高中数学高考2021年高考数学精选考点专项突破题集 专题2 3 函数与方程（教师版含解析）

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专题2.3 函数与方程
一、 单选题
1、(2019·山东师范大学附中高三月考)函数的零点所在区间为( )
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
，，
，由.
故选：C
2、(2019苏州三市、苏北四市二调)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋4)＝f(x)，且在区间[2，4)上则函数的零点的个数为
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】：C
【解析】：因为f(x＋4)＝f(x)，可得f(x)是周期为4的奇函数，先画出函数f(x)在区间[2，4)上的图像，根据奇函数和周期为4，可以画出f(x)在R上的图像，由y＝f(x)－log5| x|＝0，得f(x)＝log5| x|，分别画出y＝f(x)和y＝log5|x|的图像，如下图，由f(5)＝f(1)＝1，而log55＝1，f(－3)＝f(1)＝1，log5|－3|<1，而f(－7)＝f(1)＝1，而log5|－7|＝log57>1，可以得到两个图像有5个交点，所以零点的个数为5.

3、(2019年北京通州高三月考) 已知函数 ，若，使得 成立，则实数的取值范围为 ( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
由函数的解析式可得函数的最小值为：,则要考查的不等式转化为：，解得：，即实数的取值范围为 .
本题选择B选项.
4、(北京市人大附中2019届高三高考信息卷)已知函数，，若存在，使得，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】当x≤2时，log2f(x)≤log22，即﹣1≤f(x)≤1，则f(x)的值域为[﹣1，1]，
当x≤2时，2a≤g(x)≤4+a，即1+a≤g(x)≤4+a，则g(x)的值域为[1+a，4+a]，
若存在，使得f(x1)＝g(x2)，
则[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅，
若[1+a，4+a]∩[﹣1，1]＝∅，
则1+a＞1或4+a＜﹣1，
得a＞0或a＜﹣5，
则当[1+a，4+a]∩[﹣1，1]≠∅时，﹣5≤a≤0，
即实数a的取值范围是[﹣5，0]，
故选A．
5、(2020届浙江省嘉兴市3月模拟)已知函数的图象如图所示，则的解析式最有可能是( )

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
选项B、D的函数定义域为，和图象不匹配，错误；
选项C函数为减函数，和图象不匹配，错误；
选项A函数的定义域为R，且为增函数，正确.
故选：A
6、(2020年高考浙江)已知a，bR且ab≠0，对于任意x≥0均有(x–a)(x–b)(x–2a–b)≥0，则( )
A．a<0 B．a>0
C．b<0 D．b>0
【答案】C
【解析】因为，所以且，设，则零点。为
当时，则，，要使，必有，且，
即，且，所以；
当时，则，，要使，必有.
综上一定有.
故选：C
7、(2020·全国高三专题练习(文))函数，若方程有且只有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是 ( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令,画出与的图象,

平移直线,当直线经过时只有一个交点,此时,向右平移,不再符合条件,故
故选：A
8、(2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末)已知若函数恰有一个零点，则实数k的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】时，，，所以函数在时有一个零点，从而在时无零点，即无解．
而当时，，，它是减函数，值域为，
要使无解．则．
故选：B.
9、(2020届浙江省杭州市第二中学高三3月月考)已知函数，若函数在上只有两个零点，则实数的值不可能为( )
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】函数的零点为函数与图象的交点，在同一直角坐标下作出函数与的图象，如图所示，

