2023年湖南省长沙市一中双语实验学校中考三模数学试题（含解析）

这是一份2023年湖南省长沙市一中双语实验学校中考三模数学试题（含解析），共24页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

2023年湖南省长沙市一中双语实验学校中考三模数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

一、单选题
1．的倒数是（    ）
A． B．2023 C． D．
2．如图是由四个完全相同的正方体组成的几何体，这个几何体的左视图是（　　）

A． B． C． D．
3．截至北京时间12月9日6时38分，全球新冠病毒确诊人数突破例，数据用科学记数法表示为（    ）
A． B． C． D．
4．下列计算正确的是（　　）
A．2 B．±3 C．3 D．4
5．《九章算术》中“盈不足术”有这样的问题：“今有共买羊，人出六，不足四十五；人出八，不足三．问人数、羊价各几何？”题意是：若干人共同出资买羊，每人出元，则差元；每人出元，则差元．求人数和羊价各是多少？设买羊人数为人，则根据题意可列方程为(   )
A． B．
C． D．
6．如图，是的直径，若，则的度数为（     ）

A． B． C． D．
7．某校书法兴趣小组20名学生日练字页数如下表所示：
日练字页数
2
3
4
5
6
人  数
2
6
5
4
3
这些学生日练字页数的中位数、平均数分别是(　　)
A．3页，4页 B．3页，5页 C．4页，4页 D．4页，5页
8．在平行四边形ABCD中，∠B＝110°，延长AD至F，延长CD至E，连接EF，则∠E+∠F＝（　　）

A．110° B．30° C．50° D．70°
9．下列关于二次函数的图像和性质的叙述中，正确的是（    ）
A．点在函数图像上 B．开口方向向上
C．对称轴是直线 D．与直线有两个交点
10．如图，在已知的△ABC中，按以下步骤：（1）分别以B、C为圆心，大于BC的长为半径作弧，两弧相交M、N；（2）作直线MN，交AB于D，连接CD，若CD＝AD，∠B＝25°，则下列结论中错误的是（　　）

A．直线MN是线段BC的垂直平分线
B．点D为△ABC的外心
C．∠ACB＝90°
D．点D为△ABC的内心

二、填空题
11．若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是______．
12．在一个不透明的盒子中装有a个除颜色外完全相同的球，其中只有6个白球．若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色后再放回盒子，通过大量重复试验后，发现摸到白球的频率稳定在20%左右，则a的值约为_____．
13．如果关于的方程（为常数）有两个相等的实数根，那么______．
14．如图，在平面直角坐标系xOy中，双曲线y＝（x＞0）与矩形OABC的AB边交于点E，且AE：EB＝1：2，则矩形OABC的面积为_____．

15．如图，AB为⊙O的直径，弦于点E，已知，则⊙O的半径为__________．

16．如图所示，已知正八边形内接于，连接，相交于点．若的半径为1，以下结论正确的是______ ．（填序号）
①；②；③的面积为；④．
  

三、解答题
17．计算：．
18．解不等式，并写出它的正整数解.
19．长沙电视塔位于岳麓山顶峰，其功能集广播电视信号发射与旅游观光于一身．某校数学社团的同学对长沙电视塔的高度进行了测量，如图，他们在处仰望塔顶，测得仰角为30°，再往塔的方向前进104m至处，测得仰角为60°．

(1)求证：；
(2)若学生的身高忽略不计，求该塔的高度？（答案保留根号）
20．在4月23日世界读书日来临之际，为了解某校向阳班同学们的阅读爱好，要求所有同学从4类书籍中（A：文学类；B：科幻类；C：军事类；D：其他类），选择一类自己最喜欢的书籍进行统计．根据统计结果，绘制了如图所示的两幅不完整的统计图．
  
根据图中信息回答问题：
(1)向阳班的学生总数为______，并补全条形统计图；
(2)在扇形统计图中，的扇形圆心角度数为______°，的值为______；
(3)如果选择类书籍的同学中有2名女生，其余为男生，现要在选择类书籍的同学中选取两名同学去参加读书交流活动，求恰好是一男一女去参加读书交流活动的概率．
21．如图，点、、、在直线上（、之间不能直接测量），点、在异侧，测得，，．

