湖南省长沙市一中双语中学2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题（含答案）

湖南省长沙市一中双语中学2022-2023学年八年级上学期期末考试数学试题

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题

1．下列服装中是轴对称图形的是（    ）

A． B．

C． D．

2．新型冠状病毒是个肉眼看不见的小个子，但它在病毒家族里却算是大个子，某新型冠状病毒的直径是0.000000075m，将数字0.000000075用科学记数法表示为（    ）．

A． B． C． D．

3．如图，河道m的同侧有M、N两个村庄，计划铺设一条管道将河水引至M，N两地．下面的四个方案中，管道长度最短的是（　　）

A． B． C． D．

4．下列各式从左到右的变形中，正确的是（   ）

A． B． C． D．

5．如图，∠AOB=30°，P是∠AOB的角平分线上的一点，PM⊥OB于点M，PN//OB交OA于点N，若PM=1，则PN的长为（   ）

A．1 B．1.5 C．3 D．2

6．随着市场对新冠疫苗需求越来越大，为满足市场需求，某大型疫苗生产企业更新技术后，加快了生产速度，现在平均每天比更新技术前多生产10万份疫苗，现在生产500万份疫苗所需的时间与更新技术前生产400万份疫苗所需时间少用5天，设现在每天生产x万份，据题意可列方程（    ）

A． B．

C． D．

7．对于实数a、b，定义一种新运算“”为：，这里等式右边是实数运算．例如：．则方程的解是（    ）

A． B． C． D．

8．如图，的面积为，平分，于P，连接，则的面积为（    ）

A． B． C． D．

9．下列结论：①不论a为何值时都有意义；②时，分式的值为0；③若的值为负，则x的取值范围是；④若有意义，则x的取值范围是且．其中正确的是（    ）

A．①③ B．②④ C．①③④ D．①②③④

10．（n为非负整数）当，1，2，3，…时的展开情况如下所示：

…

观察上面式子的等号右边各项的系数，我们得到了下面的表：

这就是南宋数学家杨辉在其著作《详解九章算法》中列出的一个神奇的“图”，他揭示了展开后各项系数的情况，被后人称为“杨辉三角”．根据这个表，你认为展开式中所有项系数的和应该是（    ）

A．128 B．256 C．512 D．1024

二、填空题

11．已知式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是________．

12．如图，△ABC≌△DEF，请根据图中提供的信息，写出x=___．

13．如果，，那么代数式的值是 _____．

14．若，则_______．

15．如图，点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，垂足为C，点F在OA上，若∠AFE=30°，EC=2，则EF=______．

16．如果a，b，c是正数，且满足，，则的值为______．

三、解答题

17．计算：

(1)．

(2)．

18．因式分解

(1)；

(2)．

19．已知，求代数式的值．

20．某校为了解疫情期间学生在家上网课的学习情况，随机抽取了该校部分学生对其学习效果进行调查，根据相关数据，绘制成以下不完整的统计图．

（1）此次调查该校学生人数为_______名，学习效果“较差”的部分对应的圆心角度数为______；

（2）补全条形图；

（3）请估计该校3000名学生疫情期间网课学习效果“一般”的学生人数．

21．如图，在等边三角形ABC的三边上，分别取点D，E，F，使得AD=BE=CF求证：△DEF为等边三角形，．

22．在新冠肺炎疫情期间，某校为了常态化的测量学生的体温，拟购买若干个额温枪发放到班主任和相关人员手中，现有A型、B型两种型号的额温枪可供选择，已知每只A型额温枪比每只B型额温枪贵20元，用5000元购进A型额温枪的数量与用4500元购进B型额温枪的数量相等．

(1)每只A型、B型额温枪的价格各是多少元？

(2)若该校计划购进型B型额温枪共30只，且购进两种型号额温枪的总金额不超过5800元，则最多可购进A型额温枪多少只？

23．如图，AD为△ABC的角平分线．

(1)如图1，若CE⊥AD于点F，交AB于点E，AB=8，AC=5．则BE=_______．

(2)如图2，若∠C=2∠B，点E在AB上，且AE=AC，AB=a，AC=b，求CD的长；（用含a、b的式子表示）

(3)如图3，BG⊥AD，点G在AD的延长线上，连接CG，若△ACG的面积是7，求△ABC的面积．

24．定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，如果分子的次数低于分母的次数，称这样的分式为真分式．例如，分式，是真分式．如果分子的次数高于或等于分母的次数，称这样的分式为假分式．例如，分式，是假分式．一个假分式可以化为一个整式与一个真分式的和．例如．

