人教版高考数学一轮复习第6章数列第2节等差数列及其前n项和学案理含解析

第二节　等差数列及其前n项和

‖知识梳理‖

1．等差数列的有关概念

(1)定义

如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数)．

(2)等差中项

数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝．

3．等差数列的性质

已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*)．

(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．

(3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．

(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．

►常用结论

1．等差数列的函数性质

(1)通项公式：当公差d≠0时，等差数列的通项公式an＝a1＋(n－1)d＝dn＋a1－d是关于n的一次函数，且一次项系数为公差d.若公差d>0，则为递增数列；若公差d<0，则为递减数列．

(2)前n项和：当公差d≠0时，Sn＝na1＋d＝n2＋n是关于n的二次函数且常数项为0.

(3)单调性：当d>0时，数列{an}为递增数列；当d<0时，数列{an}为递减数列；当d＝0时，数列{an}为常数列．

2．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质

(1)若项数为2n，则S偶－S奇＝nd，＝；

(2)若项数为2n－1，则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，S奇－S偶＝an，＝.

3．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.

‖基础自测‖

一、疑误辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)．

(1)若一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　)

(2)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　　)

(3)数列{an}为等差数列的充要条件是其通项公式为n的一次函数．(　　)

(4)数列{an}为等差数列的充要条件是对任意n∈N*，都有2an＋1＝an＋an＋2.(　　)

(5)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　)

(6)等差数列的前n项和公式是常数项为0的二次函数．(　　)

答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√　(5)√　(6)×

二、走进教材

2．(必修5P46A2改编)设数列{an}是等差数列，其前n项和为Sn，若a6＝2且S5＝30，则S6等于(　　)

A．31 B．32

C．33 D．34

答案：B

3．(必修5P68A8改编)在等差数列{an}中，若a3＋a4＋a5＋a6＋a7＝450，则a2＋a8＝________．

答案：180

三、易错自纠

4．首项为24的等差数列，从第10项开始为负数，则公差d的取值范围是(　　)

A．(－3，＋∞) B．

C． D．

答案：D

5．在等差数列{an}中，已知a5>0，a4＋a7<0，则{an}的前项和Sn的最大值为________．

解析：∵∴

∴Sn的最大值为S5.

答案：S5

6．等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝2，S3＝12，则a6等于________．

解析：设等差数列{an}的公差为d，则S3＝3a1＋3d，所以12＝3×2＋3d，解得d＝2，所以a6＝a1＋5d＝2＋5×2＝12.

答案：12

|题组突破|

1．(2019年全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则(　　)

A．an＝2n－5 B．an＝3n－10

C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝n2－2n

解析：选A　设等差数列{an}的公差为d，∵∴解得∴an＝a1＋(n－1)d＝－3＋2(n－1)＝2n－5，Sn＝na1＋d＝n2－4n.故选A．

2．(2019年全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若a1≠0，a2＝3a1，则＝________．

解析：设等差数列{an}的公差为d，由a2＝3a1，即a1＋d＝3a1，得d＝2a1，所以＝＝＝＝4.

答案：4

3．(2019年全国卷Ⅰ)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S9＝－a5.

(1)若a3＝4，求{an}的通项公式；

(2)若a1>0，求使得Sn≥an的n的取值范围．

解：(1)设等差数列{an}的公差为d.

由S9＝－a5，得a1＋4d＝0.①

由a3＝4，得a1＋2d＝4.②

联立①②得，a1＝8，d＝－2.

因此{an}的通项公式为an＝10－2n.

(2)由(1)得a1＝－4d，故an＝(n－5)d，Sn＝.

由a1>0知d<0，故Sn≥an等价于n2－11n＋10≤0，解得1≤n≤10.

所以n的取值范围是{n|1≤n≤10，n∈N}．

►名师点津

等差数列基本运算的常见类型及解题策略

(1)求公差d或项数n.在求解时，一般要运用方程思想．

(2)求通项．a1和d是等差数列的两个基本元素．

(3)求特定项．利用等差数列的通项公式或等差数列的性质求解．

(4)求前n项和．利用等差数列的前n项和公式直接求解或利用等差中项间接求解．

|题组突破|

4．(2020届大同调研)在等差数列{an}中，若a4＋a5＋a6＝27，则a1＋a9等于(　　)

A．9 B．27

C．18 D．54

解析：选C　由于数列{an}是等差数列，所以a4＋a6＝2a5，则a4＋a5＋a6＝3a5＝27，即a5＝9，所以a1＋a9＝2a5＝18，故选C．

5．已知等差数列{an}的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为(　　)

A．100 B．120

C．390 D．540

解析：选A　设Sn为等差数列{an}的前n项和，

则S10，S20－S10，S30－S20成等差数列，

∴2(S20－S10)＝S10＋(S30－S20)．

又等差数列{an}的前10项和为30，前30项和为210，

∴2(S20－30)＝30＋(210－S20)，解得S20＝100.

6．已知Sn是等差数列{an}的前n项和，若a1＝－2 014，－＝6，则S2 019＝________．

解析：由等差数列的性质可得也为等差数列．

设其公差为d，则－＝6d＝6，∴d＝1.

故＝＋2 018d＝－2 014＋2 018＝4，

∴S2 019＝4×2 019＝8 076.