当函数的图象经过点(2，0)时满足条件，此时 ，当函数的图象经过点(4，0)时满足条件，此时 ，当函数的图象与相切时也满足题意，此时 ，解得， 综上所述，或或．
10、(2020届浙江省宁波市鄞州中学高三下期初)已知函数满足：对任意的实数，，都有成立，且，则( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】令，
令，
，
，
，
，
，
.
故选:A.
12、(2020届山东省德州市高三上期末)已知为定义在上的奇函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是( )
A． B．函数在定义域上是周期为的函数
C．直线与函数的图象有个交点 D．函数的值域为
【答案】A
【解析】函数是上的奇函数，，由题意可得，
当时，，，A选项正确；
当时，，则，，，
则函数不是上周期为的函数，B选项错误；
若为奇数时，，
若为偶数，则，即当时，，
当时，，若，且当时，，
，
当时，则，，
当时，，则，
所以，函数在上的值域为，
由奇函数的性质可知，函数在上的值域为，
由此可知，函数在上的值域为，D选项错误；
如下图所示：

由图象可知，当时，函数与函数的图象只有一个交点，
当或时，，此时，函数与函数没有交点，
则函数与函数有且只有一个交点，C选项错误.
故选：A.
13、(2020届山东实验中学高三上期中)已知函数，若方程有四个不同的解，则的取值范围是( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】先作图象，由图象可得
因此为，
从而，选A.

14、(2020年高考天津)已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.
因为，
当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；
当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；
当时，如图3，当与相切时，联立方程得，
令得，解得(负值舍去)，所以.
综上，的取值范围为.
故选：D．

15、(2020届山东省济宁市高三上期末)已知函数,若有且只有两个整数使得,且,则的取值范围是( )
A． B．
B． C． D．
【答案】C
【解析】，，
当时，函数单调递增，不成立；
当时，函数在上单调递增，在上单调递增；
有且只有两个整数使得,且，故且
即；
故选：.
16、(2020届浙江省“山水联盟”高三下学期开学)已知，函数，若函数恰有3个零点，则( )
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，则条件等价为方程有3个实数根．
当时，．
对A选项分析：当，时，在，，，图象如
图所示：

此时方程最多只有1个实数根，所以A选项错误．
对B选项分析：当，时，在，，，图象如图所示：

故方程可能会出现3个实数根，所以B选项正确．
对C选项分析：当，时，在，图象如图所示：

此时方程最多只有2个实数根，所以C选项错误．
对D选项分析：当，时，在，图象如图所示：

此时方程最多只有2个实数根，所以D选项错误．
故选：.
二、 多选题
17、(2021年徐州市期末)已知函数，若函数恰有2个零点，则实数可以是　　
A． B．0 C．1 D．2
【答案】
【解析】：画出函数的图象，，时，．
若函数恰有2个零点，则实数，或．因此可以为，0，1．
故选：．

18、(2021年金陵中学开学调研)已知函数方程，则下列判断正确的是( )
A．函数的图象关于直线对称
B．函数在区间上单调递增
C．当时，方程有2个不同的实数根
D．当时，方程有3个不同的实数根
【答案】
【解析】：函数的大致图象如图所示：

显然函数的图象不关于直线对称，故选项错误，
有图象可知函数在区间上单调递增，故选项正确，
函数的大致图象如图所示：

当时，，此时函数与函数的图象有2个交点，方程有2个不同的实数根，故选项正确，
当时，，此时函数与函数的图象有4个交点，方程有4个不同的实数根，故选项错误，
故选：．
19、.(2020届山东省潍坊市高三上学期统考)函数若函数只有一个零点，则可能取的值有( )
A．2 B． C．0 D．1
【答案】ABC
【解析】∵只有一个零点，
∴函数与函数有一个交点，
作函数函数与函数的图象如下，

结合图象可知，当时；函数与函数有一个交点；
当时，，可得，令可得，所以函数在时，直线与相切，可得.
综合得：或.
故选：ABC.
20、(2020届山东省滨州市三校高三上学期联考)已知函数(e为自然对数的底)，若且有四个零点，则实数m的取值可以为( )
A．1 B．e C．2e D．3e
【答案】CD
【解析】因为，可得，即为偶函数，
由题意可得时，有两个零点，
当时，，
即时，，
由，可得，
由相切，设切点为，

