山东省淄博市张店区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案）

这是一份山东省淄博市张店区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含答案），共29页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。


一、单选题
1．已知反比例函数，则它的图象不经过的点是（ ）
A．B．C．D．
2．如图所示，表示两棵小树在同一时刻阳光下的影子的图形可能是（ ）
A．B．
C．D．
3．下列关于抛物线的说法，正确的是（ ）
A．开口向下B．对称轴是直线
C．顶点坐标是D．时，y随x的增大而减小
4．在Rt△ABC中,∠C=90°,若csB=,则∠B的度数是( )
A．90°B．60°C．45°D．30°
5．函数y＝kx﹣2与y＝（k≠0）在同一坐标系内的图象可能是（ ）
A．B．
C．D．
6．已知二次函数的图像如图所示，该图像顶点的纵坐标为，那么关于x的方程的根的情况是（ ）
A．无实数根B．有两个相等的实数根
C．有两个不相等的实数根D．无法确定
7．已知点，，都在反比例函数的图象上，且，则，，的大小关系是（ ）
A．B．
C．D．
8．某三棱柱的三视图如图所示，已知俯视图中，，下列结论正确的是（ ）
A．B．C．D．
9．若抛物线（m是常数）与直线有两个交点，且这两个交点分别在抛物线对称轴的两侧，则m的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
10．如图，将一块含角的三角板AOB按如图所示摆放在平面直角坐标系中，，，的面积为4，BO与x轴的夹角为，若反比例函数的图象经过点A，则k的值为（ ）
A．3B．C．6D．9
二、填空题
11．物线的顶点坐标是________．
12．反比例函数与正比例函数图象的一个交点坐标为，则另一个交点坐标为______．
13．如图所示，在边长相同的小正方形组成的网格中，两条经过格点的线段相交所成的锐角为，则夹角的正弦值为______．
14．已知二次函数的图象交直线于A，B两点．若该二次函数图象上有且只有，，三点满足，则m的值是______．
15．如图1，是等边的边上一点（不与点，重合），连接，以为边向右作等边，连接．已知的面积（）与的长（）之间的函数关系如图所示，若该抛物线顶点的纵坐标为，则等边的面积为______．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)．
17．如图，在中，已知，，，求的长．
18．如图，小明同学在晚上由路灯A走向路灯B，当他行走到P处时发现，他在路灯B下的影长为2米，且恰好位于路灯A的正下方，接着他又走了6.5米到Q处，此时他在路灯A下的影子恰好位于路灯B的正下方，已知小明身高1.8米，路灯B高9米．
(1)请求出路灯A与路灯B之间的距离的长；
(2)计算路灯A的高度．
19．某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人单价800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团每增加2人，每人的单价就降低20元（每人单价不能低于580元）．
(1)若某个旅行团的人数为x人，则每人的单价应为______元；
(2)请你帮助算一下，当一个旅行团的人数是多少时，旅行社可以获得最大营业额？最大营业额是多少？
20．如图1，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，．
(1)求反比例函数与一次函数的函数表达式；
(2)请结合图1中的图象直接写出关于的不等式的解集；
(3)如图2，连接，求点到的距离．
21．某种落地灯如图1所示，图2是其侧面示意图（假设台灯底座为线段，其高度忽略不计，灯罩和灯泡假设为点D），为立杆，其高为；为支杆，它可以绕点B旋转，其中长为；为悬杆，滑动悬杆可调节的长度，它也可以绕点C旋转．
(1)如图2所示，若将支杆绕点B顺时针转动使得，支杆与悬杆之间的夹角，且为时，求点B与点D的水平距离；
(2)使用过程中发现：当灯泡与地面的距离不低于且不高于时，台灯光线最佳．如图3所示，现测得为，支杆与悬杆之间的夹角，支杆与立杆之间所成的，请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（结果精确到，参考数据：，，，，，，，）
22．阅读理解：
配方法是中学数学的重要方法，用配方法可求最大（小）值．对于任意正实数a，b，可作如下变形：
∵
又∵，
∴，即．
(1)根据上述内容，回答问题：若有正实数m和正实数，则当且仅当______时，这两个正实数的和有最小值为______．
(2)思考验证：如图1，
中，，于点D，为边上中线，，，试根据图形验证成立，并指出等号成立时的条件．
(3)探索应用：如图2，
已知C为反比例函数的图象上一点，C点的横坐标为1，点A，B为x轴上的动点（点A在点B的左边），连接，，始终保持，为y轴上一点，连接，，求四边形面积的最小值．
