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高中数学高考板块2 核心考点突破拿高分 专题5 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)(1)课件PPT
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这是一份高中数学高考板块2 核心考点突破拿高分 专题5 第3讲 圆锥曲线中的最值、范围、证明问题(大题)(1)课件PPT，共51页。PPT课件主要包含了内容索引，热点分类突破，真题押题精练，热点一最值问题，热点二范围问题，热点三证明问题，1求E的方程，∵9－t20，押题预测，真题体验等内容，欢迎下载使用。
NEIRONGSUOYIN
求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键(1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等；(2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程；(3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值.
(2)直线l与E交于M，N两点(M，N在x轴的同侧)，当F1M∥F2N时，求四边形F1F2NM面积的最大值.
解 延长MF1交E于点M′，
设M(x1，y1)，M′(x2，y2)，
设F1M与F2N的距离为d，四边形F1F2NM的面积为S，
故四边形F1F2NM面积的最大值为2.
(1)若直线l1与椭圆C交于M，N两点，且A为线段MN的中点，求直线MN的斜率；
因为A为线段MN的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝1.得(x1－x2)＋(y1－y2)＝0，
(2)若直线l2：y＝2x＋t(t≠0)与椭圆C交于P，Q两点，求△BPQ的面积的最大值.
可得9x2＋8tx＋(2t2－2)＝0，由Δ>0可得64t2－36(2t2－2)>0，解得0
(1)求椭圆E的方程；
解 由题可设A(xA，yA)，B(－xA，－yA)，C(xC，yC)，
所以a2＝2b2，又c＝1，a2＝b2＋c2，所以a2＝2，b2＝1，
解 设直线方程为y＝kx＋m，交椭圆于点P(x1，y1)，Q(x2，y2).
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ＝8(2k2＋1－m2)>0，得2k2＋1>m2，
因为直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，
即m2＝1＋k2，代入2k2＋1>m2，得k≠0.
化简得k4＋k2－6≥0，即(k2＋3)(k2－2)≥0，解得k2≥2或k2≤－3(舍).
跟踪演练2 (2019·合肥质检)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点M(m,9)到其焦点F的距离为10.(1)求抛物线C的方程；
解 已知M(m,9)到焦点F的距离为10，则点M到准线的距离为10.
解得p＝2，∴抛物线的方程为x2＝4y.
(2)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|·|BQ|的取值范围.
解 由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，因为F(0,1)，则l：y＝kx＋1.
∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
∵k2≥0，∴|AP|·|BQ|的取值范围为[2，＋∞).
圆锥曲线的证明问题，常表现为证明相等、定值、过定点、点在曲线上等，一般是以直线与圆锥曲线为载体，综合使用圆锥曲线的性质及位置关系进行论证.
(1)求椭圆C的方程；
所以a2＝4，b2＝3，
(2)过椭圆的右焦点F的直线l1与椭圆交于A，B，过F与l1垂直的直线l2与椭圆交于C，D，与l3：x＝4交于P，求证：直线PA，PF，PB的斜率kPA，kPF，kPB成等差数列.
证明 由题意，知当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为y＝k(x－1).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
即kPA＋kPB＝2kPF，当直线l1的斜率不存在时，kPA＋kPB＝0，kPF＝0，满足题意，所以kPA，kPF，kPB成等差数列.
跟踪演练3 (2019·深圳调研)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，
∵一个焦点坐标为F(1,0)，∴另一个焦点坐标为(－1,0)，∴由椭圆定义可知，
∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝3，
∵一个焦点坐标为F(1,0)，∴m－n＝1，①
联立方程①②，解得m＝4，n＝3，
(2)设椭圆的左、右顶点分别为A，B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线x＝4于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上.
证明 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，可设直线MN的方程为x＝my＋1，
并整理，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，∵Δ＝(6m)2＋36(3m2＋4)>0，
(2019·全国Ⅱ，理，21)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－ .记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点.
(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.①证明：△PQG是直角三角形；
证明 设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0).
因为kPQ·kPG＝－1.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形.
②求△PQG面积的最大值.
圆W的左、右焦点，△PF1F2为等腰三角形.(1)求椭圆W的方程；
∵ △PF1F2为等腰三角形，∴|F1F2|＝|F2P|，
(2)过左焦点F1作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A(0,1)，另一条过F1的直线l2交椭圆于C，D两点(不与A，B重合)，且D点不与点(0，－1)重合.过F1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G.①求B点坐标；
解 由题意可得直线l1的方程为y＝x＋1.
②求证：|EF1|＝|F1G|.
解 当l2与x轴垂直时，D，C两点与E，G两点重合，由椭圆的对称性，|EF1|＝|F1G|.当l2不与x轴垂直时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，l2的方程为y＝k(x＋1)(k≠1).
整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
即yE＋yG＝0，即|EF1|＝|F1G|.
NEIRONGSUOYIN
求圆锥曲线中三角形面积的最值的关键(1)公式意识，把求三角形的面积转化为求距离、求角等；(2)方程思想，即引入参数，寻找关于参数的方程；(3)不等式意识，寻找关于参数的不等式，利用基本不等式等求最值.
(2)直线l与E交于M，N两点(M，N在x轴的同侧)，当F1M∥F2N时，求四边形F1F2NM面积的最大值.
解 延长MF1交E于点M′，
设M(x1，y1)，M′(x2，y2)，
设F1M与F2N的距离为d，四边形F1F2NM的面积为S，
故四边形F1F2NM面积的最大值为2.