(1)求证：；
(2)若，，求的长度．
22．阅读下列材料：
《张丘建算经》是一部数学问题集，其内容、范围与《九章算术》相仿．其中提出并解决了一个在数学史上非常著名的不定方程问题，通常称为“百鸡问题”：“今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一．凡百钱买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何．”
译文：每一只公鸡值五文钱，每一只母鸡值三文钱，每三只小鸡值一文钱．现在用一百文钱买一百只鸡，问这一百只鸡中，公鸡、母鸡、小鸡各有多少只？
结合你学过的知识，解决下列问题：
（1）若设母鸡有x只，公鸡有y只，
① 小鸡有__________只，买小鸡一共花费__________文钱；（用含x，y的式子表示）
②根据题意，列出一个含有x，y的方程：__________________；
（2）若对“百鸡问题”增加一个条件：母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，求此时公鸡、母鸡、小鸡各有多少只?
（3）除了问题（2）中的解之外，请你再直接写出两组符合“百鸡问题”的解．
23．如图，已知菱形中，对角线相交于点O，过点C作，过点D作，与相交于点E．
  
(1)求证：四边形是矩形；
(2)若，，求四边形的周长．
24．如图，是的两条弦，且于点

(1)如图1：若，求证；
(2)如图2：若，求弓形的面积．
(3)连结，若，
①与具有怎样的数量关系，并证明．
②在上存在点，满足，点是的中点，连结，已知，求的半径．
25．党的二十大报告指出：“高质量发展”是全面建设社会主义现代化国家的首要任务，在数学中，我们不妨约定：在平面直角坐标系内，如果点的坐标满足，则称点为“高质量发展点”．
(1)若点是反比例函数（为常数，）的图象上的“高质量发展点”求这个反比例函数的解析式；
(2)若函数（为常数）图象上存在两个不同的“高质量发展点”，且这两点都在第一象限，求的取值范围；
(3)若二次函数（，是常数，）的图象上有且只有一个“高质量发展点”，令，当时，有最大值，求的值．

参考答案：
1．C
【分析】根据相乘等于1的两个数互为倒数，即可求解．
【详解】解：的倒数是，
故选：C．
【点睛】本题考查了倒数，掌握倒数的定义是解题的关键．
2．B
【分析】根据从左面看到的图形进行解答即可．
【详解】解：从左面看易得第一层有1个正方形，第二层有1个正方形．
故选：B．
【点睛】本题主要考查了三视图的识别，解题的关键是熟练掌握左视图是从左面看到的图形．
3．B
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
【详解】解：，
故选B．
【点睛】本题主要考查了科学记数法，解题的关键在于能够熟练掌握科学记数法的定义．
4．C
【分析】根据二次根式的乘除运算法则以及利用二次根式的性质化简，逐项计算，即可判断．
【详解】A、2，故此选项错误；
B、3，故此选项错误；
C、3，正确；
D、44=2，故此选项错误；
故选：C．
【点睛】本题考查了二次根式的乘除运算，熟练掌握二次根式的加减乘除运算法则以及二次根式的性质化简是解题的关键．
5．A
【分析】设买羊人数为人，根据每人出元，则差元；每人出元，则差元，列出一元一次方程．
【详解】设买羊人数为人，则根据题意可列方程为：

故选：A
【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，列一元一次方程解应用题的基本过程可概括为：审、设、列、解、检、答．即：审：理解题意，分清已知量和未知量，明确各数量之间的关系．设：设出未知数（直接设未知数或间接设未知数）．列：根据题目中的等量关系列出需要的代数式，进而列出方程．
6．C
【分析】连接，得，求出的度数，由同弧所对圆周角相等即可得出结论．
【详解】解：连接，