23．如图1，抛物线与x轴相交于点，C（点C在点B右侧），y轴相交于点，连接，已知面积为．
(1)求抛物线的解析式；
(2)点P是直线下方抛物线上一点，过点P作直线的垂线，垂足为点H，过点P作轴，交于点Q，求周长的最大值及此时点P的坐标；
(3)如图2，将抛物线向左平移5个单位长度得到新的抛物线，M为新抛物线对称轴上一点，N为平面内一点，使得以点A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，请直接写出点M的坐标．
参考答案：
1．A
【分析】求出四个选项中点的横纵坐标之积，比照k值值即可得出结论．
【详解】解：A、，故反比例函数图象不经过点，符合题意；
B、，故反比例函数图象经过点，不符合题意；
C、，故反比例函数图象经过点，不符合题意；
D、，故反比例函数图象经过点，不符合题意；
故选：A．
【点睛】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用反比例函数的性质解答．
2．C
【分析】根据同一时刻阳光下的影子肯定为同侧且平行的，且与物体相连，直接判断即可．
【详解】A. 影子方向不同，故错误；
B. 影子未与树相连，故错误；
C. 满足影子的要求，故正确；
D. 影子方向不同，故错误．
故选：C
【点睛】此题考查平行投影，解题关键是根据投影的概念进行解答即可．
3．D
【分析】由题意已知抛物线解析式为顶点式，进而根据顶点式的特点判断顶点坐标，对称轴，开口方向及增减性分别进行判断即可．
【详解】解：∵，，
∴抛物线开口向上，对称轴为直线，顶点坐标是，当时，y随x的增大而减小，
故选：D．
【点睛】本题考查了二次函数图象的性质，掌握二次函数图象的性质是解题的关键．
4．B
【分析】根据锐角三角函数值，即可求出∠B.
【详解】解：∵在Rt△ABC中,csB=,
∴∠B=60°
故选：B.
【点睛】此题考查的是根据锐角三角函数值求角的度数，掌握特殊角的锐角三角函数值是解决此题的关键.
5．B
【分析】根据当k＞0、当k＜0时，y=kx-2和y＝经过的象限，二者一致的即为正确答案．
【详解】∵当k＞0时，y＝kx﹣2过一、三、四象限，反比例函数y＝过一、三象限，
当k＜0时，y＝kx﹣2过二、三、四象限，反比例函数y＝过二、四象限，
∴B正确；
故选：B．
【点睛】本题主要考查了反比例函数及一次函数的图象性质，由k的取值确定函数所在的象限是解决本题的关键．
6．C
【分析】利用数形结合的思想判断选择即可．
【详解】根据二次函数的图像如图所示，抛物线有最小值，
故当时，与抛物线有两个不同的交点，
此时的方程恰好是，
故方程有两个不相等的实数根；
故选C．
【点睛】本题考查了抛物线的最值，抛物线与一元二次方程的交点，数形结合思想，熟练掌握抛物线与一元二次方程的交点，最值是解题的关键．
7．D
【分析】根据反比例函数的性质，进行判断即可．
【详解】解：∵
∴双曲线过二，四象限，在每一个象限内，随的增大而增大，
∵，
∴点在第四象限，点在第二象限，
∴；
故选D．
【点睛】本题考查比较反比例函数自变量的大小．熟练掌握反比例函数的性质，是解题的关键．
8．C
【分析】根据这个几何体的三视图，得出这个三棱柱的高为6，，，，根据锐角三角函数的定义，线段的和差，三角形的面积分别对各个结论进行判断即可．
【详解】解：如图，作，
由题意可知，这个三棱柱的高为6，，，．
，，
，
，，
，即，故选项B结论不正确，不符合题意；
∴，故选项A结论不正确，不符合题意；
∴，
在中，，
因此选项C结论正确，符合题意；
俯视图三角形的底边为7，高为1，
所以，
因此选项D结论不正确，不符合题意．
故选：C．
【点睛】本题考查简单几何体的三视图，涉及到了三角函数的知识，其中理解视图的定义，掌握简单几何体三视图的形状是正确解答的前提．
9．C
【分析】求出抛物线的对称轴，结合开口方向，画出函数的大致图像，根据两函数的两个交点位于抛物线对称轴两侧，得出抛物线顶点必在直线下方，从而列出不等式，解之即可．
【详解】解：如图，在中，对称轴为直线，
∵，
∴抛物线开口向上，
∵两函数有两个交点，且位于抛物线对称轴两侧，
∴抛物线顶点必在直线下方，
∴当时，，
解得：，
故选C．
【点睛】本题考查了二次函数和一次函数综合，解题的关键是画出大致图像，结合图像将已知条件转化为抛物线顶点必在直线下方，从而解答．
10．C
【分析】根据直角三角板的面积可求出直角边，然后构造特殊直角三角形求出点的坐标直接代入函数求解即可．
【详解】过作轴交于点
∵将一块含角的三角板AOB按如图所示摆放
∴
∵
∴解得
∵BO与x轴的夹角为
∴
∴在中，
∴，则可将代入中，
，解得
故选：C
【点睛】此题考查反比例函数，解题关键是将面积转化为边长，进而转化为坐标，然后代入函数求解．
11．
【分析】根据二次函数的性质，利用顶点式即可得出顶点坐标．
【详解】∵抛物线，
∴抛物线的顶点坐标是，
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数顶点式的图象和性质是解题的关键．
12．
【分析】根据反比例函数的图象是中心对称图形，则经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，即可求解.
