高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第6章 §6 2　等差数列及其前n项和

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1．等差数列的有关概念
(1)等差数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d表示，定义表达式为an－an－1＝d(常数)(n≥2，n∈N*)或an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)．
(2)等差中项
若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝eq \f(a＋b,2).
2．等差数列的有关公式
(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d.
(2)前n项和公式：Sn＝na1＋eq \f(nn－1,2)d或Sn＝eq \f(na1＋an,2).
3．等差数列的常用性质
(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an.
(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列．
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列．
(5)S2n－1＝(2n－1)an.
(6)等差数列{an}的前n项和为Sn，eq \b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\c1(\f(Sn,n)))为等差数列．
微思考
1．等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？
提示 不一定．当公差d＝0时，Sn＝na1，不是关于n的二次函数．
2．若数列的前n项和为Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，则这个数列一定是等差数列吗？
提示 不一定．当C＝0时是等差数列.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．( √ )
(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( × )
(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.( √ )
(4)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．( √ )
题组二 教材改编
2．已知在等差数列{an}中，a2＝－3，a3＝－5，则a9＝________.
答案 －17
解析 d＝a3－a2＝－2，∴a9＝a3＋6d＝－5＋6×(－2)＝－17.
3．已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则d＝________.
答案 2
解析 ∵a4＋a8＝20，∴a1＋3d＋a1＋7d＝20，
即a1＋5d＝10，①
a7＝a1＋6d＝12，②
②－①得d＝2.
4．已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝________.
答案 126
解析 由已知可得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＋2d＝2，,2a1＋5d＝10，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a1＝－10，,d＝6.))
∴S9＝9a1＋eq \f(9×8,2)d＝－90＋36×6＝126.
题组三 易错自纠
5．(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论正确的是( )
A．dS5
D．S6与S7均为Sn的最大值
答案 ABD
解析 S6＝S5＋a6>S5，则a6>0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6