是的直径，
，
，
，

故选：．
【点睛】本题主要考查了圆周角的有关定理，作出辅助线，构建直角三角形，是解本题的关键．
7．C
【分析】按顺序第10，11人的页数4，4的平均值为中位数；总页数与总人数之比为平均数.
【详解】因为有20个数据，
所以，按顺序第10，11人的页数4，4的平均值为中位数；即：4（页）.
平均数：（2×2+3×6+4×5+5×4+6×3）÷20=4（页）.
故选C.
【点睛】本题考核知识点：中位数，平均数. 解题关键点：熟记中位数和平均数的概念及求法.
8．D
【分析】要求∠E+∠F，只需求∠ADE，而∠ADE＝∠A与∠B互补，所以可以求出∠A，进而求解问题．
【详解】解：∵平行四边形ABCD中AD//BC，AB//CD，
∴∠A＝∠ADE＝180°﹣∠B＝70°，
∵∠E+∠F＝∠ADE，
∴∠E+∠F＝70°；
故选：D．
【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质应用，准确分析计算是解题的关键．
9．D
【分析】A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），求函数值再与点的纵坐标进行比较；B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，根据a的取值判断开口方向；C、根据对称轴公式计算；D、把函数的问题转化为一元二次方程的问题，根据判别式的取值来判断．
【详解】解：A、把x＝0代入y＝3（x+1）（2﹣x），
得y＝6≠2，
∴A错误；
B、化简二次函数：y＝﹣3x2+3x+6，
∵a＝﹣3＜0，
∴二次函数的图象开口方向向下，
∴B错误；
C、∵二次函数对称轴是直线x
∴C错误；
D、∵3（x+1）（2﹣x）＝3x，
∴﹣3x2+3x+6＝3x，
∴﹣3x2+6＝0，
∵b2﹣4ac＝72＞0，
∴二次函数y＝3（x+1）（2﹣x）的图象与直线y＝3x有两个交点，
∴D正确；
故选：D．
【点睛】此题考查了二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质、一次函数图象上点的坐标特征、正比例函数的性质，掌握这几个知识点的应用，其中函数的问题转化为一元二次方程的问题是解题关键．
10．D
【分析】根据垂直平分线的性质和三角形外接圆、圆周角性质判断即可．
【详解】解：由作图可知，MN垂直平分线段BC，
∴DC＝DB，
∵DC＝DA，
∴DC＝DB＝DA，
∴点D是△ACB的外心， AB是直径，
∴∠ACB＝90°，
故选项A，B，C正确，
答案：D．
【点睛】本题考查了垂直平分线的性质和三角形的外接圆、圆周角性质，解题关键是熟练掌握相关性质，准确进行推理判断．
11．
【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，然后再求解即可．
【详解】解：由题意得，即．
故答案为：．
【点睛】本题考查了分式有意义的条件，根据分式有意义的条件列出不等式是解答本题的关键．
12．30．
【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生的频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在20%左右得到比例关系，列出方程求解即可．
【详解】由题意可得，×100%＝20%，
解得，a＝30．
故答案为30．
【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据红球的频率得到相应的等量关系．
13．
【分析】根据根的判别式为零时，有两个相等的实数根，就可以求出的值．
【详解】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．
14．12
【分析】设E点的坐标是（a，b），根据已知得出ab＝4，AE＝a，BE＝2a，求出OA＝b，AB＝3a，再根据矩形的面积公式求出即可．
【详解】解：∵四边形OABC是矩形，
∴∠OAB＝90°，
设E点的坐标是（a，b），
∵双曲线y＝（x＞0）与矩形OABC的AB边交于点E，且AE：EB＝1：2，
∴ab＝4，AE＝a，BE＝2a，
∴OA＝b，AB＝3a，
∴矩形OABC的面积是AO×AB＝b•3a＝3ab＝3×4＝12，
故答案为：12．
【点睛】本题考查了矩形的性质，反比例函数图象上点的坐标特征等知识点，能求出ab=4是解此题的关键．
15．5
【详解】解：设圆的半径为r，连接OC，