的导数为，可得切线的斜率为，
可得切线的方程为，
由切线经过点，可得，
解得：或(舍去)，即有切线的斜率为，故，
故选：CD.
21、(2020届山东省泰安市高三上期末)已知函数是定义在R上的奇函数，当时，，则下列命题正确的是( )
A．当时，
B．函数有3个零点
C．的解集为
D．，都有
【答案】BCD
【解析】(1)当时，，则由题意得，
∵ 函数是奇函数，
∴ ，且时，，A错；
∴ ，
(2)当时，由得，
当时，由得，
∴ 函数有3个零点，B对；
(3)当时，由得，
当时，由得，
∴ 的解集为，C对；
(4)当时，由得，
由得，由得，
∴ 函数在上单调递减，在上单调递增，
∴函数在上有最小值，且，
又∵ 当时，时，函数在上只有一个零点，
∴当时，函数的值域为，
由奇函数的图象关于原点对称得函数在的值域为，
∴ 对，都有，D对；
故选：BCD．
22、(2020届山东省潍坊市高三上期中)已知函数，以下结论正确的是( )
A．
B． 在区间上是增函数
C．若方程恰有3个实根，则
D．若函数在上有6个零点，则的取值范围是
【答案】BCD
【解析】函数的图象如图所示：
对A，，，所以，故A错误；
对B，由图象可知 在区间上是增函数，故B正确；
对C，由图象可知，直线与函数图象恰有3个交点，故C正确；
对D，由图象可得，当函数在上有6个零点，则
，所以当时，；当时，，所以的取值范围是，故D正确.
故选：BCD.

三、填空题
23、(江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研)已知函数，若，则实数_____
【答案】
【解析】函数，若，
当即时，，解得舍去．
当即时，，解得，成立．
故答案为：．
24、(江苏省南通市2019-2020学年高三上学期期初)已知是定义在上且周期为的周期函数，当时，．若函数()在上恰有个互不相同的零点，则实数的值__．
【答案】
【解析】当时，得，
且是定义在上且周期为的周期函数，
函数(a＞1)在(0，)上恰有4个互不相同的零点，
函数与(a＞1)在(0，)上恰有4个不同的交点，
分别画出两函数图象如图所示，由图可知，当x＝时，有＝1，所以.
故答案为

25、(2020届山东师范大学附中高三月考)已知函数，若方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是________．
【答案】
【解析】函数的图象如下图所示，
作出直线l：，平移直线l至与之间时，方程有三个不同的实根，
而由得，当时，即(舍去)时，得直线，
当直线l：，过点时，得直线，此时，
所以要使方程有三个不同的实根，则实数a的取值范围是：，
故答案为：.

26、2020·山东省淄博实验中学高三上期末)设．
(1)当时，f(x)的最小值是_____；
(2)若f(0)是f(x)的最小值，则a的取值范围是_____．
【答案】 [0，]
【解析】(1)当时，当x≤0时，f(x)＝(x)2≥()2，
当x＞0时，f(x)＝x22，当且仅当x＝1时取等号，
则函数的最小值为，
(2)由(1)知，当x＞0时，函数f(x)≥2，此时的最小值为2，
若a＜0，则当x＝a时，函数f(x)的最小值为f(a)＝0，此时f(0)不是最小值，不满足条件．
若a≥0，则当x≤0时，函数f(x)＝(x﹣a)2为减函数，
则当x≤0时，函数f(x)的最小值为f(0)＝a2，
要使f(0)是f(x)的最小值，则f(0)＝a2≤2，即0≤a，
即实数a的取值范围是[0，]

27、(2020届江苏省南通市海门中学高三上学期10月检测)若函数，存在零点，则实数a的取值范围为____
【答案】
【解析】因为函数，存在零点，
等价于，在上有解，
即在上有解，
即函数与在上有交点，
令
当时，，，即在上单调递增，所以；
当时，，，
令，解得，即在上单调递增，在上单调递减，所以；
故在上的值域为，
所以
故答案为：
28、(2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模)已知函数，若存在实数，使得函数有6个零点，则实数的取值范围为__________.
【答案】
【解析】由题得函数的图象和直线有六个交点.显然有.
,()，