【详解】解：∵反比例函数的图象与正比例函数的图象的一个交点坐标为，
∴另一个交点的坐标是．
故答案为：．
【点睛】本题考查反比例函数图象的中心对称性，根据已知得出反比例函数与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称是解题关键．
13．##
【分析】利用网格求出和的长，同时得到，再利用正弦的定义计算即可．
【详解】解：连接，
如图，，，，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查解直角三角形，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
14．
【分析】首先联立，求出A，B两点的坐标，再根据已知条件可判断必有一点在平行于，且与抛物线相切的直线的切点处，求出切点坐标，最后利用割补法求出，即可得出m的值．
【详解】解：联立，解得，，
，，
该二次函数图象上有且只有，，三点满足，
其中一点在平行于，且与抛物线相切的直线的切点处，其他两个点在平行于，且与点到的距离相等的抛物线上，
设与平行，且与抛物线相切的直线解析式为，
联立，得：，整理得：，
，解得：，
，
，，
即，
过作轴交于点C，如图：，
，
即，
故答案为．
【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一次函数交点问题，利用割补法求三角形面积，判定，，三点的位置是解题的关键．
15．
【分析】过点作，交延长线于，设，，然后可以求得，，结合函数图像，最大值为是在处取得，从而求得的值，然后据此根据等边三角形的性质，即可求得等边的面积．
【详解】解：过点作，交延长线于，设，，过点作于点．
∵，，，
∴，
∴（），
∴，，
∴•，
∴，
∵，
∴当时，的值最大，
∵该抛物线顶点的纵坐标为，
∴，
解得，
∵在中，，，
∴，
∴
∴等边的面积为，
故答案为．
【点睛】本题主要考查了二次函数综合，等边三角形的性质，三角函数，三角形面积公式，解题的关键在于根据面积最大求得的值．
16．(1)
(2)
【分析】直接根据特殊角的三角函数值运算即可．
【详解】（1）
（2）
【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解答本题的关键．
17．．
【分析】过点作于．先解，得出，，再解，得出，然后根据即可求解．
【详解】解：过点C作于D．
在中，∵，，，
∴，
．
在中，
∵，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了解直角三角形，锐角三角函数的定义，作出适当的辅助线构造直角三角形是解题的关键．
18．(1)路灯A与路灯B之间的距离长10米
(2)路灯A的高度为12米
【分析】（1）由可得，然后利用相似三角形的对应边成比例列式即可求得长；
（2）由可得，然后利用相似三角形的对应边成比例列式即可求得长，即路灯A的高度．
【详解】（1）解：由题意得，
∴，
由题意知，，，
∴，解得：．
答：路灯A与路灯B之间的距离CD长10米．
（2）解：由题意得，
∴，
由题意知，，，
∴，解得：米．
答：路灯A的高度为12米．
【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形对应边成比例成为解答本题的关键．
19．(1)
(2)当一个旅行团的人数是52人时，可以获得最大的营业额，最大的营业额为元．
【分析】（1）直接根据题意列代数式即可；
（2）设一个旅行团的人数是x人，营业额是y元，根据条件：30人起组团，分情况取最大值比较．
【详解】（1）每人的单价应为（元），
故答案为．
（2）设一个旅行团的人数是x人，营业额是y元，
①当时，，
②当时，根据题意可得：，，
∵每人单价不能低于580元，
∴，
∴．
∵，
∴当时，y随x的增大而增大，
∴当一个旅行团的人数是52人时，这个旅行社可以获得最大的营业额，
最大的营业额为元．
，
综上所述，当一个旅游团的人数是52时，旅行社可以获得最大营业额．
【点睛】本题是二次函数的应用，属于利润问题，解此类题的关键是通过题意，确定出二次函数的解析式，然后确定其最大值，实际问题中自变量x的取值要使实际问题有意义，因此在求二次函数的最值时，一定要注意自变量x的取值范围．
20．(1)，
(2)或
(3)点A到OB的距离为
