2023年九年级数学中考重点题型二次函数综合题讲义

这是一份2023年九年级数学中考重点题型二次函数综合题讲义，共20页。试卷主要包含了知识清单，常考题型，每章一练等内容，欢迎下载使用。
解此类题前首先必须熟悉二次函数的相关概念
Y=aX²+bx+c(a≠0)
（1）a,b,c正负值的判断
a的正负根据开口的方向判断
开口向上a为正数；
开口向上时点的横坐标x离对称轴越近对应的纵坐标y值越小；
开口向下a为负数；
开口向下点的横坐标x离对称轴越近对应的纵坐标y值越越大。
| a|越大，二次函数开口越小
| a|越小，二次函数开口越大
a的值决定了二次函数的形状，b,c的值决定了二次函数的位置
因此在做二次函数平移求二次函数表达式类问题时可直接设二次函数为Y=aX²+mx+n(a为已知数，m,n为未知数)，
b的正负根据对称轴来判断
二次函数的对称轴为X=-b/2a
c的正负根据二次函数与Y轴的交点判断
交点在Y轴的正半轴c为正数
交点在Y轴的负半轴c为负数
（2）判断b²-4ac的正负：
两个交点：b²-4ac＞0
与X轴交点个数 一个交点：b²-4ac=0
无交点：b²-4ac＜0
（3）判断a+b+c, a-b+c, 4a+2b+c, 4a-2b+c 等正负
令X分别等于1，-1,2，-2，根据二次函数图像判断X分别等于这些值时，对应的Y的正负即可。
（4）判断2a+b,2a-b的正负
判断对称轴：X=-b/2a与±1的大小关系，不等式两边通分即可。
陕西省中考试题中涉及二次函数的计算题有如下几种考法：
求二次函数的表达式
第一问一般比较简答，最常用的做法就是带入法:已知二次函数过某几个点则设该二次函数的表达式为Y=aX²+bx+c，将各点带入分别求出a,b,c的值。
二次函数与三角形，特殊的平行四边形相结合
此种题一定要熟悉特殊平行四边形的性质及三角形的性质
二次函数的平移：将二次函数转换成顶点式，求出平移前和平移后的顶点坐标，点的平移即为二次函数的平移。
4、二次函数必备知识点：
（1）y1=k1x+b1 y2=k2x+b2
两直线平行：k1=k2 两直线垂直：k1×k2=-1
（2）已知A（x1，y1），B（x2，y2），则线段AB两点的中点坐标为
（，）
二、常考题型
二次函数内最大值问题（面积最大值及线段长度最大值）：
例1、已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，二次函数上的动点。
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△MCB的面积S△MCB的最大值
过M做X轴的垂线，交线段CB于点E，
求线段ME的最大值
解： (1)依题意：
(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x1=5，x2=-1
∴B(5，0)
则直线BC的方程为：y=-X+5
设直线y=KX+b,当该直线与线段CB平行且与二次函数相切于点M时构成△MCB的面积最大，
当直线与BC平行时K相等，即直线方程为y=-X+b，将一次函数与二次函数联立得-x+b=-x2+4x+5移项得x2-3x-5+b=0因为直线与二次函数只有一个交点，则该一元二次方程只有一个根，即△=9-4×（b-5）=0，可求出b的值，即可求出该直线方程。将b值带入联立的方程即可求出所求点M的横坐标，将横坐标带入直线方程或者二次函数中即可求出M的纵坐标。求出M的坐标后，先求出梯形OEMB的面积，减去三角形ECM,OBC面积即为所求最大面积。
由，得M(2，9)
作ME⊥y轴于点E，
则
可得S△MCB=15.
（3）请同学自己求解（将线段长度最大值转换成二次函数求最值）
2、二次函数中线段和最小值问题
例2、如图，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）．
(1）求抛物线的解析式；
(2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；
(3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．
图2
x
y
C
B
_
D
_
A
O
解：（1）、因为点A、B均在抛物线上，故点A、B的坐标适合抛物线方程
∴ 解之得：；故为所求
(2）如图2，连接BD，交y轴于点M，则点M就是所求作的点
设BD的解析式为，则有，，
故BD的解析式为；令则，故
(3)、如图3，连接AM，BC交y轴于点N，由（2）知，OM=OA=OD=2，
图3
易知BN=MN=1，易求
；设，
依题意有：，即：
解之得：，，故 符合条件的P点有三个：
3、二次函数内构成等腰三角形
已知两个定点，求坐标轴上或者二次函数上是否有一个点可以与这两个定点构成等腰三角形：
（a）以已知两个定点构成的线段为等腰三角形的底：做该线段的中垂线，中垂线与坐标轴或二次函数的交点即为所求点（中垂线上的点到线段两个端点的距离相等）
（b）以已知两个定点构成的线段为等腰三角形的腰：分别以该线段的两个端点为圆心，该线段长度为半径做圆，与二次函数或者坐标轴的交点即为所求的点。
例3、如图, 已知抛物线与y轴相交于C，与x轴相交于A、B，点A的坐标为（2，0），点C的坐标为（0，-1）.
