高考数学大一轮复习第6章数列第2讲等差数列及其前n项和2试题文含解析

第六章　数　列

第二讲　等差数列及其前n项和

1.[2021嘉兴市高三测试]数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=n2-n+a,n∈N*,则“a=0”是“数列{a2n}为等差数列”的              (　　)

A.充分不必要条件 B.必要不充分条件

C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件

2.[2021南昌市高三测试]已知Sn为等差数列{an}的前n项和,3a3=5a2,S10 =100,则a1= (　　)

A.1 B.2 C.3 D.4

3.[2021洛阳市统考]已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=7a1,则= (　　)

A.2 B.3

C. D.

4.[2021江西红色七校联考]在等差数列{an}中,若a1+a2+a3=36,a11+a12+a13=84,则a5+a9= (　　)

A.30 B.35 C.40 D.45

5.[2021湖北省四地七校联考]在等差数列{an}中,已知a7>0,a3+a9<0,则数列{an}的前n项和Sn的最小值为 (　　)

A.S4 B.S5 C.S6 D.S7

6.[2021陕西省部分学校摸底检测]数列{}是等差数列,且a1=1,a3=-,那么a5= (　　)

A. B.- C.5 D.-5

7.[2021惠州市一调]《张丘建算经》是我国北魏时期大数学家张丘建所著,约成书于公元466~485年间.其中记载着这么一道“女子织布”问题:某女子善于织布,一天比一天织得快,且每日增加的数量相同,已知第一日织布5尺,30日共织布390尺,则该女子织布每日增加的尺数为              (　　)

A. B. C. D.

8.[2020湖北部分重点中学高三测试]已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是(　　)

A.a6 B.a7 C.a8 D.a9

9.[2020大同市高三调研]若等差数列{an}的前n项和Sn有最大值,且<-1,则Sn取正值时项数n的最大值为 (　　)

A.15 B.17 C.19 D.21

10.[2020武汉市六月模拟]已知数列{an}是等差数列,公差为d,Sn为数列{an}的前n项和,a1+a7=-2,S3=15.

(1)求数列{an}的通项公式an;

(2)求数列{|an|}的前n项和Tn.

11.[2021四省八校联考]已知公差非零的等差数列{an}满足|a3|=|a8|,则下列结论正确的是 (　　)

A.S11=0 B.Sn=S11-n(1≤n≤10,n∈N*)

C.当S11>0时,Sn≥S5 D.当S11<0时,Sn≥S5

12.[2021河南郑州一中等名校联考][等差数列与向量综合]已知Sn,Tn分别为等差数列{an},{bn}的前n项和,,设点A是直线BC外一点,点P是直线BC上一点,且+λ,则实数λ的值为              (　　)

A. B.- C. D.

13.[2020成都市三诊]设数列{an}的前n项和为Sn,若a1=5,S5=10,且{}是等差数列,则|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|的值为　　　　. 

14.[2021江苏省部分学校学情调研]记Sn为等比数列{an}的前n项和,已知S2=2,S3=-6.

(1)求{an}的通项公式;

(2)求Sn,并判断Sn+1,Sn,Sn+2是否成等差数列.

15.已知数列{xn}满足xn+2+xn=2xn+1+3,且x1=1,x2=5,则x40=　　　　. 

答 案

第六章　数　列

第二讲　等差数列及其前n项和

1.A　因为Sn=n2-n+a,n∈N*,所以an=,即an=,所以a2n=4n-2,n∈N*,所以无论a为何值,数列{a2n}都为等差数列.所以“a=0”是“数列{a2n}为等差数列”的充分不必要条件,故选A.

2.A　设等差数列{an}的公差为d,依题意即解得a1=1,d=2.故选A.

3.A　设等差数列{an}的公差为d,因为S4=7a1,所以4a1+d=7a1,即a1=2d,所以=2,故选A.

4.C　解法一　设等差数列{an}的公差为d,则由题意可得,解得所以a5+a9=(a1+4d)+(a1+8d)=2a1+12d=2×+12×=40,故选C.

解法二　由a1+a2+a3=3a2=36,得a2=12,由a11+a12+a13=3a12=84,得a12=28,所以a5+a9=a2+a12=12+28=40,故选C.

5.C　在等差数列{an}中,a3+a9=2a6<0,∴a6<0,又a7>0,∴数列{an}的公差d>0,首项a1<0,∴数列{an}的前n项和Sn的最小值为S6.故选C.

6.B　解法一　令bn=,由已知得数列{bn}是等差数列,设其公差为d.因为a1=1,a3=,所以b1==1,b3==3,所以d==1,所以b5=b1+4d=5,即=5,所以a5=,故选B.

解法二　因为数列{}是等差数列,所以=2×,又a1=1,a3=,所以=2×,解得a5=,故选B.

