江苏省南通市崇川区竹行中学2021-2022学年八年级下学期第一次月考数学试题（含答案）

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江苏省南通市崇川区竹行中学2021-2022学年八年级下学期第一次月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．下列关系式中，表示y不是x的函数的是（    ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】依据函数的定义即可判断．
【详解】解：A. 当x＜0时，对每个x值都有两个y值与之对应，所以y不是x的函数，符合题意；
B. 对每个x值，y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，不合题意；
C. 对每个x值，y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，不合题意；
D. 对每个x值，y都有唯一确定的值与之对应，所以y是x的函数，不合题意．
故选：A
【点睛】本题考查了函数的定义，判定依据是看是否满足定义中对于每个x的值，y都有唯一确定的值与之对应．
2．在函数中，自变量x的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】由题意，直接根据二次根式的性质即被开方数大于等于0进行分析求解即可得出答案．
【详解】解：由题意得，
解得．
故选：A．
【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，熟练掌握二次根式的被开方数为非负数是解题的关键．
3．下列y关于x的函数中，是正比例函数的为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】正比例函数的定义：一般地，形如（k是常数，）的函数叫做正比例函数，其中叫做比例系数．
【详解】解：根据正比例函数的定义，
满足形如（k是常数，）的为：，
故选：C．
【点睛】本题考查了正比例函数的性质，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键．
4．平行四边形的一个内角为，它的对角度数是（　　）
A． B． C． D．或
【答案】A
【分析】根据平行四边形的性质可得答案．
【详解】解：平行四边形的一个内角为，它的对角度数是，
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质，熟知平行四边形对角相等是解题的关键．
5．下列命题中正确的是（　　）
A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的矩形是正方形
C．对角线相等的矩形是正方形 D．对角线互相垂直的四边形是菱形
【答案】B
【分析】由矩形、菱形、正方形的判定即可得出答案．
【详解】解：A.对角线相等的四边形不一定是矩形，故A不符合题意；
B.对角线互相垂直的矩形是正方形，正确，故B符合题意；
C.对角线相等的矩形不一定是正方形，故C不符合题意；
D.对角线相垂直的四边形不一定是菱形，故D不符合题意，
故选：B．
【点睛】本题考查了矩形、菱形、正方形的判定，熟练掌握判定定理是解题的关键．
6．若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是矩形，则四边形ABCD一定是（   ）
A．矩形 B．菱形
C．对角线互相垂直的四边形 D．对角线相等的四边形
【答案】C
【分析】根据矩形的性质得到EH⊥EF，根据三角形中位线定理得到AC⊥BD，得到答案．
【详解】解：∵四边形EFGH为矩形，

∴EH⊥EF，
∵E、F分别是AB、BC的中点，
∴EF为△ABC的中位线，
∴EFAC，
∴EH⊥AC，
同理，EHBD，
∴AC⊥BD，
∴四边形ABCD的对角线互相垂直，
故选：C．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定和三角形中位线定理，解题的关键是构造三角形利用三角形的中位线定理解答．
7．如图，已知某菱形花坛的周长是，，则花坛对角线的长是(　　)

A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，易得△ABC是等边三角形，继而求得答案．
【详解】解：∵菱形花坛ABCD的周长是24m，∠BAD=120°，
∴AB=BC=6m，AD∥BC，
∴∠ABC=180°-∠BAD=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AC=AB=6m．
故选:B．
【点睛】本题考查菱形的性质以及等边三角形的判定与性质．解题关键是注意证得△ABC是等边三角形．
8．如图，点A是直线l外一点，在l上取两点B、C，分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，分别连接AB、AD、CD，则四边形ABCD一定是（    ）．

A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形
【答案】A
【分析】利用平行四边形的判定方法可以判定四边形ABCD是平行四边形，即可得出结论．
【详解】解：∵分别以A、C为圆心，BC、AB长为半径画弧，两弧交于点D，
∴AD=BC，AB=CD，
∴四边形ABCD是平行四边形（两组对边分别相等的四边形是平行四边形），
故选：A．
【点睛】本题考查了平行四边形的判定，解题的关键是熟记平行四边形的判定方法．(1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形．(2)定理1：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．(3)定理2∶两组对边分别相等的四边形是平行四边形．(4）定理3∶对角线互相平分的四边形是平行四边形．(5)定理4∶一组对边平行且相等的四边形是．
9．如图，矩形纸片ABCD中，AD=4cm，把纸片沿直线AC折叠，点B落在E处，AE交DC于点O，若AO=5cm，则AB的长为（ ）

