山东省菏泽市定陶区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题（含详细答案）

山东省菏泽市定陶区2022-2023学年九年级上学期期末数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列图形中，可以看作是中心对称图形的是（  ）

A． B． C． D．

2．下列事件中，必然发生的是（    ）

A．某射击运动射击一次，命中靶心 B．任作一个三角形，其内角和为

C．掷一次骰子，向上的一面是6点 D．抛一枚硬币，落地后正面朝上

3．如图，、相交于点，，若，，则与的面积之比为（    ）

A．1：3 B．1：9 C．3：1 D．9：1

4．若一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是（    ）

A．2 B． C． D．

5．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上，则的值为（    ）

A． B． C． D．

6．由于疫情原因，今年9月份以来，白菜的价格两次大幅下降，连续两次下降后，售价由原来的每千克2.2元，下降到每千克0.38元，则下列方程中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

7．如图，CD是⊙O的直径，AB是弦，∠CAB＝20°，则∠DCB的度数为（　　）

A．70° B．50° C．40° D．20°

8．已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y= 的图象在第一象限有一个公共点，其横坐标为1，则一次函数y=bx+ac的图象可能是（   ）

A．                      B．                      C．                      D．

二、填空题

9．设、是方程的两个实数根，则的值为___________．

10．将抛物线先向左平移1个单位，再向上平移2个单位，得到抛物线______．

11．—个不透明的盒子里有个除颜色外其他完全相同的小球，其中有6个黄球．每次摸球前先将盒子里的球摇匀，任意摸出一个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复摸球试验后发现，摸到黄球的频率稳定在30%，那么可以推算出大约是________．

12．已知扇形的面积为，圆心角为，则该扇形的半径为_______.

13．已知点，为反比例函数图象上的两点，当时，、、的大小关系是____________.

14．要修一个圆形喷水池，在池中心竖直安装一根水管，水管的顶端安一个喷水头，使喷出的抛物线形水柱在与池中心的水平距离为处达到最高，高度为，水柱落地处离池中心，水管长度应为____________．

三、解答题

15．（1）计算：；

（2）解方程：．

16．如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，EF⊥AE，交CD于点F，求证：AB：CE＝BE：CF．

17．解方程：

（1）x2+2x﹣9999=0（用配方法求解）；

（2）3x2﹣6x﹣1=0（用公式法求解）

18．2019年11月26日，鲁南高铁正式开通运营．鲁南高铁临沂段修建过程中需要经过一座小山．如图，施工方计划沿AC方向挖隧道，为了加快施工速度，要在小山的另一侧D（A、C、D共线）处同时施工．测得∠CAB＝30°，，∠ABD＝105°，求AD的长．

19．如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线相交于A（﹣2，a）、B两点，BC⊥x轴，垂足为C．

（1）求双曲线与直线AC的解析式；

（2）求△ABC的面积．

20．如图，已知是的外接圆，是的直径，为外一点，平分，且．

（1）求证：；

（2）求证：与相切．

21．某商场试销一种成本为每件60元的服装，经试销发现，每天的销售量(件)与销售单价（元）的关系符合次函数．

（1）如果要实现每天2000元的销售利润，该如何确定销售单价？

（2）销售单价为多少元时，才能使每天的利润最大？其每天的最大利润是多少？

22．在4月23日“世界读书日”来临之际，某校为了了解学生的课外阅读情况，从全校随机抽取了部分学生，调查了他们平均每周的课外阅读时间t（单位：小时）．把调查结果分为四档，A档：；B档：；C档：；D档：．根据调查情况，给出了部分数据信息：

①A档和D档的所有数据是：7，7，7.5，10，7，10，7，7.5，7，7，10.5，10.5；

②图1和图2是两幅不完整的统计图．

根据以上信息解答问题：

（1）求本次调查的学生人数，并将图2补充完整；

（2）已知全校共1200名学生，请你估计全校B档的人数；

（3）学校要从D档的4名学生中随机抽取2名作读书经验分享，已知这4名学生1名来自七年级，1名来自八年级，2名来自九年级，请用列表或画树状图的方法，求抽到的2名学生来自不同年级的概率．

23．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c过点A（﹣3，0），B（﹣2，3），C（0，3），顶点为D．

（1）求抛物线的解析式；

（2）设点M（1，m），当MB+MD的值最小时，求m的值；

（3）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．

参考答案：

1．A

【分析】根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．

【详解】A、是中心对称图形，故本选项符合题意；

B、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

D、不是中心对称图形，故本选项不符合题意；

故选A．

【点睛】本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．

2．B

【分析】根据必然事件的定义判断即可．

【详解】解：A选项某射击运动射击一次，不一定会命中靶心，是随机事件；

B选项根据三角形内角和定理，任意一个三角形内角和一定是，是必然事件；

C选项掷一次骰子，向上的一面不一定是6点，是随机事件；

D选项抛一枚硬币，落地后有可能反面朝上，是随机事件；

故选B．

【点睛】本题主要考查必然事件和随机事件的定义，熟练掌握必然事件定义和随机事件的定义是解决本题的关键．

3．B

【分析】根据相似三角形的判定与性质即可求出答案．

【详解】解：∵，

∴，

∴．

故选B．

【点睛】本题考查相似三角形，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．

4．D

【分析】根据一元二次方程根的判别式，即可得到答案

【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根，

∴，

解得：；

故选择：D.

