空：
①线段，之间的数量关系为________；②的度数为______．
（2）如图2所示，和均为等腰直角三角形，，直线和直线交于点F，请判断的度数及线段，之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3所示，和均为直角三角形，，，当点B在线段的延长线上时，求线段和的长度．

26．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于点，与y轴交于点C，点D为的中点．

(1)求该抛物线的函数表达式；
(2)点G是该抛物线对称轴上的动点，若有最小值，求此时点G的坐标；
(3)若点P是第四象限内该抛物线上一动点，求面积的最大值；

参考答案：
1．A
【分析】根据三视图的法则可得出答案.
【详解】解：左视图为从左往右看得到的视图，
A.球的左视图是圆，
B.圆柱的左视图是长方形，
C.圆锥的左视图是等腰三角形，
D.圆台的左视图是等腰梯形，
故符合题意的选项是A.
【点睛】错因分析  较容易题.失分原因是不会判断常见几何体的三视图.
2．C
【分析】将变形为，再代入求值即可．
【详解】解：∵，
∴，故C正确．
故选：C．
【点睛】此题主要考查的是比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解决此题的关键．
3．B
【分析】根据用配方法解一元二次方程的步骤即可进行解答．
【详解】解：移项，得： ，
配方，得：，
即：．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，解题的关键是熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤和方法．
4．C
【分析】根据矩形和菱形的性质即可得出答案．
【详解】解：A： 因为矩形的对角线相等，故此选项不符合题意；
B：因为菱形和矩形的对角线都互相平分，故此选项不符合题意；
C：因为对角线互相垂直是菱形具有的性质，故此选项符合题意；
D：因为矩形和菱形的对边都相等且平行，故此选项不符合题意；
故选：C．
【点睛】本题考查矩形和菱形的性质，掌握矩形和菱形性质的区别是解题关键．
5．D
【分析】根据题目中的函数解析式，可以写出该函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标．
【详解】解：∵二次函数的解析式为
∴
∴该函数图象的开口向下，对称轴是直线x＝﹣4，顶点坐标为（﹣4，5），
故选D．
【点睛】本题考查了二次函数的图象的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．
6．C
【分析】根据题意可得蓝球出现的频率稳定在附近，再根据概率公式列出方程，最后解方程即可求出n．
【详解】解：∵大量重复试验后发现，摸到蓝球的频率稳定在，
，
解得：，
即n的值最可能是6．
故选：C
【点睛】本题考查了用频率估计概率及用概率求数量，解题的关键是熟练掌握概率公式．
7．C
【分析】先利用反比例函数的图象经过点，求出k的值，再分别计算选项中各点的横纵坐标之积，然后根据反比例函数图象上点的坐标特征进行判断．
【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，
∴k＝2×（﹣3）＝﹣6，
∵（﹣2）×（﹣3）＝6≠﹣6，
（﹣3）×（﹣2）＝6≠﹣6，
1×（﹣6）＝﹣6，
,6×1＝6≠﹣6，
则它一定还经过（1，﹣6），
故选：C．
【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy＝k．熟练掌握反比例函数的性质是解题的关键．
8．D
【分析】先根据平行四边形的性质可得，从而可得，再根据相似三角形的判定与性质可得，由此即可得．
【详解】解：四边形是平行四边形，
∴，，
，
，
，
∵，
，
，
，
即，故D正确．
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识点，熟记相似三角形的判定与性质是解题关键．
9．D
【分析】先由反比例函数图象得出b>0，再分当a>0，a<0时分别判定二次函数图象符合的选项，在符合的选项中，再判定一次函数图象符合的即可得出答案．
【详解】解：∵反比例函数的图象在第一和第三象限内，
∴b>0，
若a<0，则->0，所以二次函数开口向下，对称轴在y轴右侧，故A、B、C、D选项全不符合；
当a>0，则-<0时，所以二次函数开口向上，对称轴在y轴左侧，故只有C、D两选项可能符合题意，由C、D两选图象知，c<0，
又∵a>0，则-a<0，当c<0,a>0时，一次函数y=cx-a图象经过第二、第三、第四象限，
故只有D选项符合题意．
故选：D．
【点睛】本题考查函数图象与系数的关系，熟练掌握反比例函数图象、一次函数图象、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
10．B
【分析】根据反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的，则有，再根据相似三角形的面积比等于相似比的平方得到3个阴影部分的三角形的面积，找出规律即可得出结论．
【详解】解：根据题意可知，
∵轴，
设图中阴影部分的面积从左向右依次为……
则，
∵，
∴，，
∴•••，
∴第n个阴影部分的面积是：，
∴图中从左到右第2022个阴影部分的面积为：，故B正确．
故选：B．
【点睛】本题考查了反比例函数的性质，综合性比较强，解题的关键要熟练掌握反比例函数上的点向x轴、y轴引垂线形成的矩形面积等于反比例函数的．
11．
【分析】根据菱形的性质，对角线相互垂直且相互平分，则有直角三角形中，由此即可求解．
【详解】解：∵菱形的对角线，交于点，
∴，，
在中，，
∴菱形的周长为，
故答案是：．
【点睛】本题主要考查菱形的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键．
12．﹣2．
【分析】根据最小值的公式直接带入计算即可
【详解】二次函数y＝x2﹣4x+2中，a=1   b=-4   c=2
开口向上，最小值为：
故答案为-2
【点睛】此题重点考查学生对二次函数最小值的理解，抓住最小值的公式是解题的关键
13．3
【分析】作PF⊥CD于点F ，利用AB∥CD，推导△PAB∽△PCD，再利用相似三角形对应高之比是相似比求解即可．
【详解】解：如图，过点P作PF⊥CD于点F，交AB于点E，
∵AB∥CD，
∴△PAB∽△PCD，PE⊥AB，
∵△PAB∽△PCD，
∴，（相似三角形对应高之比是相似比）
即：，
解得PF＝3．
故答案为：3．