所以函数在单调递减，在单调递增，且.
由题得，
三点的高度应满足或,
所以或，
因为
所以或，
综合得.
故答案为：
四、 解答题
29、(2019年北京高三月考)设函数
①若，则的最小值为 ；
②若恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．
【解析】①时，，函数在上为增函数且，函数在为减函数，在为增函数，当时，取得最小值为-1；
(2)①若函数在时与轴有一个交点，则， ，则，函数与轴有一个交点，所以；
②若函数与轴有无交点，则函数与轴有两个交点，当时与轴有无交点，在与轴有无交点，不合题意；当当时与轴有无交点，与轴有两个交点，和，由于，两交点横坐标均满足；综上所述的取值范围或.
30、(2020届浙江省宁波市余姚中学高考模拟)已知实数，设函数．
(1)求函数的单调区间；
(2)当时，若对任意的，均有，求的取值范围．
注：为自然对数的底数．
【解析】 (1)由,解得．
①若,则当时,,故在内单调递增；
当时,,故在内单调递减．
②若,则当时,,故在内单调递增；
当时,,故在内单调递减．
综上所述,在内单调递减,在内单调递增．
(2),即．
令,得,则．
当时,不等式显然成立,
当时,两边取对数,即恒成立．
令函数,即在内恒成立．
由,得．
故当时,,单调递增；
当时,,单调递减.
因此．
令函数,其中,
则,得,
故当时,,单调递减；当时,,单调递增．
又,,
故当时,恒成立,因此恒成立,
即当时,对任意的,均有成立．
31、(2020届山东省潍坊市高三上期中)在经济学中，函数的边际函数定义为．某医疗设备公司生产某医疗器材，已知每月生产台的收益函数为 (单位：万元)，成本函数(单位：万元)，该公司每月最多生产台该医疗器材．(利润函数=收益函数－成本函数)
(1)求利润函数及边际利润函数；
(2)此公司每月生产多少台该医疗器材时每台的平均利润最大，最大值为多少?(精确到)
(3)求为何值时利润函数取得最大值，并解释边际利润函数的实际意义．
【解析】
(1)由题意知：且，
，

.
(2)每台医疗器材的平均利润，当且仅当时等号成立.
因为，当每月生产台机器时，每台平均约为万元，每月生产台时，每台平均约为万元，故每月生产台时，每台医疗器材的平均利润最大为万元.
(3)，
由，得，此时随增大而增大，
由得，此时随增大而减小，
或时，取得最大值.
反映了产量与利润增量的关系，从第二台开始，每多生产一台医疗器材利润增量在减少.
32、(2020届山东省临沂市高三上期末)已知函数，函数().
(1)讨论的单调性；
(2)证明：当时，.
(3)证明：当时，.
【解析】
(1)解：的定义域为，，
当，时，，则在上单调递增；
当，时，令，得，令，得，则在上单调递减，在上单调递增；
当，时，，则在上单调递减；
当，时，令，得，令，得，则在上单调递增，在上单调递减；
(2)证明：设函数，则.
因为，所以，，
则，从而在上单调递减，
所以，即.
(3)证明：当时，.
由(1)知，，所以，
即.
当时，，，
则，
即，
又，
所以，
即.
33、(2020届山东省泰安市高三上期末)已知函数．
(1)当时，设函数的最小值为，证明：；
(2)若函数有两个极值点，证明：．
【解析】(1)，令，解得，
当时，，当时，，
，，
令，则，
令，解得，
当时，，当时，，
，，
当时，；
(2)，，
令，则，
令，解得，
当时，，当时，，
，
又函数有两个极值点，则，
，且，
当时，单调递增，当时，单调递减，
当时，，
又，，
，
令，则，
令，则，
在上单调递增，，
在上单调递增，，
，，即，
．