根据垂径定理可知CE=3，OE=r-1，
，
解得r=5．
故答案为5．
16．①②③④
【分析】连接，，，，交于，由正多边形与圆可知，，进而可知，，均为等腰直角三角形，利用其性质即可判断结论．
【详解】解：连接，，，，交于，
  
∵正八边形内接于，
∴，故④正确，
，则，，
∴为等腰直角三角形，同理，为等腰直角三角形，
∴，故①正确，
，则为等腰直角三角形，
由四边形的内角和为，可知，故②正确，
∵为等腰直角三角形，
∴，则，
∴，故③正确；
故答案为：①②③④．
【点睛】本题考查正多边形与圆，等腰直角三角形的判定及性质，掌握正多边形与圆的关系是解决问题的关键．
17．．
【分析】直接利用零指数幂的性质以及负指数幂的性质和算术平方根的性质分别化简得出答案．
【详解】解：

．
【点睛】本题主要考查了实数运算和特殊角的三角函数值，正确化简各数是解题关键．
18．，正整数解为1和2.
【分析】先解一元一次不等式，再在它的解集中写出正整数解即可．
【详解】解：去括号得：2x-4≤6-3x
移项得：2x+3x≤6+4
整理解得：x≤2；
正整数解为1，2．
【点睛】题目主要考查解一元一次不等式，熟练掌握解不等式的方法步骤是解题关键．
19．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由题意易得：，即可证得是等腰三角形，
（2）利用三角函数，求得答案．
【详解】（1）证明：根据题意得：，
∴，
∴，
∴，
（2）∵，，
∴，
．
【点睛】此题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题．注意证得是等腰三角形，利用特殊角的三角函数值求解是关键．
20．(1)40，补全统计图见解析
(2)108，40
(3)

【分析】（1）根据类的人数与占比即可求得总人数，进而即可求得类的人数，补全统计图；
（2）的扇形圆心角度数占的即可，根据的人数与总人数即可求解；
（3）用画树状图的方法求概率即可求解．
【详解】（1）解：向阳班人数：（人），
∴C类的人数（人），
∴补全的条形统计图为：
  
故答案为：40；
（2）的扇形圆心角度数为：，
，
∴，
故答案为：108，40；
（3）画树状图：
  
共有12种等可能性结果，其中一男一女的机会有8种，
∴．
【点睛】本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，样本估计总体，画树状图或列表的方法求概率，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．
21．(1)见解析
(2)

【分析】（1）由，得，再根据即可证明结论；
（2）根据全等三角形的性质即可解答．
【详解】（1）证明：∵，
∴，
在与中，
，
；
（2）解：∵，
，
，
，
∵，，
．
【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确寻找全等三角形的条件，属于基础题，中考常考题型．
22．解：（1）①， ；②；（2）母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只.（3）以下三组答案，写出其中任意两组即可：①公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只；②公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只.
【详解】试题分析：（1）设母鸡有x只，公鸡有y只，根据一百文钱买一百只鸡，表示出小鸡的数量和价钱，然后列出方程；
（2）设母鸡有x只，公鸡有y只，根据根据一百文钱买一百只鸡，母鸡数量是公鸡数量的4倍多2只，列方程求解即可；
（3）解不定方程即可．
试题解析：解：（1）①， ；②；
（2）设母鸡有x只，公鸡有y只，根据题意，得：
，解得，（只），
答：母鸡有18只，公鸡有4只，小鸡有78只．
（3）以下三组答案，写出其中任意两组即可：
①公鸡有12只，母鸡有4只，小鸡有84只；
②公鸡有8只，母鸡有11只，小鸡有81只；
③公鸡有0只，母鸡有25只，小鸡有75只．
23．(1)见解析
(2)14

【分析】（1）首先根据菱形的性质得到，然后利用平行线的性质得到，然后证明即可；
（2）首先根据菱形的性质得到，然后利用勾股定理得到，进而求解即可．
【详解】（1）如图，∵四边形为菱形，
∴；而，，
∴，
∴四边形是矩形．
（2）∵四边形为菱形，
∴，，，
由勾股定理得：
，而，
∴，
∴四边形的周长．
【点睛】此题考查了矩形的判定，菱形的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点．
24．(1)证明见解析
(2)
(3)①，理由见解析；②4