【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握利用根的判别式求参数的值.

5．D

【分析】由三角函数定义即可得出答案．

【详解】如图所示：

由图可得：，

由勾股定理得，

∴．

故选：D．

【点睛】本题考查了解直角三角形．构造直角三角形是解答本题的关键．

6．B

【分析】依次表示出第一次降价后的价格和第二次降价后的价格，把相应数值代入即可求解．

【详解】第一次降价后的价格为，

第二次的价格为，

列方程得，

故选：B．

【点睛】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，掌握若设变化前的量为a,变化后的量为b,平均变化率为x,则经过两次变化后的数量关系为是解决问题的关键．

7．A

【分析】连接BD，利用直径所对的圆周角是90°，可以得出∠CBD＝90°，再利用同弧所对的圆周角相等，可得∠D＝∠CAB，则∠DCB可求.

【详解】

连接BD，如图，

∵CD是⊙O的直径，

∴∠CBD＝90°，

∵∠D＝∠CAB＝20°，

∴∠DCB＝90°﹣20°＝70°．

故选A．

【点睛】本题主要考查圆周角定理的推论：用直径所对的圆周角是90°，同弧或等弧所对的圆周角相等，掌握圆周角定理是解题的关键.

8．B

【详解】分析: 根据抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=的图象在第一象限有一个公共点，可得b＞0，根据交点横坐标为1，可得a+b+c=b，可得a，c互为相反数，依此可得一次函数y=bx+ac的图象.

详解: ∵抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y=的图象在第一象限有一个公共点，

∴b＞0，

∵交点横坐标为1，

∴a+b+c=b，

∴a+c=0，

∴ac＜0，

∴一次函数y=bx+ac的图象经过第一、三、四象限．

故选B.

点睛: 考查了一次函数的图象，反比例函数的性质，二次函数的性质，关键是得到b＞0，ac＜0.

9．

【分析】根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由进行求解即可．

【详解】解：∵、是方程的两个实数根，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则．

10．

【分析】易得新抛物线的顶点，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得新抛物线的解析式．

【详解】解：原抛物线的顶点为（0，0），向左平移1个单位，再向上平移2个单位，那么新抛物线的顶点为（-1，2）；

可设新抛物线的解析式为y=3（x-h）2+k，代入得：y=3（x+1）2+2．

故答案为：．

【点睛】考查了二次函数图象与几何变换，抛物线平移不改变二次项的系数的值，解决本题的关键是得到新抛物线的顶点坐标．上下平移抛物线时，顶点的横坐标不变，而纵坐标发生了改变，向上平移时，纵坐标增加，向下平移时纵坐标减小；左右平移抛物线时，顶点的纵坐标不变，而横坐标发生了改变，向右平移时，横坐标增加，向左平移时横坐标减小．

11．20

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从比例关系入手，列出方程求解．

【详解】解：由题意可得，，

故估计n大约有20个．

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了利用频率估计概率，本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据黄球的频率得到相应的等量关系．

12．；

【分析】利用扇形的面积公式构建方程即可解决问题．

【详解】解：设扇形的半径为r，

由题意：3π=，

∴r=（负根已经舍弃），

故答案为．

【点睛】本题考查扇形的面积，解题的关键是记住扇形的面积公式．

13．

【分析】根据反比例函数在第一象限内的增减性即可得出结论．

【详解】∵反比例函数在时，随着的增大而减小，

∴当时，，

故答案为：．

【点睛】本题主要考查反比例函数的性质，掌握反比例函数的性质是解题的关键．

14．##2.25米##米##m##米##m

【分析】以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系，设抛物线的解析式为，将代入求得a值，则时得的y值即为水管的长．