答案：8 076

►名师点津

一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m＋n＝p＋q，则am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)；数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差数列；也成等差数列．等差数列的性质是解题的重要工具．

——变式探究

【例1】　若数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝.

(1)求证：成等差数列；

(2)求数列{an}的通项公式．

[解]　(1)证明：当n≥2时，由an＋2SnSn－1＝0，

得Sn－Sn－1＝－2SnSn－1.

若Sn＝0，则a1＝S1＝0与a1＝矛盾，所以Sn≠0，所以－＝2.

又＝＝2，

故是首项为2，公差为2的等差数列．

(2)由(1)可得＝2n，所以Sn＝.

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝＝－.

当n＝1时，a1＝不适合上式．

故an＝

|变式探究|

1．本例条件不变，判断数列{an}是否为等差数列，并说明理由．

解：因为an＝Sn－Sn－1(n≥2)，an＋2SnSn－1＝0，

所以Sn－Sn－1＋2SnSn－1＝0(n≥2)．

所以－＝2(n≥2)．

又＝＝2，

所以是以2为首项，2为公差的等差数列．

所以＝2＋(n－1)×2＝2n，故Sn＝.

所以当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－＝，所以an＋1＝.

又an＋1－an＝－＝·＝，

所以当n≥2时，an＋1－an的值不是一个与n无关的常数，故数列{an}不是一个等差数列．

2．将本例条件“an＋2SnSn－1＝0(n≥2)，a1＝”变为“Sn(Sn－an)＋2an＝0(n≥2)，a1＝2”，问题不变，试求解．

解：(1)证明：因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1且Sn(Sn－an)＋2an＝0，所以Sn[Sn－(Sn－Sn－1)]＋2(Sn－Sn－1)＝0，

即SnSn－1＋2(Sn－Sn－1)＝0，

若Sn＝0，则a1＝S1＝0与a1＝2矛盾，所以Sn≠0，所以－＝.

又＝＝，故数列是首项为，公差为的等差数列．

(2)由(1)知＝，所以Sn＝，

当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝－.

当n＝1时，a1＝2不适合上式，故an＝

►名师点津

等差数列的判定与证明方法

【例2】　(2019年北京卷)设{an}是等差数列，a1＝－10，且a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列．

(1)求{an}的通项公式；

(2)记{an}的前n项和为Sn，求Sn的最小值．

[解]　(1)设等差数列{an}的公差为d.

因为a1＝－10，

所以a2＝－10＋d，a3＝－10＋2d，a4＝－10＋3d.

因为a2＋10，a3＋8，a4＋6成等比数列，

所以(a3＋8)2＝(a2＋10)(a4＋6)．

所以(－2＋2d)2＝d(－4＋3d)，解得d＝2.

所以an＝a1＋(n－1)d＝2n－12.

(2)由(1)知，an＝2n－12，所以前n项和Sn＝n2－11n.

因为当n≥7时，an>0；当n≤6时，an≤0，且a6＝0，S5＝52－11×5＝－30，

所以当n＝5或6时，Sn有最小值－30.

►名师点津

求等差数列前n项和Sn最值的2种方法

(1)函数法：利用等差数列前n项和的函数表达式Sn＝an2＋bn，通过配方或借助图象求二次函数最值的方法求解．

(2)邻项变号法

①当a1>0，d<0时，满足的项数m使得Sn取得最大值为Sm；

②当a1<0，d>0时，满足的项数m使得Sn取得最小值为Sm.

|跟踪训练|

(2019年北京卷)设等差数列{an}的前n项和为Sn.若a2＝－3，S5＝－10，则a5＝________，Sn的最小值为________．

解析：设等差数列{an}的公差为d，∵即∴∴a5＝a1＋4d＝0.

∵Sn＝na1＋d＝(n2－9n)，∴当n＝4或n＝5时，Sn取得最小值，最小值为－10.

答案：0　－10

【例】　(2019届合肥市高三二检)中国古诗词中，有一道“八子分绵”的数学名题：九百九十六斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十七，要将第八数来言，务要分明依次第，孝和休惹外人传．题意是：把996斤绵分给8个儿子做盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多分17斤绵，那么第8个儿子分到的绵是(　　)

A．174斤 B．184斤

C．191斤 D．201斤

[解析]　设大儿子分到的绵是x斤，依题意知这8个儿子分到的绵构成以x为首项，17为公差的等差数列，记其前n项和为Sn，则有S8＝8x＋×17＝996，即8x＋476＝996，解得x＝65，故第8个儿子分到的绵为a8＝65＋7×17＝65＋119＝184(斤)，故选B．

[答案]　B

►名师点津

以学习过的数学知识为基础，把现实生活中的实际问题通过“建模”转化为数学问题——数列问题，进而通过数学运算来解释实际问题，并检验是否符合实际．

|跟踪训练|

《九章算术》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五人分五钱，令上二人所得与下三人等．问各得几何？”其意思为：“已知甲、乙、丙、丁、戊五人分5钱，甲、乙两人所得与丙、丁、戊三人所得相同，且甲、乙、丙、丁、戊所得依次成等差数列．问五人各得多少钱？”(“钱”是古代的一种重量单位)这个问题中，甲所得为(　　)

A． 钱 B． 钱

C． 钱 D． 钱

解析：选D　设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，

依题意有解得故选D．