(1)判断：分式是________，分式是________；（填“真分式”或“假分式”）

(2)将假分式化为一个整式与一个真分式的和；

(3)若x是整数，且分式的值为整数，求x的值．

25．如图，中，，，E点为射线上一动点，连接，作且．

(1)如图1，过F点作交于D点，求证：，并写出和的数量关系；

(2)如图2，连接交于G点，若，求证：E点为中点；

(3)当E点在射线上，连接与直线交于G点，若，求．

参考答案：

1．B

【分析】直接利用轴对称图形的定义，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，进而判断得出答案．

【详解】解：A．不是轴对称图形，故此选项不合题意；

B．是轴对称图形，故此选项符合题意；

C．不是轴对称图形，故此选项不合题意；

D．不是轴对称图形，故此选项不合题意；

故选：B．

【点睛】此题主要考查了轴对称图形的定义，正确把握定义是解题关键．

2．B

【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

【详解】0.000000075用科学计数法表示为，故B正确．

故选：B．

【点睛】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．

3．C

【分析】利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离．

【详解】解：作点M关于直线m的对称点M′，连接NM′交直线m于Q．

根据两点之间，线段最短，可知选项D修建的管道，则所需管道最短．

故选：C．

【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”．由于所给的条件的不同，解决方法和策略上又有所差别．

4．C

【分析】根据分式的基本性质即可求出答案．

【详解】解：A、，故A不符合题意．

B、，故B不符合题意．

C、，故C符合题意．

D、，故D不符合题意．

故选：C．

【点睛】本题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质，本题属于基础题型．

5．D

【分析】过点P作于点D，根据角平分线的性质得到PD的长度，根据角平分线+平行必出等腰得到，利用30度角所对的直角边等于斜边的一半即可求解．

【详解】解：过点P作于点D，

∵P是∠AOB的角平分线上的一点，PM⊥OB于点M，

∴，，

∵PN//OB，

∴，

∴，

∴，

故选：D．

【点睛】本题考查角平分线的性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，角平分线与平行线结合必出等腰三角形．