A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm
【答案】C
【分析】根据折叠前后角相等可证AO=CO，在直角三角形ADO中，运用勾股定理求得DO，再根据线段的和差关系求解即可．
【详解】解：根据折叠前后角相等可知∠BAC=∠EAC，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，
∴∠BAC=∠ACD，
∴∠EAC=∠EAC，
∴AO=CO=5cm，
在直角三角形ADO中，DO==3cm，
AB=CD=DO+CO=3+5=8cm．
故选：C．
【点睛】本题考查矩形与折叠问题，解题过程中应注意折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，如本题中折叠前后角相等．
10．如图，两个全等的矩形，矩形如图所示放置. 所在直线与分别交于点.若.则线段的长度是（    ）

A． B． C． D．2
【答案】D
【分析】作于.则四边形是矩形．先证明，再证明AH=MH=CH．设CH=AH=x，利用勾股定理列方程，再求解即可．
【详解】解：作于.则四边形是矩形，

∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，设，
在中，，解得，
∴，
故答案为D．
【点睛】本题考查矩形的性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，正确添加常用辅助线、构建直角三角形并利用勾股定理列方程是解答本题的关键．

二、填空题
11．已知函数y＝2xm﹣1是正比例函数，则m＝_____．
【答案】2
【分析】根据正比例函数的定义求解即可；
【详解】解：根据正比例函数的定义可知，m-1=1，
∴m=2；
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查正比例函数的定义，掌握正比例函数的定义是解题的关键．
12．汽车开始行驶时，油箱中有油55升，如果每小时耗油7升，则油箱内剩余油量y(升)与行驶时间t(小时)的关系式为_______________
【答案】y=﹣7x+55##y=55﹣7x
【分析】根据油箱内剩余油量等于总油量减去t小时耗油量解答即可．
【详解】解：根据题意，得：y=55－7x=﹣7x+55．
故答案为：y=﹣7x+55．
【点睛】本题考查了列出实际问题中的函数关系式，属于基本题型，明确剩余油量等于总油量减去t小时耗油量是正确列出关系式的关键．
13．直角三角形斜边长为，则斜边中线长为_____．
【答案】
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得出答案．
【详解】解：∵直角三角形斜边长为，
∴斜边中线长为．
故答案为：．
【点睛】本题考查了直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，比较简单．
14．平行四边形中，，则______度．
【答案】130
【分析】根据平行四边形的性质可得，又有，可求又因为平行四边形的邻角互补，所以，，可求．
【详解】解：四边形为平行四边形，
，
又∵，
，
又，
．
故答案为：130
【点睛】此题主要考查：平行四边形的两组对角分别相等，平行四边形的邻角互补，掌握平行四边形的性质是解题的关键．
15．矩形中，那点到对角线的距离是_________________.
【答案】
【分析】本题只要根据矩形的性质，利用面积法来求解即可．
【详解】如图：

因为BC＝4，故AD＝4，AB＝3，则S△DBC＝×3×4＝6，
又因为BD＝＝5，
S△ABD＝×5AE，
故×5AE＝6，
AE＝．
故答案为．
【点睛】本题考查矩形的性质，矩形具有平行四边形的性质，又具有自己的特性，要注意运用矩形具备而一般平行四边形不具备的性质．
16．如图，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（3，0），（﹣2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是_____．

【答案】（﹣5，4）
【分析】首先由A、B两点坐标，求出AB的长，根据菱形的性质可得AD=CD=AB，从而可得到点C的横坐标；接下来在△AOD中，利用勾股定理求出DO的长，结合上面的结果，即可确定出C点的坐标.
【详解】解：由题知A（3,0），B（-2,0），D在y轴上，
∴AB=3-（-2）=5，OA=3，BO=2
由菱形邻边相等可得AD=AB=5
在Rt△AOD中，由勾股定理得：
OD==4
由菱形对边相等且平行得CD=BA=5
所以C（-5,4）．
故答案为：（﹣5，4）．
【点睛】本题考查了菱形的性质及坐标与图形的性质，解题的关键是运用勾股定理求出OD的长．
17．如图，菱形的面积为120cm2，正方形的面积为50cm2时，则菱形的边长为____cm．