【详解】解：以池中心为原点，竖直安装的水管为y轴，与水管垂直的为x轴建立直角坐标系．

由于在距池中心的水平距离为时达到最高，高度为，

则设抛物线的解析式为：

，

代入求得：．

将值代入得到抛物线的解析式为：，

令，则．

故水管长为．

故答案为：．

【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，正确建立平面直角坐标系是解题的关键．

15．（1）；（2），

【分析】（1）利用特殊角的三角函数值计算即可；

（2）利用因式分解法解一元二次方程即可．

【详解】（1）原式=

（2）原方程可变形为

或

【点睛】本题主要考查特殊角的三角函数值及解一元二次方程，掌握特殊角的三角函数值及因式分解法是解题的关键．

16．详见解析

【分析】证明△AEB∽△EFC，根据相似三角形的对应边成比例即可得到结论．

【详解】∵EF⊥AE，∠B=∠C=90°，

∴∠AEB+∠FEC=∠FEC+∠EFC=90°，

∴∠AEB=∠EFC，

∴△AEB∽△EFC，

∴，

即AB：CE=BE：CF

【点睛】本题考查了正方形的性质及相似三角形的判定与性质，解题的关键是熟练运用相似三角形的性质与判定，本题属于基础题型．

17．（1）x1=99，x2=﹣101；（2）x1=，x2=．

【分析】（1）利用配方法得到(x+1)2=10000，然后利用直接开平方法解方程；

（2）先计算判别式的值，然后利用求根公式解方程；

【详解】解：（1）方程整理得：x2+2x=9999，

配方得：x2+2x+1=10000，即(x+1)2=10000，

开方得：x+1=100或x+1=﹣100，

解得：x1=99，x2=﹣101；

（2）这里a=3，b=﹣6，c=﹣1，

∵△=36+12=48，

∴x==，

解得：x1=，x2=．

【点睛】考查一元二次方程的解法，常用的方法有：直接开方法，配方法，公式法，因式分解法，观察题目选择合适的方法是解题的关键.

18．2()km

【分析】作BE⊥AD于点E，根据∠CAB=30°，∠ABD=105°，可以求得∠ABE和∠DBE的度数以及BE、DE的长，进而求得AE的长，然后可求得AD的长．

【详解】作BE⊥AD于点E，

∵∠CAB=30°，

∴∠ABE=60°，

∵∠ABD=105°，

∴∠EBD=45°，

∴∠EDB=45°，

∵，

∴BE=DE=2km，

∴AE=，

∴AD=AE+DE=+2=2()km

【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

19．（1）；（2）4.

【分析】（1）将点A（﹣2，a）代入直线y=-x得A坐标，再将点A代入双曲线即可得到k值，由AB关于原点对称得到B点坐标，由BC⊥x轴，垂足为C，确定出点C坐标，将A、C代入一次函数解析式即可求解；

（2）由三角形面积公式即可求解.

【详解】将点A（﹣2，a）代入直线y=-x得a=-2，

所以A（-2,2），

将A（-2,2）代入双曲线，

得k=-4，

∴，

∵

，

，

，，

解得，

∴；

（2）

【点睛】此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，涉及的知识有：坐标与图形性质，待定系数法求一次函数解析式，熟练掌握待定系数法是解本题的关键．

20．（1）证明见解析；（2）证明见解析

【分析】（1）由角平分线的定义得出，再根据即可得出；

（2）由相似三角形的性质可得出，然后利用等腰三角形的性质和等量代换得出 ，从而有 ，根据平行线的性质即可得出 ，则结论可证．

【详解】（1）∵平分，

∴

∴

（2）连接OC

∵是的直径，

∵

∵

∴与相切．

【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，切线的判定，掌握相似三角形的判定及性质，切线的判定方法是解题的关键．

21．（1）100元；（2）当销售单价定为105元时，可获得最大利润，最大利润是2025元．

【分析】（1）根据题意列出方程，解一元二次方程即可；

（2）先根据利润=每件的利润×销售量表示出利润，然后利用二次函数的性质求最大值即可．

【详解】（1）依题意得：，

解得或（不合题意）．

（2）若每天的利润为元，

则

，

∴当销售单价定为105元时，可获得最大利润，最大利润是2025元．

【点睛】本题主要考查二次函数与一元二次方程的应用，掌握解一元二次方程的方法和二次函数的性质是解题的关键．

22．（1）40人，补全图形见解析；（2）480人；（3）

【分析】（1）用A档和D档所有数据数减去D档人数即可得到A档人数，用A档人数除以所占百分比即可得到总人数；用总人数减去A档，B档和D档人数，即可得到C档人数，从而可补全条统计图；

（2）先求出B档所占百分比，再乘以1200即可得到结论；

（3）分别用A，B，C，D表示四名同学，然后通过画树状图表示出所有等可能的结果数，再用概率公式求解即可.

【详解】（1）由于A档和D档共有12个数据，而D档有4个，

因此A档共有：12-4=8人，

8÷20%=40人，

补全图形如下：

（2）1200×（人）

答：全校B档的人数为480人，

 （3）用A表示七年级学生，用B 表示八年级学生，用C和D分别表示九年级学生，画树状图如下，

所以P（2名学生来自不同年级）=

【点睛】本题考查条形统计图以及树状图法，注意结合题意中“写出所有可能的结果”的要求，使用列举法，注意按一定的顺序列举，做到不重不漏．

23．（1）；（2）；（3）.

【分析】将A，B，C点的坐标代入解析式，用待定系数法可得函数解析式；

（2）求出顶点D的坐标为，作B点关于直线的对称点，可求出直线的函数关系式为，当在直线上时，的值最小；

（3）作轴交AC于E点，求得AC的解析式为，设，，得，所以，，求函数的最大值即可.

【详解】解：将A，B，C点的坐标代入解析式，得方程组：

解得

抛物线的解析式为

配方，得，顶点D的坐标为

作B点关于直线的对称点，如图1

，

则，由得，

可求出直线的函数关系式为，

当在直线上时，的值最小，

则．

作轴交AC于E点，如图2

，

AC的解析式为，设，，

，

当时，的面积的最大值是；

【点睛】本题考核知识点：二次函数综合运用.解题关键点：画出图形，数形结合分析问题，把问题转化为相应函数问题解决.