【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应高之比是相似比是解题的关键．
14．##10米
【分析】先根据斜面的坡度为，求出的长度，然后再根据勾股定理求出长度即可．
【详解】解：∵斜面的坡度为，，
∴，
∵，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了解直角三角形的应用，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握坡度的定义，求出．
15．2.5##
【分析】由正方形的性质可知，，证明，则，，由G点是BE上的中点可知，中，由勾股定理得求的值，根据计算求解即可．
【详解】解：由正方形的性质可知，，
在和中
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴．
∵G点是BE上的中点，
∴，
在中，由勾股定理得，
∴，
故答案为：或．
【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用．
16．①②③⑤
【分析】①根据时，，可以判断①正确；
②根据时，，可以判断②正确；
③根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴的位置，判断出a、b、c的符号，即可判断③正确；
④根据函数图象，先判断出时，，即可判断出④错误；
⑤先根据抛物线的对称轴得出，再根据时，，即可判断⑤正确．
【详解】解：①根据图像可知，时，，
∴，故①正确；
②根据函数图像可知，时，，
∴，故②正确；
③∵抛物线开口向下，
∴，
∵抛物线与y轴的交点为，
∴，
∵对称轴在y轴的左侧，
∴
∴，
∴，故③正确；
④∵抛物线的对称轴为直线，抛物线与x轴右边的交点在原点与之间，
∴抛物线与x轴左边的交点在与之间，
∴时，，
∴，故④错误；
⑤∵抛物线的对称轴为直线，
∴，
∴，
∵时，，
∴，
∴，
即，故⑤正确；
综上分析可知，一定成立的是①②③⑤．
故答案为：①②③⑤．
【点睛】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；还可以决定开口大小，一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置．
17．2
【分析】根据零指数幂、负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，绝对值的意义进行计算即可．
【详解】解：


．
【点睛】本题主要考查了实数混合运算，解题的关键是熟练掌握零指数幂、负整数指数幂运算法则，特殊角的三角函数值，绝对值的意义．
18．x1＝4，x2＝2
【分析】原方程运用因式分解法求解即可
【详解】解：
（x－4）（x－2）＝0
x－4＝0 或x－2＝0            
∴x1＝4，x2＝2
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，灵活选用方法是解答本题的关键
19．
【分析】根据，得到，利用对应边对应成比例进行计算即可．
【详解】解∵，
∴，
∵，
∴，
，
即， ，  
∴．
【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．解题的关键是证明．
20．彩纸的宽度为
【分析】设彩纸的宽度的宽度为，根据彩纸的面积与原画面的面积相等，列出方程，解方程即可．
【详解】解：设彩纸的宽度的宽度为，根据题意得：
，
解得：，（舍去），
答：彩纸的宽度为．
【点睛】本题主要考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程．
21．米
【分析】过点作于点，在和中，分别解直角三角形求出的长，由此即可得．
【详解】解：如图，过点作于点，

