2023年中考数学第一轮重难点题型练习 题型六 二次函数性质综合题(无答案)
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题型六 二次函数性质综合题
类型一 纯性质综合题
1. (2022北京)在平面直角坐标系xOy中,点(1,m)和点(3,n)在抛物线y=ax2+bx(a>0)上.
(1)若m=3,n=15,求该抛物线的对称轴;
(2)已知点(-1,y1),(2,y2),(4,y3)在该抛物线上.若mn<0,比较y1,y2,y3的大小,并说明理由.
2. (2022杭州)在直角坐标系中,设函数y=ax2+bx+1(a,b是常数,a≠0).
(1)若该函数的图象经过(1,0)和(2,1)两点,求函数的表达式,并写出函数图象的顶点坐标;
(2)写出一组a,b的值,使函数y=ax2+bx+1的图象与x轴有两个不同的交点,并说明理由;
(3)已知a=b=1,当x=p,q(p,q是实数,p≠q)时,该函数对应的函数值分别为P,Q.若p+q=2,求证:P+Q>6.
3. (2022新疆)已知抛物线y=ax2-2ax+3(a≠0).
(1)求抛物线的对称轴;
(2)把抛物线沿y轴向下平移3|a|个单位,若抛物线的顶点落在x轴上,求a的值;
(3)设点P(a,y1),Q(2,y2)在抛物线上,若y1>y2,求a的取值范围.
4. (2022嘉兴)已知二次函数y=-x2+6x-5.
(1)求二次函数图象的顶点坐标;
(2)当1≤x≤4时,函数的最大值和最小值分别为多少?
(3)当t≤x≤t+3时,函数的最大值为m,最小值为n,若m-n=3,求t的值.
5. (2022云南)已知抛物线y=-2x2+bx+c经过点(0,-2),当x<-4时,y随x的增大而增大,当x>-4时,y随x的增大而减小.设r是抛物线y=-2x2+bx+c与x轴的交点(交点也称公共点)的横坐标,m=.
(1)求b、c的值;
(2)求证:r4-2r2+1=60r2;
(3)以下结论:m<1,m=1,m>1,你认为哪个正确?请证明你认为正确的那个结论.
6. (2022福建)已知抛物线y=ax2+ bx+c与x轴只有一个公共点.
(1)若抛物线过点P(0,1),求a+b的最小值;
(2)已知点P1(-2,1),P2(2,-1),P3(2,1)中恰有两点在抛物线上.
①求抛物线的解析式;
②设直线l:y=kx+1与抛物线交于M,N两点,点A在直线y=-1上,且∠MAN=90°,过点A且与x轴垂直的直线分别交抛物线和l于点B,C.
求证:△MAB与△MBC的面积相等.
类型二 交点问题
7. (2022乐山)已知二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向上,且经过点A(0,),B(2,-).
(1)求b的值(用含a的代数式表示);
(2)若二次函数y=ax2+bx+c在1≤x≤3时,y的最大值为1,求a的值;
(3)将线段AB向右平移2个单位得到线段A′B′,若线段A′B′与抛物线y=ax2+bx+c+4a-1仅有一个交点,求a的取值范围.
8. (2022宜昌)在平面直角坐标系中,抛物线y1=-(x+4)(x-n)与x轴交于点A和点B(n,0)(n≥-4),顶点坐标记为(h1,k1).抛物线y2=-(x+2n)2-n2+2n+9的顶点坐标记为(h2,k2).
(1)写出A点坐标;
(2)求k1,k2的值(用含n的代数式表示);
(3)当-4≤n≤4时,探究k1与k2的大小关系;
(4)经过点M(2n+9,-5n2)和点N(2n,9-5n2)的直线与抛物线y1=-(x+4)(x-n),y2=-(x+2n)2-n2+2n+9的公共点恰好为3个不同点时,求n的值.
第8题图
9. (2022长春)在平面直角坐标系中,抛物线y=2(x-m)2+2m (m为常数)的顶点为A.
(1)当m=时,点A的坐标是________, 抛物线与y轴交点的坐标是________;
(2)若点A在第一象限,且OA=,求此抛物线所对应的二次函数的表达式,并写出函数值y随x的增大而减小时x的取值范围;
(3)当x≤2m时,若函数y=2(x-m)2+2m的最小值为3,求m的值;
(4)分别过点P(4, 2)、Q (4,2-2m)作y轴的垂线,交抛物线的对称轴于点M、N.当抛物线y=2(x-m)2+2m与四边形PQNM的边有两个交点时,将这两个交点分别记为点B、点C,且点B的纵坐标大于点C的纵坐标.若点B到y轴的距离与点C到x轴的距离相等,直接写出m的值.
第9题图
10. (2022江西)二次函数y=x2-2mx的图象交x轴于原点O及点A.
感知特例
(1)当m=1时,如图①,抛物线L:y=x2-2x上的点B,O,C,A,D分别关于点A中心对称的点为B′,O′,C′,A′,D′,如下表:
… | B(-1,3) | O(0,0) | C(1,-1) | A(__,__) | D(3,3) | … |
… | B′(5,-3) | O′(4,0) | C′(3,1) | A′(2,0) | D′(1,-3) | … |
①补全表格;
②在图①中描出表中对称后的点,再用平滑的曲线依次连接各点,得到的图象记为L′.
形成概念
我们发现形如(1)中的图象L′上的点和抛物线L上的点关于点A中心对称,则称L′是L的“孔像抛物线”.例如,当m=-2时,图②中的抛物线L′是抛物线L的“孔像抛物线”.
第10题图①
探究问题
(2)①当m=-1时,若抛物线L与它的“孔像抛物线”L′的函数值都随着x的增大而减小,则x的取值范围为__________________________________________;
②在同一平面直角坐标系中,当m取不同值时,通过画图发现存在一条抛物线与二次函数y=x2-2mx的所有“孔像抛物线”L′都有唯一交点, 这条抛物线的解析式可能是________(填“y=ax2+bx+c”或“y=ax2+bx”或“y=ax2+c”或“y=ax2”,其中abc≠0);
③若二次函数y=x2-2mx及它的“孔像抛物线”与直线y=m有且只有三个交点,求m的值.
第10题图②
类型三 整点问题
11. (2019丽水)如图,在平面直角坐标系中,正方形OABC的边长为4,边OA,OC分别在x轴,y轴的正半轴上,把正方形OABC的内部及边上,横、纵坐标均为整数的点称为好点.点P为抛物线y=-(x-m)2+m+2的顶点.
(1)当m=0时,求该抛物线下方(包括边界)的好点个数.
(2)当m=3时,求该抛物线上的好点坐标.
(3)若点P在正方形OABC内部,该抛物线下方(包括边界)恰好存在8个好点,求m的取值范围.
第11题图
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