6．B

【分析】设更新技术后每天生产x万份疫苗，更新技术前每天生产（x-10）万份疫苗，根据题意，即可得出关于x的分式方程．

【详解】解：设更新技术后每天生产x万份疫苗，则更新技术前每天生产（x-10）万份疫苗，

依题意得，，

故选：B．

【点睛】此题主要考查了分式方程的应用，属于基础题，难度一般，设出未知数，再根据条件得出方程是解题的关键．

7．A

【分析】已知等式利用题中的新定义化简，求出解即可．

【详解】解：根据题中的新定义化简得：，

去分母得：1=2-x+4，

解得：x=5，

经检验x=5是分式方程的解，

故选：A

【点睛】此题考查了解分式方程，以及实数的运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．

8．C

【分析】沿长与交于点D，利用等腰三角形的三线合一快速得到点P是线段中点，利用中线平分面积的性质解题即可．

【详解】解：沿长与交于点D，

∵平分，，

∴点P是线段中点，

∴，，

∴．

故选C．

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质及中线的性质，能够熟练的构造等腰三角形是解题关键．

9．A

【分析】根据分式有意义的条件对各式进行逐一分析即可．

【详解】解∶①∵不论a为何值，，∴不论a为何值时都有意义，故正确；

②当时，，此时分式无意义，故错误；

③∵的值为负，又，∴，∴，故正确；

④∵有意义，∴，∴x≠0且x≠-1且x≠-2，故错误．

故选：A．

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题要注意④中除数不能为0，否则会造成误解．

10．C

【分析】由“杨辉三角”得到：（a+b）n（n为非负整数）展开式的项系数和为2n．

【详解】解：当n=0时，展开式中所有项的系数和为1=20，

当n=1时，展开式中所有项的系数和为2=21，

当n=2时，展开式中所有项的系数和为4=22，

•••

当n=9时，展开式的项系数和为=29=512，

故选：C．

【点睛】本题考查了“杨辉三角”展开式中所有项的系数和的求法，通过观察展开式中所有项的系数和，得到规律即可求解．

11．

【分析】根据分母不为0，列出不等式即可求解．

【详解】解：式子在实数范围内有意义，

则，

解得；

故答案为：．

【点睛】本题考查了分式有意义的条件，解题关键是明确分式有意义的条件是分母不为零，列不等式求解．

12．20

【分析】先利用三角形的内角和定理求出，然后根据全等三角形对应边相等解答．

【详解】解：如图，，

，

，

即．

故答案为：20．

【点睛】本题考查了全等三角形的性质，根据角度确定出全等三角形的对应边是解题的关键．

13．

【分析】将两边进行平方，结合已知得到，利用完全平方公式的形式，求得，对原式进行因式分解，再将式子整体代入求值即可．

【详解】解：∵，

∴，即，

∵，

∴，

∴，即，

∴，

，

当时，原式，

当时，原式，

故答案为：．

【点睛】本题考查了因式分解和代数式求值，利用完全平方公式的特点进行求解是解题的关键．

14．

【分析】由变形可得，，把化为整理化简即可求解．

【详解】解：∵，

∴，，

∴

故答案为：2022

【点睛】本题考查了代数式的整体代入求值问题，灵活把所求的代数式变形是解题的关键．

15．4

【分析】根据角平分线的性质，得，再根据含角直角三角形的性质计算，即可得到答案．

【详解】如图，过点E作，交OA于点D

∵点E在∠BOA的平分线上，EC⊥OB，

∴

∵∠AFE=30°，

∴

故答案为：4．

【点睛】本题考查了角平分线、含角直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握含角直角三角形的性质，从而完成求解．

16．3

【分析】先根据题意得出，，，再代入计算即可得到答案．

【详解】解：、、是正数，且满足，

，，，

故答案为：3．

【点睛】本题考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

17．(1)

(2)

【分析】（1）先根据绝对值的意义，立方根的定义，算术平方根的定义，乘方运算法则化简各式，然后再进行计算即可解答；

（2）先根据乘方运算法则，绝对值的意义，立方根的定义，算术平方根的定义化简各式，然后再进行计算即可解答．

【详解】（1）解：

；

（2）解：

．

【点睛】本题主要考查了实数的运算，熟练掌握绝对值的意义，立方根的定义，算术平方根的定义，乘方运算法则，是解题的关键．

18．(1)

(2)

