高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第6章 §6 2　等差数列及其前n项和课件PPT

这是一份高中数学高考2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第6章 §6 2　等差数列及其前n项和课件PPT，共60页。PPT课件主要包含了考试要求，主干梳理基础落实，题型突破核心探究，课时精练，内容索引，同一个常数，n≥2n∈N，a1＋n－1d，n－md，题组一思考辨析等内容，欢迎下载使用。

1.理解等差数列的概念.2.掌握等差数列的通项公式与前n项和公式.3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用有关知识解决相应的问题.4.了解等差数列与一次函数、二次函数的关系.
ZHUGANSHULI JICHULUOSHI
1.等差数列的有关概念(1)等差数列的定义一般地，如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的差都等于 ，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母 表示，定义表达式为____________________ 或 .(2)等差中项若三个数，a，A，b成等差数列，则A叫做a与b的等差中项，且有A＝ .
an－an－1＝d(常数)
an＋1－an＝d(常数)(n∈N*)
2.等差数列的有关公式(1)通项公式：an＝ .(2)前n项和公式：Sn＝ 或Sn＝ .3.等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：an＝am＋ (n，m∈N*).(2)若{an}为等差数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则 .(3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为 的等差数列.
ak＋al＝am＋an
(4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列.(5)S2n－1＝(2n－1)an.(6)等差数列{an}的前n项和为Sn， 为等差数列.
1.等差数列的前n项和Sn是项数n的二次函数吗？
提示　不一定.当公差d＝0时，Sn＝na1，不是关于n的二次函数.
2.若数列的前n项和为Sn＝An2＋Bn＋C(A≠0)，则这个数列一定是等差数列吗？
提示　不一定.当C＝0时是等差数列.
1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的.(　　)(2)若一个数列每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列.(　　)(3)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)(4)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列.(　　)
2.已知在等差数列{an}中，a2＝－3，a3＝－5，则a9＝______.
解析　d＝a3－a2＝－2，∴a9＝a3＋6d＝－5＋6×(－2)＝－17.
解析　∵a4＋a8＝20，∴a1＋3d＋a1＋7d＝20，即a1＋5d＝10，①a7＝a1＋6d＝12，②②－①得d＝2.
3.已知在等差数列{an}中，a4＋a8＝20，a7＝12，则d＝____.
4.已知{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a3＝2，且S6＝30，则S9＝________.
题组三　易错自纠5.(多选)设{an}是等差数列，Sn是其前n项的和，且S5S8，则下列结论正确的是A.d<0B.a7＝0C.S9>S5D.S6与S7均为Sn的最大值
解析　S6＝S5＋a6>S5，则a6>0，S7＝S6＋a7＝S6，则a7＝0，则d＝a7－a6<0，S8＝S7＋a8S9，由a7＝0，a6>0知S6，S7是Sn中的最大值.从而ABD均正确.
解析　∵|a3|＝|a9|，∴|a1＋2d|＝|a1＋8d|，可得a1＝－5d，∴a6＝a1＋5d＝0，且a1>0，∴a5>0，故Sn取最大值时n的值为5或6.
6.在等差数列{an}中，|a3|＝|a9|，公差d<0，则使数列{an}的前n项和Sn取最大值的正整数n的值是________.
TIXINGTUPO HEXINTANJIU
题型一　等差数列基本量的运算
1.(多选)(2019·全国Ⅰ改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和.已知S4＝0，a5＝5，则下列选项正确的是A.a2＋a3＝0 B.an＝2n－5C.Sn＝n(n－4) D.d＝－2
∴a1＋a4＝a2＋a3＝0，A正确；a5＝a1＋4d＝5，①a1＋a4＝a1＋a1＋3d＝0，②
∴an＝－3＋(n－1)×2＝2n－5，B正确，D错误；
2.(2020·全国Ⅱ)记Sn为等差数列{an}的前n项和.若a1＝－2，a2＋a6＝2，则S10＝_____.
解析　设等差数列{an}的公差为d，则a2＋a6＝2a1＋6d＝2.因为a1＝－2，所以d＝1.
3.(2020·上海)已知{an}是公差不为零的等差数列，且a1＋a10＝a9，则 ＝________.
解析　∵a1＋a10＝a9，∴a1＋a1＋9d＝a1＋8d，即a1＝－d，
a10＝a1＋9d＝8d，
4.(2020·新高考全国Ⅰ)将数列{2n－1}与{3n－2}的公共项从小到大排列得到数列{an}，则{an}的前n项和为________.
解析　方法一　(观察归纳法)数列{2n－1}的各项为1,3,5,7,9,11,13，…；数列{3n－2}的各项为1,4,7,10,13，….观察归纳可知，两个数列的公共项为1,7,13，…，是首项为1，公差为6的等差数列，则an＝1＋6(n－1)＝6n－5.