(1）求抛物线的解析式；
(2）点E是线段AC上一动点，过点E作DE⊥x轴于点D，连结DC，当△DCE的面积最大时，求点D的坐标；
(3）在直线BC上是否存在一点P，使△ACP为等腰三角形，若存在，求点P的坐标，若不存在，说明理由.
解：（1）∵二次函数的图像经过点A（2，0）C(0,－1)
∴
解得： b=－ c=－1
∴二次函数的解析式为
(2）设点D的坐标为（m，0） (0＜m＜2）
∴ OD=m ∴AD=2-m
由△ADE∽△AOC得，
∴
∴DE=
∴△CDE的面积=××m
==
当m=1时，△CDE的面积最大
∴点D的坐标为（1，0）
(3）存在 由(1)知：二次函数的解析式为
设y=0则 解得：x1=2 x2=－1
∴点B的坐标为（－1，0） C（0，－1）
设直线BC的解析式为：y=kx＋b
∴ 解得：k=-1 b=-1
∴直线BC的解析式为: y=－x－1
在Rt△AOC中，∠AOC=900 OA=2 OC=1
由勾股定理得：AC=
∵点B(－1,0) 点C（0，－1）
∴OB=OC ∠BCO=450
①当以点C为顶点且PC=AC=时，
设P(k, －k－1)
过点P作PH⊥y轴于H
∴∠HCP=∠BCO=450
CH=PH=∣k∣ 在Rt△PCH中
k2+k2= 解得k1=， k2=－
∴P1（，－） P2（－，）
②以A为顶点，即AC=AP=
设P(k, －k－1)
过点P作PG⊥x轴于G
AG=∣2－k∣ GP=∣－k－1∣
在Rt△APG中 AG2＋PG2=AP2
(2－k)2+(－k－1)2=5
解得：k1=1,k2=0(舍)
∴P3(1, －2)
③以P为顶点，PC=AP设P(k, －k－1)
过点P作PQ⊥y轴于点Q
PL⊥x轴于点L
∴L(k,0)
∴△QPC为等腰直角三角形
PQ=CQ=k
由勾股定理知
CP=PA=k
∴AL=∣k-2∣, PL=｜－k－1｜
在Rt△PLA中
(k)2=(k－2)2＋(k＋1)2
解得：k=∴P4(,－)
综上所述： 存在四个点：P1（，－）
P2（-，） P3(1, －2) P4(,－)
4、二次函数内的特殊四边形
在二次函数中已知两个定点，在二次函数和对称轴上是否各存在一个点使得与固定的两个定点构成平行四边形：（1）以已知两个定点构成的线段为平行四边形的边；（2）以已知两个定点构成的线段为平行四边形的对角线。
例4、如图11，在直角梯形中，∥，，点为坐标原点，点在轴的正半轴上，对角线，相交于点，，．
M
C
B
O
A
(1）线段的长为 ，点的坐标为 ；
(2）求△的面积；
(3）求过，，三点的抛物线的解析式；
(4）若点在（3）的抛物线的对称轴上，点为该
抛物线上的点，且以，，，四点为顶点的四边形
为平行四边形，求点的坐标．
解：（1）4 ；.
(2）在直角梯形OABC中，OA=AB=4，
∵ ∥ ∴ △OAM∽△BCM
又 ∵ OA=2BC
∴ AM＝2CM ，CM＝AC
所以
(注：另有其它解法同样可得结果，正确得本小题满分.）
(3）设抛物线的解析式为
由抛物线的图象经过点,,.所以

解这个方程组，得，，
所以抛物线的解析式为
(4）∵ 抛物线的对称轴是CD，
① 当点E在轴的下方时，CE和OA互相平分则可知四边形OEAC为平行四边形，此时点F和点C重合，点F的坐标即为点；
② 当点E在轴的下方，点F在对称轴的右侧，存在平行四边形，∥，且，此时点F的横坐标为6，将代入，可得.所以.
同理，点F在对称轴的左侧，存在平行四边形，∥，且，此时点F的横坐标为，将代入，可得.所以.
综上所述，点F的坐标为，.