【分析】（1）根据等腰三角形的判定与性质和圆周角定理即可证得结论；
（2）连接、，过O作于G，于F，根据垂径定理和矩形的判定和性质证得，，，，，，设，则，利用勾股定理和等腰三角形的性质得到，再利用扇形和三角形的面积公式求解即可；
（3）①连接、、，过O作于G，于F，
连接根据等腰三角形的性质和圆周角定理得，再根据直角三角形的两个锐角互余得到即可求解；
②连接、、，过M作于H，先证明经过点O，则，，再根据等弧对等弦得到，再证明四边形是矩形得到，设，根据勾股定理列等量关系求得，进而求得、、，再证明，利用相似三角形的性质求得，进而求得，然后利用勾股定理求得即可求解．
【详解】（1）证明：如图1，连接、，
∵，
∴，
∵，，
∴，
∴；

（2）解：如图2，连接、、，过O作于G，于F，

∴，，，
∴四边形为矩形，
∴，，
设，则，
在中，，
在中，，
，，
∵，
∴，解得，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∴弓形的面积为；
（3）解：①．理由为：
如图3，连接，∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；

②如图3，连接、、，过M作于H，
∵，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴经过点O，则，，又，
∴，
∵,,
∴，
∴，
∴，则，
∵，
∴四边形是矩形，则，，
∵，∴，
设，，
则，，
∴，解得，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，则，
解得，
∴，
在中，，

∴的半径为4．
【点睛】本题是圆的综合题型，涉及圆的有关性质和计算，垂径定理，圆周角定理，弧、弦、圆心角的关系，还涉及勾股定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造矩形、等腰三角形及相似三角形，难度较大，属于压轴题型．
25．(1)或
(2)
(3)或

【分析】（1）将代入得到关于 的方程，依据“高质量发展点”的定义得到关于的另一个方程，解方程组即可；
（2）设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，依据题意可得含 的一元二次方程，根据方程有两个不相等的实根对应，即可求出的取值范围；
（3）设设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，将代入，可得含 的一元二次方程，根据图象上有且只有一个“高质量发展点”可知对应方程两根相等，即，得出 的关系式，从而由变形为关于 的函数，根据函数性质分情况讨论最值即可．
【详解】（1）解：将代入，得： 即 ，
又∵是“高质量发展点”，故，
解方程组 得： 或，
则这个反比例函数的解析式为或．
（2）解：设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，
将代入得：，
整理得： ，
由函数（p为常数）图象上存在两个不同的“高质量发展点”可知：方程有两个不相等的实根，
即 ，
解得： ，
且由韦达定理可知的两根之和为2，两根之积为 ，
∵这两点都在第一象限，
∴ ，
解得： ，
综上可得：．
（3）解：设图象上存在的“高质量发展点”坐标为，将代入，可得，
整理得，
根据图象上有且只有一个“高质量发展点”可知：方程两根相等，即，变形得：，
∵，
∴，
由抛物线性质可知：抛物线开口向下，对称轴为直线，顶点 ，
当时，w有最大值，
分情况讨论最值情况：
（1）当即 时，函数自变量取值在对称轴右侧，图像下降，故当 时w有最大值，即，化简得：，得：，
，故舍去，
；
（2）当且，即 时，函数的自变量取值范围包括了顶点，即当，w有最大值，
解得：，
；
（3）时函数自变量取值在对称轴左侧，图像上升，此时w最大值当时取得，即：，
整理得： ，
解得，
，
故均不合要求，此时无解；
综上分析可得：或．
【点睛】本题结合新定义综合考查了二次函数的性质，关键是运用新定义设坐标结合二次函数增减性变化及最值取得的条件建立新的二次函数，第3问运用分类讨论可条理清晰解决问题．