【分析】（1）直接提取公因式即可；

（2）先提取公因式，再用完全平方公式分解即可．

【详解】（1）解：

=

=．

（2）解：

=

=．

【点睛】本题考查了因式分解，解题关键是熟练运用提取公因式和完全平方公式进行因式分解．

19．2

【分析】先对分式通分、因式分解、化简，化成最简分式，后变形已知条件，整体代入求值．

【详解】解：

，

∵，

∴，

∴原式．

【点睛】本题考查了分式的化简求值，运用完全平方公式，通分，约分等技巧化简是解题的关键，整体代入求值是解题的灵魂．

20．（1）100，18°；（2）补图见解析；（3）该校听课效果一般的学生人数为900名．

【分析】（1）由学习效果“很好”的人数及其所占百分比可得总人数，用乘以“较差”人数所占比例即可得；

（2）根据四种学习效果的人数之和等于被调查的总人数求出“一般”的人数，从而补全图形；

（3）用总人数乘以样本中学习效果“一般”的学生人数所占比例即可得．

【详解】解：（1）此次调查的学生人数为（名，

学习效果“较差”的部分对应的圆心角度数为，

故答案为：100，18．

（2）学习效果“一般”的人数为（名，

补全图形如下：

（3）听课效果一般的学生所占百分比为，

由样本估计总体得：该校听课效果一般的学生人数为（名

答：该校听课效果一般的学生人数为900名．

【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．

21．见解析

【分析】由△ABC是等边三角形，AD=BE=CF，易证得△ADF≌△BED，即可得DF=DE，同理可得DF=EF，即可证得：△DEF是等边三角形．

【详解】证明：∵△ABC是等边三角形，

∴AB=BC=AC，

∵AD=BE=CF，

∴AF=BD，

在△ADF和△BED中，

，

∴△ADF≌△BED（SAS），

∴DF=DE，

同理DE=EF，

∴DE=DF=EF．

∴△DEF是等边三角形．

【点睛】此题考查了等边三角形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用．

22．(1)A型额温枪的价格是200元，B型额温枪的价格是180元

(2)最多可购进A型号额温枪20只

【分析】（1）设A型额温枪的价格是x元，B型额温枪的价格是元，由“用5000元购进A型额温枪与用4500元购进B型额温枪的数量相等”列出方程可求解；

（2）设购进A型号额温枪a只，“购买两种额温枪的总资金不超过5800元”列出不等式可求解．

【详解】（1）解：设A型额温枪的价格是x元，B型额温枪的价格是元，

由题意可得：，

解得：，

经检验：是原方程的根，

∴（元），

答：A型额温枪的价格是200元，B型额温枪的价格是180元；

（2）设购进A型号额温枪a只，

由题意可得：，

解得：，

所以最多可购进A型号额温枪20只．

【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，理清题中的数量关系是解题的关键．

23．(1)3

(2)CD=a－b

(3)=14

【分析】（1）利用ASA证明△AEF≌△ACF，得AE＝AC＝5，得出答案；

（2）利用ASA证明△ADE≌△ADC，得∠C=∠AED，DC=DE，再证明∠B=∠BDE，得出BE=DE，即可得到结论；

（3）利用ASA证明△AGB≌△AGH，得出BG=HG，即可得出△ABC的面积．

【详解】（1）解：（1）∵AD是△ABC的平分线，

∴∠BAD＝∠CAD，

∵CE⊥AD，

∴∠CFA＝∠EFA，

∵在△AEF和△ACF中，

∴△AEF≌△ACF（ASA），

∴AE＝AC＝5，

∵AB=8，

∴BE＝AB−AC＝8−5＝3，

故答案为：3；

（2）∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

在△ADE和△ADC中

∴△ADE≌△ADC

∴∠C=∠AED，DC=DE

又∵∠C=2∠B，∠AED=∠B+∠BDE

∴∠B=∠BDE

∴DE=BE，

∴DC=DE=BE=AB－AE=AB－AC=a－b；

（3）如图，分别延长AC，BG交于点H，

∵AD平分∠BAC，

∴∠BAD=∠CAD，

∵AG⊥BH，

∴∠AGB=∠AGH=90°，

∵在△AGB和△AGH中

，

∴△AGB≌△AGH，

∴BG=HG，

∴，

又∵

∴=14．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题的关键．

24．(1)真分式；假分式

(2)

(3)

【分析】（1）分式的分子的次数低于分母的次数，所以是真分式；分式的分子的次数高于分母的次数，所以是假分式．

（2）根据题意，把分式化为整式与真分式的和的形式即可；

（3）根据题中所给出的例子，把原式化为整式与真分式的和形式，再根据分式的值为整数即可得出x的值．

【详解】（1）分式的分子的次数为0，低于分母的次数1，所以是真分式；分式的分子的次数为2，高于分母的次数1，所以是假分式．

（2）由题可得，；

（3），

∵分式的值为整数，且x为整数，

∴，，

∴，

故的值为：，，，，，．

【点睛】本题考查了分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．

25．(1)见解析，；

(2)见解析．

(3)或．

【分析】（1）证，利用就“角角边”证明；由全等得出：，则利用等量代换和图形中相关线段间的和差关系证得结论；

（2）过F点作于D点，根据（1）中结论可证明，可得，根据，可证，即可解题；

（3）过F作的延长线交于点D，易证，由（1）（2）可知，，可得，即可求得的值，即可解题．

【详解】（1）证明：如图1，∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∴，即；

（2）证明：（2）如图2，过F点作于D点，

∵，

∴，

在和中，

，

∴，

∴，

∵，

∴＝2，

∴＝，

∵

∴＝，

∴E点为中点；

（3）当点E在CB的延长线上时，过F作的延长线交于点D，如图3，

∵，，

∴，

由（1）（2）知：，

∴，

∴，

∴，

设，则

∴，  

当点E在线段BC上时，

∵，，

∴，

由（1）（2）知：，

∴，

∴，

∴，

设，则

∴．

综上所述：或．

【点睛】本题考查了三角形综合题，需要掌握全等三角形的判定，全等三角形对应边相等的性质，本题中求证是解题的关键．