5、二次函数内的相似三角形（关键在于找到两个三角形中相等的角）
例 5、如图所示，已知抛物线与轴交于A、B两点，与轴交于点C．
（1）求A、B、C三点的坐标．
（2）过点A作AP∥CB交抛物线于点P，求四边形ACBP的面积．
C
B
A
P
y
（3）在轴上方的抛物线上是否存在一点M，过M作MG轴于点G，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似．若存在，请求出M点的坐标；否则，请说明理由．
解：（1）令，得 解得
令，得
∴ A B C
（2）∵OA=OB=OC= ∴BAC=ACO=BCO=
∵AP∥CB， ∴PAB=
过点P作PE轴于E，则APE为等腰直角三角形
令OE=，则PE= ∴P
∵点P在抛物线上 ∴
解得，（不合题意，舍去）
∴PE=
∴四边形ACBP的面积=AB•OC+AB•PE=
(3)． 假设存在
∵PAB=BAC = ∴PAAC
∵MG轴于点G， ∴MGA=PAC =
在Rt△AOC中，OA=OC= ∴AC=
在Rt△PAE中，AE=PE= ∴AP=
设M点的横坐标为，则M
G
M
图2
C
B
y
P
A
①点M在轴左侧时，则
(ⅰ) 当AMG PCA时，有=
∵AG=，MG=即
解得（舍去） （舍去）
(ⅱ) 当MAG PCA时有=
即 解得：（舍去）
G
M
图3
C
B
y
P
A
∴M
② 点M在轴右侧时，则
(ⅰ) 当AMG PCA时有=
∵AG=，MG=
∴ 解得（舍去）
∴M
(ⅱ) 当MAGPCA时有=
即
解得：（舍去）
∴M
∴存在点M，使以A、M、G三点为顶点的三角形与PCA相似
M点的坐标为，，
例6、如图，抛物线经过三点．
（1）求出抛物线的解析式；
（2）P是抛物线上一动点，过P作轴，垂足为M，是否存在P点，使得以A，P，M为顶点的三角形与相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）在直线AC上方的抛物线上有一点D，使得的面积最大，求出点D的坐标．
【分析】（1）已知抛物线经过C（0，﹣2），则可设该抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣2，再把A（4，0），B（1，0）代入即可；
（2）△OAC是直角三角形，以A，P，M为顶点的三角形与其相似，由于点P可能在x轴的上方，或者下方，分三种情况，分别用相似比解答；
（3）过D作y轴的平行线交AC于E，将△DCA分割成两个三角形△CDE，△ADE，它们的底相同，为DE，高的和为4，就可以表示它们的面积和，即△DCA的面积，运用代数式的变形求最大值．
解：（1）∵该抛物线过点C（0，﹣2），
设该抛物线的解析式为y=ax2+bx﹣2．
将A（4，0），B（1，0）代入，
得，
解得，
∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x﹣2．
（2）存在．
如图，设P点的横坐标为m，
则点P的纵坐标为，
当1＜m＜4时，
AM=4﹣m，PM=，
又∵∠COA=∠PMA=90°，
∴①当==2时，△APM∽△ACO，
∴=2，即|4﹣m|=2（），
∴4﹣m=m2+5m﹣4，
∴m2﹣6m+8=0，
∴（m﹣2）（m﹣4）=0，
解得：m1=2，m2=4（舍去）
∴P（2，1）
②当，△APM∽△CAO，
那么有：2|4﹣m|=，
∴2（4﹣m）=﹣m2+m﹣2，
∴m2﹣9m+20=0，
∴（m﹣4）（m﹣5）=0，
解得：m1=4（舍去），m2=5（舍去），
∴当1＜m＜4时，P（2，1），
类似地可求出当m＞4时，P（5，﹣2），
当m＜1时，P（﹣3，﹣14），
当P，C重合时，△APM≌△ACO，P（0，﹣2）．
综上所述，符合条件的点P为（2，1）或（5，﹣2）或（﹣3，﹣14）或（0，﹣2）；
（3）如图，设D点的横坐标为t（0＜t＜4），则D点的纵坐标为﹣t2+t﹣2．
过D作y轴的平行线交AC于E．
由题意可求得直线AC的解析式为y=x﹣2．
∴E点的坐标为（t，t﹣2）．
∴DE=﹣t2+t﹣2﹣（t﹣2）=﹣t2+2t．
∴S△DAC=×（﹣t2+2t）×4=﹣t2+4t=﹣（t﹣2）2+4．
∴当t=2时，△DAC面积最大．
∴D（2，1）．
例7、如图，已知抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C．
（1）求抛物线的函数解析式．
（2）设点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，若四边形AODE是平行四边形，求点D的坐标．
（3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足是M，是否存在点p，使得以P、M、A为顶点的三角形与△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