7.B　由题意可知该女子每日织布的数量成等差数列,记为{an},则a1=5.记{an}的前n项和为Sn,则S30=390.设{an}的公差为d,所以S30=30a1+×d=30×5+×d=390,解得d=,故选B.

8.A　解法一　设数列{an}的公差为d(d≠0),因为4a3=3a2,所以4(a1+2d)=3(a1+d),所以a1=-5d,故an=a1+(n-1)d=(n-6)d.令(n-6)d=0,得n=6,故选A.

解法二　设数列{an}的公差为d(d≠0),因为4a3=3a2,所以a3=-3d.又a3=a1+2d,所以a1=-5d,故an=-5d+(n-1)d.令an=0,得n=6,所以数列{an}中,a6=0.故选A.

9.C　由等差数列{an}的前n项和Sn有最大值,且<-1,可知等差数列{an}的公差d<0,a10>0,a11<0,且a11<-a10,则a10+a11<0.由a10>0,得2a10=a1+a19>0,所以S19>0,由a10+a11<0,得

a1+a20=a10+a11<0,所以S20<0,所以Sn取正值时项数n的最大值为19,故选C.

10.(1)解法一　∵{an}是等差数列,公差为d,

且a1+a7=-2,S3=15,∴解得a1=8,d=-3,

∴an=a1+(n-1)d=8+(n-1)(-3)=-3n+11,

∴数列{an}的通项公式为an=-3n+11(n∈N*).

解法二　∵{an}是等差数列,∴2a4=a1+a7=-2,∴a4=-1.

∵S3=15,∴3a2=15,∴a2=5.

∵a4=a2+2d,即-1=5+2d,∴d=-3,

∴an=5+(n-2)(-3)=-3n+11.

∴数列{an}的通项公式为an=-3n+11(n∈N*).

(2)令an≥0,则-3n+11≥0,∴3n≤11,∴n≤,又n∈N*,

∴当n≤3时,an>0;当n≥4时,an<0.

∵a1=8,an=-3n+11,∴当n≤3时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+…+an=,

当n≥4时,Tn=|a1|+|a2|+…+|an|=a1+a2+a3+(-a4-…-an)=2(a1+a2+a3)-(a1+a2+…+an)=2S3-Sn=2×15,

∴Tn=

11.C　因为数列{an}是公差非零的等差数列,且|a3|=|a8|,所以a1>0,d<0或a1<0,d>0,且a3=

-a8,S10==5(a3+a8)=5(a5+a6)=0.所以a5,a6异号且均不为0.对于A,S11=S10+a11=11a6≠0,故A不正确;对于B,当n=1时,S1=a1≠0,S10=0,此时Sn≠S11-n,故B不正确;对于C,当S11>0时,11a6>0,a6>0,则a5<0,于是a1<0,d>0,数列{an}是递增数列,所以(Sn)min=S5,所以Sn≥S5,故C正确;对于D,当S11<0时,11a6<0,a6<0,则a5>0,于是a1>0,d<0,数列{an}是递减数列,所以(Sn)max=S5,所以Sn≤S5,故D不正确.综上,选C.

12.B　因为P,B,C三点共线,所以+λ=1,所以+λ=1,,所以+λ=+λ=1,λ=,故选B.

13.　因为=5,=2,所以等差数列{}的公差d==,所以=5(n-1)=n+⇒Sn=n2+n.当n=1时,a1=5;当n≥2时,an=n+.所以an=n+,n∈N*.令an=n+>0,得n<,所以|a1|+|a2|+|a3|+…+|a10|=a1+a2+a3+a4-a5-a6-a7-a8-a9-a10=2(a1+a2+a3+a4)-a1-a2-a3-a4-a5-a6-a7-a8-a9-a10=2S4-S10=2(×16+×4)-(×100+×10)=.

14.(1)设{an}的公比为q,则an=a1·qn-1,

由已知得解得a1=-2,q=-2,

所以{an}的通项公式为an=(-2)n.

(2)由(1)得Sn==·(-2)n,

所以Sn+1=·(-2)n+1=·(-2)n,Sn+2=·(-2)n+2=·(-2)n,

则Sn+1+Sn+2=·(-2)n=2Sn,

所以Sn+1,Sn,Sn+2成等差数列.

15.2 380　由xn+2+xn=2xn+1+3,得(xn+2-xn+1)-(xn+1-xn)=3,又x2-x1=4,所以数列{xn+1-xn}是首项为4、公差为3的等差数列,得xn+1-xn=4+(n-1)×3=3n+1,则当n≥2时,xn=(xn-xn-1)+(xn-1-xn-2)+(xn-2-xn-3)+…+(x2-x1)+x1= ,得x40==2 380.