苏科版数学七年级下册同步拔高训练 第9章 整式乘法与因式分解 （三）（含答案解析）

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第9章《整式乘法与因式分解》 测试卷（三）

一、单项选择题：（本题共10小题，每小题3分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）
1．若是一个完全平方式，则常数k的值为　　
A．6 B． C． D．无法确定
【答案】C
【解析】
【分析】
利用完全平方公式的结构特征判断即可确定出k的值．
【详解】
解：是一个完全平方式，
，
解得：，
故选：C．
【点睛】
此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．
2．已知是一个有理数的平方，则n不能取以下各数中的哪一个　　
A．30 B．32 C． D．9
【答案】B
【解析】
【分析】
分多项式的三项分别是乘积二倍项时，利用完全平方公式分别求出n的值，然后选择答案即可．
【详解】
2n是乘积二倍项时，2n+216+1=216+2×28+1=（28+1）2，
此时n=8+1=9，
216是乘积二倍项时，2n+216+1=2n+2×215+1=（215+1）2，
此时n=2×15=30，
1是乘积二倍项时，2n+216+1=（28）2+2×28×2-9+（2-9）2=（28+2-9）2，
此时n=-18，
综上所述，n可以取到的数是9、30、-18，不能取到的数是32．
故选B．
【点睛】
本题考查了完全平方式，难点在于要分情况讨论，熟记完全平方公式结构是解题的关键．
3．…+1 的个位数字为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
【解析】
解：（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（22﹣1）（22+1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（24﹣1）（24+1）（28+1）…（232+1）+1
=（28﹣1）（28+1）…（232+1）+1
=（216﹣1）…（232+1）+1
=264﹣1+1
=264；
∵21=2，22=4，23=8，24=16，个位数按照2，4，8，6依次循环，而64=16×4，故原式的个位数字为6．故选C．
点睛：本题考查了平方差公式的运用，幂的个位数的求法，重复使用平方差公式是解题的关键．
4．三种不同类型的长方形地砖长宽如图所示，现有A类1块，B类4块，C类5块.小明在用这些地砖拼成一个正方形时，多出其中1块地砖，那么小明拼成正方形的边长是( )

A．m+n B．2m+2n C．2m+n D．m+2n
【答案】D
【详解】
解：1块A的面积为m2；4块B的面积为4mn；
5块C的面积为5n2；
那么这三种类型的砖的总面积应该是m2+4mn+5n2=m2+4mn+4n2+n2=(m+2n)2+n2，
因此，多出了一块C型地砖，拼成的正方形的面积为(m+2n)2=m2+4mn+4n2，
正方形的边长为m+2n．
故选D．
5．已知(x－2015)2＋(x－2017)2＝34，则(x－2016)2的值是( )
A．4 B．8 C．12 D．16
【答案】D
【解析】
(x－2 015)2＋(x－2 017)2
=(x－2 016+1)2＋(x－2 016-1)2
=
==34
∴
故选D.
点睛：本题主要考查了完全平方公式的应用，把(x－2 015)2＋(x－2 017)2化为 (x－2 016+1)2＋(x－2 016-1)2，利用完全平方公式展开，化简后即可求得(x－2 016)2的值，注意要把x-2016当作一个整体.
6．在，，，这四个数中，不能表示为两个整数平方差的数是（ ）．
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由于，所以；；；因与的奇偶性相同，一奇一偶，故不能表示为两个整数的平方差． 故选A.
7．已知可以被在0～10之间的两个整数整除，则这两个数是（ ）
A．1、3 B．3、5 C．6、8 D．7、9
【答案】D
【解析】
248－1=(224+1)(224－1)= (224+1)(212+1)(212－1)= (224+1)(212+1)(26+1)(26－1)= (224+1)(212+1)(26+1)(23+1) (23－1) , 23+1=9, 23－1=7,所以这两个数是7、9.
故选D.
点睛：平方差公式：a2－b2=（a+b）（a－b）.
8．已知a2﹣2a﹣1＝0，则a4﹣2a3﹣2a+1等于（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】
∵ ，∴ ，原式= =
=
=2．
故选C．
9．如图，某小区规划在边长为xm的正方形场地上，修建两条宽为2m的通道，其余部分种草，以下各选项所列式子不是计算通道所占面积的为（　　）