【分析】（1）将代入得出，将代入得点坐标为，然后待定系数法求解析式即可求解；
（2）根据函数图象直接写出不等式的解集即可求解；
（3）先根据一次函数与坐标轴的交点，求得，根据勾股定理求得，设点到的距离为，然后根据等面积法即可求解．
【详解】（1）解：将代入得，，
解得，，
∴反比例函数表达式为：．
将代入得，，
∴点坐标为．
将和代入中，
得，
解得，
∴一次函数表达式为：．
（2）根据函数图象可知，关于的不等式的解集为：或．
（3）设直线交轴于点，连接．
当一次函数中时，，
∴点坐标为，．
由题意得，
点坐标为，
∴．
设点到的距离为，则，
，解得，
即点到的距离为．
【点睛】本题考查了一次函数与反比例函数综合，一次函数与坐标轴围成的三角形面积，勾股定理，掌握反比例函数与一次函数的性质是解题的关键．
21．(1)点B与点D的水平距离为
(2)台灯光线是为最佳
【分析】（1）过点B作，过点C作于点Q，过点D作于点P，先求得，在中，由得到．再求得，在中，由得到，即可得到答案；
（2）过点B作，过点C作于点M，过点D作于点N，求得，在中，，由得到，求得，，在中由得到，则，即可做出判断．
【详解】（1）解：过点B作，过点C作于点Q，过点D作于点P，
由题意得：，
∵，，
∴．
∵，
∴，
在中，∵，
∴．
在中，∵，，
∴，
∵，
∴，
在中，∵，
∴，
∵，
∴点B与点D的水平距离为．
（2）过点B作，过点C作于点M，过点D作于点N，
由题意得：，
∵，
∴，
∴．
∵，
∴，
在中，．
∵，
∴．
∵，
∴，
在中，∵，
∴．
∵，
∴灯泡与地面的距离为．
∵，
∴台灯光线是为最佳．
【点睛】此题考查了解直角三角形的实际应用，数形结合和准确计算是解题的关键．
22．(1)；
(2)验证见解析，当D与O重合时或时，等式成立
(3)
【分析】（1）根据可知，由此可解；
（2）根据直角三角形斜边中线的性质可得，通过证明∽，可得，进而得出，根据，可得；
（3）过点C作于M． ，结合（2）中结论，求出的最小值即可．
【详解】（1）解：由题意知，
当且仅当时等号成立，
解得，
m是正实数，
，
即当且仅当时，这两个正实数的和有最小值为．
故答案为：，；
（2）解：∵，，
∴．
在中，∵CO为中线，
∴．
∵，
∴．
∵，
∴，
∴．
又∵，，
∴∽，
∴，
∴．
∵，
∴，即．
当D与O重合时或时，等式成立．
（3）解：过点C作于M．
将代入得，
则点C坐标为，
∵点D坐标为，
，
∴，
当AB最小时最小．
∵，，
∴由（2）知：当时，最小，
此时，，
∴AB最小值为10，此时．
【点睛】本题考查了反比例函数、相似三角形的判定与性质、用配方法求最值，理解在（、均为正实数）中，当且仅当、满足时，有最小值是解题的关键．
23．(1)
(2)周长的最大值为，此时
(3)存在；M点坐标为或或
【分析】（1）根据面积为，求出点，然后用待定系数法求出抛物线的解析式即可；
（2）先证明，得出，求出，得出，求出直线的解析式为，设，则，得出，求出周长的最大值及此时点P的坐标即可；
（3）先求出新抛物线的对称轴为直线，设，求出，，，然后分为菱形的对角线，为菱形的对角线，为菱形的对角线，列出关于m的方程，解方程即可．
【详解】（1）解：∵点，
∴，
∵面积为，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵过，，，
∴过，
∴，
∴，
∴，
即．
（2）解：∵轴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，．
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
设直线的解析式为，
∴，
解得：，
∴，
设，则，
∴，
∴
，
∴当时，周长的最大值为，此时．
（3）解：∵抛物线的对称轴为直线，
∴向左平移5个单位长度得到新抛物线的对称轴为直线，
∴设，
∵，，
∴，
∵，，
∴由勾股定理得，
∵，
∴由勾股定理得，
当为菱形的对角线时，，
∴，
解得，
∴；
当为菱形的对角线时，，
∴，
解得：，
∴或；
当AM为菱形的对角线时，，
∴，此方程无解，
∴不存在以AM为对角线的菱形；
综上所述：M点坐标为或或．
【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用，求抛物线的解析式，一次函数解析式，三角形相似的判定和性质，勾股定理，解题的关键是数形结合，注意分类讨论．