方法二　(引入参变量法)令bn＝2n－1，cm＝3m－2，bn＝cm，则2n－1＝3m－2，即3m＝2n＋1，m必为奇数.令m＝2t－1，则n＝3t－2(t＝1,2,3，…).at＝b3t－2＝c2t－1＝6t－5，即an＝6n－5.以下同方法一.
(1)等差数列的通项公式及前n项和公式共涉及五个量a1，n，d，an，Sn，知道其中三个就能求出另外两个(简称“知三求二”).(2)确定等差数列的关键是求出两个最基本的量，即首项a1和公差d.
题型二　等差数列的判定与证明
例1　(2020·烟台模拟)已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*).(1)记bn＝lg2(an＋1)，判断{bn}是否为等差数列，并说明理由；
解　{bn}是等差数列，理由如下：b1＝lg2(a1＋1)＝lg22＝1，当n≥2时，bn－bn－1＝lg2(an＋1)－lg2(an－1＋1)
∴{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列.
(2)求数列{an}的通项公式.
解　由(1)知，bn＝1＋(n－1)×1＝n，∴an＋1＝ ＝2n，∴an＝2n－1.
由已知得，(n＋2)an＝(n＋1)an＋1－2(n＋2)(n＋1)，
判断数列{an}是等差数列的常用方法(1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数.(2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2an＝an＋1＋an－1.(3)通项公式法：对任意n∈N*，都满足an＝pn＋q(p，q为常数).(4)前n项和公式法：对任意n∈N*，都满足Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).
当n＝1时，上式不成立，
题型三　等差数列性质的应用
命题点1　等差数列项的性质例2　(1)(2021·淄博模拟)设Sn为等差数列{an}的前n项和，且4＋a5＝a6＋a4，则S9等于A.72 B.36 C.18 D.9
解析　∵a6＋a4＝2a5，∴a5＝4，
(2)(2020·临沂质检)在等差数列{an}中，若a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝80，则a7－ a8的值为A.4 B.6 C.8 D.10
解析　∵a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝5a6＝80，∴a6＝16，又a6＋a8＝2a7，
命题点2　等差数列和的性质
∴S2 023＝2 023×2＝4 046，故选C.
(2)(2020·全国Ⅱ)北京天坛的圜丘坛为古代祭天的场所，分上、中、下三层.上层中心有一块圆形石板(称为天心石)，环绕天心石砌9块扇面形石板构成第一环，向外每环依次增加9块.下一层的第一环比上一层的最后一环多9块，向外每环依次也增加9块，已知每层环数相同，且下层比中层多729块，则三层共有扇面形石板(不含天心石)A.3 699块 B.3 474块C.3 402块 D.3 339块
解析　设每一层有n环，由题意可知，从内到外每环之间构成公差为d＝9，首项为a1＝9的等差数列.由等差数列的性质知Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等差数列，且(S3n－S2n)－(S2n－Sn)＝n2d，则9n2＝729，解得n＝9，
一般地，运用等差数列的性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，等差数列的性质是解题的重要工具.
(2)设Sn为等差数列{an}的前n项和，若S6＝1，S12＝4，则S18＝____.
解析　在等差数列中，S6，S12－S6，S18－S12成等差数列，∵S6＝1，S12＝4，∴1,3，S18－4成公差为2的等差数列，即S18－4＝5，∴S18＝9.
KESHIJINGLIAN
解析　由等差数列的性质可得a2＋a5＋a8＋a11＝2(a6＋a7)＝48，则a6＋a7＝24，故选D.
1.已知{an}是等差数列，且a2＋a5＋a8＋a11＝48，则a6＋a7等于A.12 B.16 C.20 D.24
2.数列{an}的前n项和Sn＝n(2n－1)，若k－l＝4(k，l∈N*)，则ak－al等于A.4 B.8 C.16 D.32
解析　∵Sn＝n(2n－1)，∴数列{an}是公差为4的等差数列，∵k－l＝4，∴ak－al＝4×4＝16.故选C.
3.已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝ran＋r(n∈N*，r∈R，r≠0)，则“r＝1”是“数列{an}为等差数列”的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
解析　当r＝1时，an＋1＝ran＋r⇒an＋1＝an＋1，∴数列{an}为公差为1的等差数列，即充分性成立；∵an＋1＝ran＋r，a1＝1，∴a2＝2r，a3＝2r2＋r，∴若数列{an}为等差数列，则4r＝1＋2r2＋r，∴r＝1或r＝ ，即必要性不成立，综上，“r＝1”是“数列{an}为等差数列”的充分不必要条件，故选A.