由题意得：米，，
，
，
在中，米，米，
在中，米，米，
则（米），
答：压折前该输电铁塔的高度为米．
【点睛】本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键．
22．(1)见解析
(2)2

【分析】(1)根据旋转的性质可知，，即可得到，，再根据题目中的条件及全等三角形的判定定理，即可证得结论；
(2)设，则，，根据勾股定理，可以求出的长．
【详解】（1）证明：∵将绕点顺时针旋转，得到，
，
，，
，，
，
，
，
在和中，
，
；
（2）解：
，
设，则，，
，
，，
，
，
，
，
解得，，
即．
【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理，解答本题的关键是证明．
23．（1）50名；（2）见解析；（3）600名；（4）
【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；
（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；
（3）用样本估计总体的思想解决问题；
（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．
【详解】解：（1）这次被调查的学生人数为（名；
（2）喜爱“体育”的人数为（名，
补全图形如下：

（3）估计全校学生中喜欢体育节目的约有（名；
（4）列表如下：

甲
乙
丙
丁
甲

（乙，甲）
（丙，甲）
（丁，甲）
乙
（甲，乙）

（丙，乙）
（丁，乙）
丙
（甲，丙）
（乙，丙）

（丁，丙）
丁
（甲，丁）
（乙，丁）
（丙，丁）


所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，
所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
24．(1)直线为；反比例函数为
(2)或
(3)

【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题；
（2）观察图象，的解集就是一次函数图象不在反比例函数图象的下方的x的取值；
（3）设平移后的一次函数的解析式为，交y轴于Q，连接，根据同底等高的三角形面积相等列方程求出a的值，即可求得平移后的一次函数的解析式，与反比例函数解析式联立成方程组，解方程组即可求得P的坐标．
【详解】（1）解：反比例函数的图象经过，
，
反比例函数为，
在上，
，
，
，
一次函数的图象经过A，，
，
解得：，
直线为．
（2）解：由图象可知，的解集是或；
（3）解：设平移后的一次函数的解析式为，交轴于，连接，如图所示：

令，则，
，
，
，
解得：，
平移后的一次函数的解析式为，
联立，
解得：或，
∵点P在第一象限，
．
【点睛】本题主要考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求解析式，函数与不等式的关系，平移的性质，三角形面积．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用．
25．（1）①；②；（2）；；（3）；
【分析】（1）①根据证明，即可得出；
②根据全等三角形的性质得出，设交于点O，根据，结合三角形内角和定理，得出即可得出结果；
（2）证明，可得，，根据三角形的外角得出，，即可得结论；
（3）根据勾股定理求出，根据三角函数求出，求出，证明，求出，得出．
【详解】解：（1）①∵和均为等边三角形，
∴，，，
∴，
即，
∴，
∴；
故答案为：；
②∵，
∴，
设交于点O，
∵，
∴，
即．
故答案为：．

（2）结论：， ．理由如下：
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴．

（3）在中，，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴ ，
∴，
∴，
∴．
【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理、三角函数的计算，解题的关键是熟练掌握三角形相似的判定方法，特殊角的三角函数值．
26．(1)
(2)
(3)面积的最大值为2

【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数解析式即可；
（2）根据对称轴得出当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，求出直线的解析式，求出抛物线的对称轴为直线，把代入求出点G的坐标即可；
（3）连接，过点P作轴，交于点Q，根据点D是的中点，得出，当面积最大时，面积最大，设，则，用m表示出，求出其最大值，即可得出答案．
【详解】（1）解：把代入抛物线得：
，
解得：，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：∵点G是该抛物线对称轴上的动点，
∴，
∴，
∴当点G正好在直线与抛物线对称轴的交点上时最小，
把代入得：，
∴点C的坐标为：，
设直线的解析式为：，
把代入得：，
解得：，
∴ 直线的解析式为：，
抛物线的对称轴为直线，
把代入得：，
∴点G的坐标为：；
（3）解：连接，过点P作轴，交于点Q，如图所示：

∵点D是的中点，
∴，
∴当面积最大时，面积最大，
设，则，
，



，
∴当时，面积取最大值4，
∴面积的最大值为．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数解析式，求一次函数解析式，轴对称的性质，解题的关键是作出相应的辅助线，数形结合．