【答案】13
【分析】连接BD、AC、EF，BD与AC交于点O，由题意易得B、E、F、D在同一条直线上，则有，，，，，然后根据菱形和正方形的面积及勾股定理可进行求解．
【详解】解：连接BD、AC、EF，BD与AC交于点O，如图所示：

∵四边形是菱形、四边形是正方形，
∴点B、E、F、D在同一条直线上，
∴，，，，，
∵菱形的面积为120cm2，正方形的面积为50cm2，
∴，，
∴，，
∴，，
在Rt△AOB中，由勾股定理可得cm，
故答案为13．
【点睛】本题主要考查菱形与正方形的性质，熟练掌握菱形与正方形的性质是解题的关键．
18．已知菱形中，，边上有点E、点F两动点，始终保持，连接，取中点G并连接，则的最小值是_____．

【答案】3
【分析】如图，过点D作交延长线于点H，延长交于点M，连接，先根据菱形的性质的，再求出，证明是等边三角形，得到，利用三角形外角的性质得到，则，从而证明是的中位线，则，故当最小时最小，根据点到直线的距离垂线段最短可知：的最小值等于，利用含30度角的直角三角形的性质求出，则，由此即可得到答案．
【详解】解：如图，过点D作交延长线于点H，延长交于点M，连接，
在菱形中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴是的中位线，
∴，
∴当最小时最小，
根据点到直线的距离垂线段最短可知：的最小值等于，

在中，，
∴，
∴，
∴的最小值为6，
∴的最小值为3．
故答案为：3．
【点睛】本题主要考查了菱形的性质，三角形中位线定理，等边三角形的性质与判定，三角形外角的性质，含30度角的直角三角形的性质，正确作出辅助线证明是的中位线是解题的关键．

三、解答题
19．如图反映的是小华从家里跑步去体育馆，在那里锻炼了一阵后又走到文具店去买笔，然后走回家，其中x表示时间，y表示小华离家的距离．根据图像回答下列问题：
(1)小华在体育馆锻炼了____分钟；
(2)体育馆离文具店____千米；
(3)小华从家跑步到体育馆，从文具店散步回家的速度分别是多少千米/分钟？

【答案】（1）15；（2）1；（3）小华从家跑步到体育场的速度是千米/分钟，小华从文具店散步回家的速度为千米/分钟
【分析】（1）观察函数图象找出到达和离开体育馆的时间，二者做差即可得出结论；
（2）观察函数图象找出体院馆和文具店离家的距离，二者做差即可得出结论；
（3）根据速度=路程÷时间，即可分别算出小华从家跑步到体育场和从文具店散步回家的速度，此题得解．
【详解】（1）30-15=15（分钟）．
故答案为15．
（2）2.5-1.5=1（千米）．
故答案为1．
（3）小华从家跑步到体育场的速度为：2.5÷15=（千米/分钟）；
小华从文具店散步回家的速度为：1.5÷（100-65）=（千米/分钟）．
答：小华从家跑步到体育场的速度是千米/分钟，小华从文具店散步回家的速度为千米/分钟．
【点睛】本题考查了函数的图象，观察函数图象找出各问所用到的数据是解题的关键．
20．已知正比例函数y=kx经过点A，点A在第四象限，过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3．
（1）求正比例函数的解析式；
（2）在x轴上能否找到一点P，使△AOP的面积为5？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）y=-x；（2）点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）．
【详解】试题分析：（1）根据题意求得点A的坐标，然后利用待定系数法求得正比例函数的解析式；
（2）利用三角形的面积公式求得OP=5，然后根据坐标与图形的性质求得点P的坐标.
试题解析：（1）∵点A的横坐标为3，且△AOH的面积为3
∴点A的纵坐标为﹣2，点A的坐标为（3，﹣2），
∵正比例函数y=kx经过点A，
∴3k=﹣2解得k=-，
∴正比例函数的解析式是y=-x；
（2）∵△AOP的面积为5，点A的坐标为（3，﹣2），
∴OP=5，
∴点P的坐标为（5，0）或（﹣5，0）．