4.我国南北朝时的数学著作《张邱建算经》有一道题为：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差降之，上三人先入，得金四斤，持出，下三人后入得金三斤，持出，中间四人未到者，亦依次更给，问各得金几何？”则在该问题中，等级较高的一等人所得黄金比等级较低的九等人所得黄金
解析　设十等人得金从高到低依次为a1，a2，…，a10，则{an}为等差数列，
5.(多选)等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，当首项a1和d变化时，a3＋a8＋a13是一个定值，则下列各数也为定值的有A.a7 B.a8 C.S15 D.S16
解析　由等差中项的性质可得a3＋a8＋a13＝3a8为定值，
6.(多选)已知{an}为等差数列，其前n项和为Sn，且2a1＋3a3＝S6，则以下结论正确的是A.a10＝0 B.S10最小C.S7＝S12 D.S19＝0
解析　2a1＋3a3＝S6，∴2a1＋3a1＋6d＝6a1＋15d，∴a1＋9d＝0，即a10＝0，A正确；当d<0时，Sn没有最小值，B错误；S12－S7＝a8＋a9＋a10＋a11＋a12＝5a10＝0，∴S12＝S7，C正确；
7.若Sn是等差数列{an}的前n项和，且S8－S3＝20，则S11＝_____.
解析　S8－S3＝a4＋a5＋a6＋a7＋a8＝5a6＝20，∴a6＝4，
8.已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝1，S3＝a5，am＝2 021，则m＝________.
解析　∵S3＝3a1＋3d，∴3a1＋3d＝a1＋4d，即d＝2，am＝a1＋(m－1)×2＝2m－1＝2 021，∴m＝1 011.
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1，又a1＝1满足上式，∴an＝2n－1.
10.(2020·河北衡水中学模拟)已知在数列{an}中，a6＝11，且nan－(n－1)an＋1＝1，则an＝______； 的最小值为____.
解析　nan－(n－1)an＋1＝1，所以(n＋1)an＋1－nan＋2＝1，两式相减得nan－2nan＋1＋nan＋2＝0，所以an＋an＋2＝2an＋1，所以数列{an}为等差数列.当n＝1时，由nan－(n－1)an＋1＝1得a1＝1，由a6＝11，得公差d＝2，所以an＝1＋2(n－1)＝2n－1，
11.在数列{an}中，a1＝8，a4＝2，且满足an＋2－2an＋1＋an＝0(n∈N*).(1)求数列{an}的通项公式；
解　∵an＋2－2an＋1＋an＝0，∴an＋2－an＋1＝an＋1－an，∴数列{an}是等差数列，设其公差为d，∵a1＝8，a4＝2，
∴an＝a1＋(n－1)d＝10－2n，n∈N*.
(2)设Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|，求Tn.
解　设数列{an}的前n项和为Sn，则由(1)可得，
由(1)知an＝10－2n，令an＝0，得n＝5，∴当n>5时，an<0，则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋a5－(a6＋a7＋…＋an)＝S5－(Sn－S5)＝2S5－Sn
＝2×(9×5－25)－(9n－n2)＝n2－9n＋40；当n≤5时，an≥0，则Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝a1＋a2＋…＋an＝9n－n2，
12.(2020·沈阳模拟)已知Sn是等差数列{an}的前n项和，S2＝2，S3＝－6.(1)求数列{an}的通项公式及前n项和Sn；
解　∵S2＝2，S3＝－6，
∴an＝4＋(n－1)×(－6)＝－6n＋10，
(2)是否存在正整数n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列？若存在，求出n；若不存在，请说明理由.
解　假设存在n，使Sn，Sn＋2＋2n，Sn＋3成等差数列，则2(Sn＋2＋2n)＝Sn＋Sn＋3，∴2[－3(n＋2)2＋7(n＋2)＋2n]＝－3n2＋7n＋7(n＋3)－3(n＋3)2，解得n＝5.
13.已知数列{an}是等差数列，若a9＋3a11<0，a10·a11<0，且数列{an}的前n项和Sn有最大值，那么Sn取得最小正值时n等于A.20 B.17 C.19 D.21
解析　因为a9＋3a11<0，所以a9＋a11＋2a11＝a9＋a11＋a10＋a12＝2(a11＋a10)<0 ，所以a10＋a11<0.因为a10·a11<0，所以由等差数列的性质和求和公式可得a10>0，a11<0，又可得S19＝19a10>0，而S20＝10(a10＋a11)<0，进而可得Sn取得最小正值时n＝19.故选C.
14.已知数列{an}满足a1＝2，a2＝3，且an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，则该数列的前9项之和为________.
解析　∵an＋2－an＝1＋(－1)n，n∈N*，∴当n为奇数时，a2n＋1－a2n－1＝0，则数列{a2n－1}是常数列，a2n－1＝a1＝2；当n为偶数时，a2n＋2－a2n＝2，则数列{a2n}是以a2＝3为首项，2为公差的等差数列，∴a1＋a2＋…＋a9＝(a1＋a3＋…＋a9)＋(a2＋a4＋…＋a8)
解析　因为正项等差数列{an}满足(a1＋a10)2＝2a2a9＋20，所以(a2＋a9)2＝2a2a9＋20，
解　设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3，
16.在等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.(1)求{an}的通项公式；
(2)设{bn}＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.
所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.