(1)若直线l1与椭圆C交于M，N两点，且A为线段MN的中点，求直线MN的斜率；
因为A为线段MN的中点，所以x1＋x2＝2，y1＋y2＝1.得(x1－x2)＋(y1－y2)＝0，
(2)若直线l2：y＝2x＋t(t≠0)与椭圆C交于P，Q两点，求△BPQ的面积的最大值.
可得9x2＋8tx＋(2t2－2)＝0，由Δ>0可得64t2－36(2t2－2)>0，解得0
(1)求椭圆E的方程；
解 由题可设A(xA，yA)，B(－xA，－yA)，C(xC，yC)，
所以a2＝2b2，又c＝1，a2＝b2＋c2，所以a2＝2，b2＝1，
解 设直线方程为y＝kx＋m，交椭圆于点P(x1，y1)，Q(x2，y2).
得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0，Δ＝8(2k2＋1－m2)>0，得2k2＋1>m2，
因为直线y＝kx＋m与圆x2＋y2＝1相切，
即m2＝1＋k2，代入2k2＋1>m2，得k≠0.
化简得k4＋k2－6≥0，即(k2＋3)(k2－2)≥0，解得k2≥2或k2≤－3(舍).
跟踪演练2 (2019·合肥质检)已知抛物线C：x2＝2py(p>0)上一点M(m,9)到其焦点F的距离为10.(1)求抛物线C的方程；
解 已知M(m,9)到焦点F的距离为10，则点M到准线的距离为10.
解得p＝2，∴抛物线的方程为x2＝4y.
(2)设过焦点F的直线l与抛物线C交于A，B两点，且抛物线在A，B两点处的切线分别交x轴于P，Q两点，求|AP|·|BQ|的取值范围.
解 由已知可判断直线l的斜率存在，设斜率为k，因为F(0,1)，则l：y＝kx＋1.
∴x1＋x2＝4k，x1x2＝－4.
∵k2≥0，∴|AP|·|BQ|的取值范围为[2，＋∞).
圆锥曲线的证明问题，常表现为证明相等、定值、过定点、点在曲线上等，一般是以直线与圆锥曲线为载体，综合使用圆锥曲线的性质及位置关系进行论证.
(1)求椭圆C的方程；
所以a2＝4，b2＝3，
(2)过椭圆的右焦点F的直线l1与椭圆交于A，B，过F与l1垂直的直线l2与椭圆交于C，D，与l3：x＝4交于P，求证：直线PA，PF，PB的斜率kPA，kPF，kPB成等差数列.
证明 由题意，知当直线l1的斜率存在且不为0时，设直线l1的方程为y＝k(x－1).
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，
即kPA＋kPB＝2kPF，当直线l1的斜率不存在时，kPA＋kPB＝0，kPF＝0，满足题意，所以kPA，kPF，kPB成等差数列.
跟踪演练3 (2019·深圳调研)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的中心在坐标原点O，
∵一个焦点坐标为F(1,0)，∴另一个焦点坐标为(－1,0)，∴由椭圆定义可知，
∴a＝2，∴b2＝a2－c2＝3，
∵一个焦点坐标为F(1,0)，∴m－n＝1，①
联立方程①②，解得m＝4，n＝3，
(2)设椭圆的左、右顶点分别为A，B，M是椭圆上异于A，B的任意一点，直线MF交椭圆C于另一点N，直线MB交直线x＝4于Q点，求证：A，N，Q三点在同一条直线上.
证明 设M(x1，y1)，N(x2，y2)，可设直线MN的方程为x＝my＋1，
并整理，得(3m2＋4)y2＋6my－9＝0，∵Δ＝(6m)2＋36(3m2＋4)>0，
(2019·全国Ⅱ，理，21)已知点A(－2,0)，B(2,0)，动点M(x，y)满足直线AM与BM的斜率之积为－ .记M的轨迹为曲线C.(1)求C的方程，并说明C是什么曲线；
所以C为中心在坐标原点，焦点在x轴上的椭圆，不含左右顶点.
(2)过坐标原点的直线交C于P，Q两点，点P在第一象限，PE⊥x轴，垂足为E，连接QE并延长交C于点G.①证明：△PQG是直角三角形；
证明 设直线PQ的斜率为k，则其方程为y＝kx(k>0).
因为kPQ·kPG＝－1.所以PQ⊥PG，即△PQG是直角三角形.
②求△PQG面积的最大值.
圆W的左、右焦点，△PF1F2为等腰三角形.(1)求椭圆W的方程；
∵ △PF1F2为等腰三角形，∴|F1F2|＝|F2P|，
(2)过左焦点F1作直线l1交椭圆于A，B两点，其中A(0,1)，另一条过F1的直线l2交椭圆于C，D两点(不与A，B重合)，且D点不与点(0，－1)重合.过F1作x轴的垂线分别交直线AD，BC于E，G.①求B点坐标；
解 由题意可得直线l1的方程为y＝x＋1.
②求证：|EF1|＝|F1G|.
解 当l2与x轴垂直时，D，C两点与E，G两点重合，由椭圆的对称性，|EF1|＝|F1G|.当l2不与x轴垂直时，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，l2的方程为y＝k(x＋1)(k≠1).
整理得(2k2＋1)x2＋4k2x＋2k2－2＝0，
即yE＋yG＝0，即|EF1|＝|F1G|.
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