点睛：本题考查了正比例函数图象的性质、待定系数法求正比例函数的解析式．注意点P的坐标有两个．
21．如图，点E，F分别在菱形ABCD的边DC，DA上，且CE=AF．求证：∠ABF=∠CBE．

【答案】证明见解析.
【详解】试题分析：根据菱形的性质可得AB=BC，∠A＝∠C，再证明ΔABF≌△CBE，根据全等三角形的性质可得结论．
试题解析：∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，∠A=∠C，
∵在△ABF和△CBE中，
,
∴△ABF≌△CBE（SAS），
∴∠ABF=∠CBE．
考点：菱形的性质．
22．如图，在四边形中，，，对角线交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连接．

(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)2

【分析】(1)先判断出，进而判断出，得出，即可得出结论；
(2)先判断出，再求出，利用勾股定理求出，即可得出结论．
【详解】（1）∵，
∴，
∵为的平分线，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴是菱形；
（2）∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，，
∴，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形的性质与判定，菱形的性质与判定，勾股定理，掌握以上知识是解题的关键．
23．如图，等腰ABC中，，交BC于D点，E点是AB的中点，分别过D，E两点作线段AC的垂线，垂足分别为G，F两点．

(1)求证：四边形DEFG为矩形；
(2)若，，求CG的长．
【答案】(1)见解析
(2)2

【分析】（1）欲证明四边形DEFG为矩形，只需推知该四边形为平行四边形，且有一内角为直角即可；
（2）首先根据直角三角形斜边上中线的性质求得AE＝DE＝5；然后在直角△AEF中利用勾股定理得到AF的长度；最后结合AB＝AC＝AF+FG+CG＝10求解即可．
【详解】（1）证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴点D是BC的中点．
∵E点是AB的中点，
∴DE是△ABC的中位线．
∴DEAC.
∵DG⊥AC，EF⊥AC，
∴EFDG
∴四边形DEFG是平行四边形．
又∵∠EFG＝90°，
∴四边形DEFG为矩形；
（2）解：∵AD⊥BC交BC于D点，
∴ ∠ADB=∠ADC=90°
∴△ADB是直角三角形
∵E点是AB的中点，AB＝10，
∴DE＝AE＝BC＝5．
由（1）知，四边形DEFG为矩形，
∴GF＝DE＝5
在直角△AEF中，EF＝4，AE＝5，
由勾股定理得：
AF＝ ．
∵AB＝AC＝10，FG＝ED＝5，
∴GC＝AC﹣FG﹣AF＝10﹣5﹣3＝2．
【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质以及直角三角形斜边上的中线，勾股定理，根据题意找到长度相等的线段是解题的关键．
24．如图，正方形中，是上的一点，连接，过点作，垂足为点，延长交于点，连接．

(1)求证：．
(2)若正方形边长是，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)

【分析】（1）根据正方形的性质，根据等角的余角相等得出，进而证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；
（2）根据（1）的结论，以及正方形的性质得出，在中，勾股定理即可求解．
【详解】（1）证明：四边形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
在和中，
，
，
；
（2）解：，
由得：，
，
，
四边形是正方形，
，，
由勾股定理得：．
【点睛】本题考查了正方形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，掌握正方形的性质以及勾股定理是解题的关键．
25．在四边形中，如果对角线和相交并且相等，那么我们把这样的四边形称为等角线四边形．

(1)在“平行四边形、矩形、菱形”中，一定是等角线四边形的是 　 　（填写图形名称）；
(2)如图1，若、、、分别是等角线四边形四边、、、的中点，当对角线、还需要满足什么条件时，四边形是正方形，请说明理由；
(3)如图2，已知中，，，，为平面内一点．若四边形是等角线四边形，且，求四边形的面积．
【答案】(1)矩形
(2)当时，四边形是正方形，理由见解析
(3)

