2023重庆市主城区七校高二上学期期末考试数学含解析
展开2022—2023学年（上）期末考试
高2024届数学试题
考试说明：1. 考试时间：120分钟
2. 试题总分：150分
3. 试卷页数：4页
一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知等差数列前n项和为，且，，则（ ）．
A. 90 B. 80 C. 60 D. 30
2. 若，，则等于（ ）
A. 5 B. C. 7 D.
3. 已知抛物线的焦点为F，，则为（ ）
A. B. 2 C. D.
4. 已知点在双曲线上，若两点关于原点对称，过右焦点，且，则双曲线离心率为（ ）
A. B. C. D.
5. 等比数列为递减数列，若，，则（ ）
A. B. C. D. 6
6. 已知各棱长均为的四面体中， 是的中点，直线，则的最小值为（ ）
A. 1＋ B. C. D.
7. 分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，它的研究对象普遍存在于自然界中，因此又被称为“大自然的几何学”.按照如图1所示的分形规律，可得如图2所示的一个树形图.若记图2中第n行黑圈的个数为，则（ ）
A. 110 B. 128 C. 144 D. 89
8. 设椭圆的方程为，斜率为k的直线l不经过原点O，且与椭圆相交于A，B两点，M为线段AB的中点，下列结论正确的是（ ）
A. 直线l与OM一定垂直
B. 若直线l方程为，则.
C. 若直线l方程，则点M坐标为
D. 若点M坐标为，则直线l方程为
二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知动直线与圆，则下列说法正确的是（ ）
A. 直线过定点
B. 圆的圆心坐标为
C. 直线与圆的相交弦的最小值为
D. 直线与圆的相交弦的最大值为4
10. 已知椭圆与双曲线，下列关于两曲线的说法正确的是（ ）
A. 的长轴长与的实轴长相等 B. 的短轴长与的虚轴长相等
C. 焦距相等 D. 离心率不相等
11. 已知数列的前项和为，，，数列的前项和为，那么下列选项正确的是（ ）
A. 数列是等比数列 B. 数列的通项公式为
C. D.
12. 已知为正四棱柱，底面边长为2，高为4，E，F分别为，的中点.则下列说法错误的是（ ）
A. 直线与平面所成角的正弦值为
B. 平面平面
C. 直线EF被正四棱柱外接球截得的弦长为
D. 以D为球心，为半径的球与侧面的交线长为
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 以为圆心，且与直线相切的圆的标准方程是______.
14. 线段AB，其中，，过定点作直线l与线段相交，则直线l的斜率的取值范围是______.
15. 数列满足下列条件：，且，恒有，则______．
16. 圆锥曲线有良好的光学性质，光线从椭圆的一个焦点发出，被椭圆反射后会经过椭圆的另一个焦点（如左图）；光线从双曲线的一个焦点发出，被双曲线反射后的反射光线等效于从另一个焦点射出（如中图）.封闭曲线E（如右图）是由椭圆：和双曲线：在y轴右侧的一部分（实线）围成.光线从椭圆上一点出发，经过点，然后在曲线E内多次反射，反射点依次为，，，，…若，重合，则光线从到所经过的路程为______.
四、解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17. 记为等差数列的前n项和，已知，.
（1）求的通项公式；
（2）求，并求的最大值.
18. 已知点，直线l：，圆C：.
（1）若连接点D与圆心C的直线与直线l垂直，求实数a的值；
（2）若点P为x轴上一动点，求的最小值，并写出取得最小值时点P的坐标.
19. 在棱长为2的正方体中，M，N，O，P分别为BC，，，的中点.
（1）求证：平面；
（2）求异面直线BN与所成角的余弦值.
20. 已知数列前n项和满足条件，其中.
（1）求的通项公式；
（2）设数列满足，又，对一切恒成立，求的取值范围.
21. 已知四棱锥（如图），四边形ABCD为正方形，面面ABCD，，M为AD中点.
（1）求证：；
（2）求直线PC与平面所成角的余弦值.
22. 椭圆C：的两焦点分别为，，椭圆与y轴正半轴交于点，.
（1）求曲线C的方程；
（2）过椭圆C上一动点P（不在x轴上）作圆O：的两条切线PC、PD，切点分别为C、D，直线CD与椭圆C交于E、G两点，求的面积的取值范围.