优网【分析】（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），把点A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入求出a，b，c的值即可；
（2）首先由A的坐标可求出OA的长，再根据四边形AODE是平行四边形，D在对称轴直线x=﹣1右侧，进而可求出D横坐标为：﹣1+2=1，代入抛物线解析式即可求出其横坐标；
（3）分△PMA∽△COB和△PMA∽△BOC表示出PM和AM，从而表示出点P的坐标，代入求得的抛物线的解析式即可求得t的值，从而确定点P的坐标．
解：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c（a≠0），
将点A（﹣2，0），B（﹣3，3），O（0，0），代入可得：
，
解得：，
所以函数解析式为：y=x2+2x；
（2）∵AO为平行四边形的一边，
∴DE∥AO，DE=AO，
∵A（﹣2，0），
∴DE=AO=2，
∵四边形AODE是平行四边形，
∴D在对称轴直线x=﹣1右侧，
∴D横坐标为：﹣1+2=1，代入抛物线解析式得y=3，
∴D的坐标为（1，3）；
当D点在对称轴直线x=﹣1的左侧时，
根据二次函数图象的对称性可知点D的坐标为（﹣3，3），
综上点D的坐标为（1，3）或（﹣3，3）；
（3）假设存在点P，使以P，M，A为顶点的三角形与△BOC相似，设P（x，y），由题意知x＞0，y＞0，且y=x2+2x，
由题意，△BOC为直角三角形，∠COB=90°，且OC：OB=1：3，
①若△PMA∽△COB，则=，
即x+2=3（x2+2x），得
x1=，x2=﹣2（舍去）
②若△PMA∽△BOC，=，
即：x2+2x=3（x+2），
得：x1=3，x2=﹣2（舍去）当x=3时，y=15，即P（3，15）．
故符合条件的点P有两个，分别（，）或（3，15）．
5、二次函数中的面积计算
例8、如图，抛物线y=x2+bx﹣c经过直线y=x﹣3与坐标轴的两个交点A，B，此抛物线与x轴的另一个交点为C，抛物线的顶点为D．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）点P为抛物线上的一个动点，求使S△APC：S△ACD=5：4的点P的坐标．
三、每章一练
1、在平面直角坐标系中，一个二次函数的图象经过点A（1，0）、B（3，0）两点．
（1）写出这个二次函数图象的对称轴；
（2）设这个二次函数图象的顶点为D，与y轴交于点C，它的对称轴与x轴交于点E，连接AC、DE和DB，当△AOC与△DEB相似时，求这个二次函数的表达式．
[提示：如果一个二次函数的图象与x轴的交点为A（x1，0）、B（x2，0），那么它的表达式可表示为y=a（x﹣x1）（x﹣x2）]．
2、已知抛物线C:经过A(-3，0)和B(0，3)两点，将抛物线的顶点记为M,它的对称轴与x轴的交点记为N.
(1)求抛物线C的表达式；
（2）求点M的坐标；
（3）将抛物线C平移到抛物线C’，抛物线C’的顶点记为M’、它的对称轴与x轴的交点记为N’。如果点M、N、M’、N’为顶点的四边形是面积为16的平行四边形，那么应将抛物线C怎样平移？为什么？
3、在平面直角坐标系中，抛物线y=x2+5x+4的顶点为M，与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点．
（1）求点A，B，C的坐标；
（2）求抛物线y=x2+5x+4关于坐标原点O对称的抛物线的函数表达式；
（3）设（2）中所求抛物线的顶点为M′，与x轴交于A′，B′两点，与y轴交于C′点，在以A，B，C，M，A′，B′，C′，M′这八个点中的四个点为顶点的平行四边形中，求其中一个不是菱形的平行四边形的面积．
4、已知：抛物线y＝ax2＋bx＋1经过A(1，0)、B(－1，3)两点．
(1)求a，b的值；
(2)以线段AB为边作正方形ABB′A′，能否将已知抛物线平移，使其经过A′、B′两点？若能，求出平移后经过A′、B′两点的抛物线的解析式；若不能，请说明理由．


5、如图，已知抛物线y＝ax2－5ax＋2(a≠0)与y轴交于点C，与x轴交于点A(1，0)和点B.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求直线BC的解析式；
(3)若点N是抛物线上的动点，过点N作NH⊥x轴，垂足为H，以B，N，H为顶点的三角形是否能够与△OBC相似？若能，请求出所有符合条件的点N的坐标；若不能，请说明理由．

6、如图，经过点C(0，－4)的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴相交于A(－2，0)，B两点．
(1)a________0，b2－4ac________0(填“>”或“