【分析】（1）根据平行四边形、矩形、菱形的性质，解答即可；
（2）根据中位线的性质，得出，，，，再根据，得出，进而得出四边形是菱形，再根据平行线的性质，得出，再根据正方形的判定定理，即可得出答案；
（3）以点为圆心，为半径画弧，与的垂直平分线交于点，作于，根据勾股定理，得出，再根据三线合一的性质，得出，再根据等角线四边形的定义，结合等量代换，得出，再根据勾股定理，得出，然后再根据，计算即可．
【详解】（1）解：在“平行四边形、矩形、菱形”中，
∵矩形的对角线相等，
∴矩形一定是等角线四边形，
故答案为：矩形；
（2）解：当时，四边形是正方形．
理由：如图1中，

∵、、、分别是等角线四边形四边、、、的中点，
∴，，，，
∵，
∴，
∴四边形是菱形，
又∵，，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
（3）解：以点为圆心，为半径画弧，与的垂直平分线交于点，作于．

在中，，，，
∴，
∵，，
∴，
∵四边形是等角线四边形，
∴，
∴，
∴，
，
∴．
【点睛】本题考查了平行四边形、矩形的性质，中位线的性质，菱形的判定与性质，正方形的判定定理，勾股定理，三线合一的性质，解本题的关键在熟练掌握相关的性质定理．
26．已知正方形ABCD，点F是射线DC上一动点(不与C，D重合)．连接AF并延长交直线BC于点E，交BD于H，连接CH，过点C作CG⊥HC交AE于点G．
（1）若点F在边CD上，如图1．
①证明：∠DAH=∠DCH；
②猜想：△GFC的形状并说明理由．
（2）取DF中点M，连接MG．若MG=2.5，正方形边长为4，求BE的长．

【答案】（1）①证明见解析；②△GFC是等腰三角形，理由见解析；（2）BE的长为1或7．
【分析】（1）①根据正方形的性质可得AD=CD，∠ADH=∠CDH，利用SAS可证明△ADH≌△CDH，即可得∠DAH=∠DCH；
②由正方形的性质可得∠DAH+∠AFD=90°，由CG⊥HC可得∠DCH+∠FCG=90°，根据∠AFD=∠CFG，可得∠CFG=∠FCG，即可证明CG=FG，可得△GFC是等腰三角形；
（2）当点F在线段CD上时，连接DE，根据正方形的性质及角的和差关系可得∠E=∠GCE，即可证明CG=EG，由△GFC是等腰三角形可得CG=GF，可得点G为EF中点，即可证明GM是△FDE的中位线，根据中位线的性质可求出DE的长，利用勾股定理可求出CE的长，进而根据BE=BC+CE即可求出BE的长；当点F在DC延长线上时，连接DE，同理可得MG为△FDE的中位线，可求出DE的长，利用勾股定理可求出CE的长，根据BE=BC-CE即可求出BE的长．
【详解】（1）①∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD，∠ADB=∠CDB=45°，
在△ADH和△CDH中，，
∴△ADH≌△CDH，
∴∠DAH=∠DCH．
②△GFC是等腰三角形，理由如下：
∵四边形ABCD是正方形，CG⊥HC，
∴∠ADF=∠HCG=90°，
∴∠DAH+∠AFD=DCH+∠DCG=90°，
∵∠DAH=∠DCH，∠HFD=∠CFG，
∴∠CFG=∠GCF，
∴CF=CG，
∴△GFC是等腰三角形．
（2）如图，当点F在线段CD上时，连接DE，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CEF+∠CFG=90°，∠GCE+∠GCF=90°，
∵∠CFG=∠GCF，
∴∠CEF=∠GCE，
∴CG=EG，
∵CG=FG，
∴FG=EG，
∵点M是DF的中点，
∴GM是△DFE的中位线，
∵GM=2.5，
∴DE=2GM=5，
∵正方形ABCD的边长为4，
∴CE==3，
∴BE=BC+CE=4+3=7．

如图，当点F在DC的延长线上时，连接DE，
同理可得：MG为△DFE的中位线，
∴DE=2GM=5，
∴CE==3，
∴BE=BC-CE=4-3=1，

综上所述：BE的长为1或7．
【点睛】本题考查正方形的性质、全等三角形的判定与性质及三角形中位线的性质，熟练掌握相关性质及判定定理是解题关键．