A．2x+2x﹣22 B．x2﹣（x﹣2）2 C．2（x+x﹣2） D．x2﹣2x﹣2x+22
【答案】D
【解析】试题分析：根据图示，可知通道所占面积是：2x+2x﹣22=4x﹣4．
A、是表示通道所占面积，选项错误；
B、x2﹣（x﹣2）2=x2﹣x2+4x﹣4=4x﹣4，故是表示通道所占面积，选项错误；
C、2（x+x﹣2）=4x﹣4，是表示通道所占面积，选项错误；
D、x2﹣2x﹣2x+22=4﹣4x≠4x﹣4，不是表示通道的面积，选项正确．
故选D．
10．如果四个互不相同的正整数m，n，p，q满足(6-m)(6-n)(6-p)(6-q)=4，那么m+n+p+q=(   )
A．24 B．25 C．26 D．28
【答案】A
【分析】
由题意m，n，p，q是四个互不相同的正整数，又因为（6-m）（6-n）（6-p）（6-q）=4，因为4=-1×2×（-2）×1，然后对应求解出m、n、p、q，从而求解．
【详解】
解：∵m，n，p，q互不相同的是正整数，
又（6-m）（6-n）（6-p）（6-q）=4，
∵4=1×4=2×2，
∴4=-1×2×（-2）×1，
∴（6-m）（6-n）（6-p）（6-q）=-1×2×（-2）×1，
∴可设6-m=-1，6-n=2，6-p=-2，6-q=1，
∴m=7，n=4，p=8，q=5，
∴m+n+p+q=7+4+8+5=24，
故选A．
【点睛】
此题是一道竞赛题，难度较大，不能硬解，要学会分析，把4进行分解因式，此题主要考查多项式的乘积，是一道好题．


二、填空题：（本题共8小题，每小题3分，共24分）
11．若能分解成两个一次因式的积，则整数k=_________.
【答案】
【分析】
根据题意设多项式可以分解为：（x+ay+c）（2x+by+d），则2c+d=k，根据cd=6，求出所有符合条件的c、d的值，然后再代入ad+bc=0求出a、b的值，与2a+b=1联立求出a、b的值，a、b是整数则符合，否则不符合，最后把符合条件的值代入k进行计算即可．
【详解】
解：设能分解成：(x＋ay＋c)（2x＋by＋d)，
即2x2+aby2＋（2a＋b）xy＋（2c＋d)x＋（ad＋bc)y＋cd，
∴cd=6，
∵6=1×6=2×3=（-2）×（-3）=(-1)×(-6)，
∴①c=1，d=6时，ad＋bc=6a＋b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=6，d=1时，ad＋bc=a＋6b=0,与2a＋b=1联立求解得，
②c=2，d=3时，ad＋bc=3a＋2b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=3，d=2时，ad＋bc=2a＋3b=0，与2a＋b=1联立求解得,
③c=-2，d=-3时，ad＋bc=-3a-2b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=-3，d=-2，ad＋bc=-2a-3b=0，与2a＋b=1联立求解得，
④c=-1，d=-6时，ad＋bc=-6a-b=0，与2a＋b=1联立求解得，
或c=-6，d=-1时，ad＋bc=-a-6b=0，与2a＋b=1联立求解得，
∴c=2，d=3时，c=-2，d=-3时，符合，
∴k=2c＋d=2×2＋3=7，k=2c＋d=2×（-2）＋（-3)=-7，
∴整数k的值是7，-7．
故答案为：．
【点睛】
本题考查因式分解的意义，设成两个多项式的积的形式是解题的关键，要注意6的所有分解结果，还需要用a、b进行验证，注意不要漏解．
12．如图，有一张边长为x的正方形ABCD纸板，在它的一个角上切去一个边长为y的正方形AEFG，剩下图形的面积是32，过点F作FH⊥DC，垂足为H.将长方形GFHD切下，与长方形EBCH重新拼成一个长方形，若拼成的长方形的较长的一边长为8，则正方形ABCD的面积是____.

【答案】36.
【分析】
根据题意列出，求出x-y=4，解方程组得到x的值即可得到答案.
【详解】
由题意得：
∵，
∴x-y=4，
解方程组，得，
∴正方形ABCD面积为，
故填：36.
【点睛】
此题考查平方差公式的运用，根据题意求得x-y=4是解题的关键，由此解方程组即可.
13．若a, b, c 满足，则________
【答案】
【分析】
关键整式的乘法法则运算，并整体代入变形即可.
【详解】
因为
所以 ，即
因为
所以
因为
所以
因为
所以
即


因为
即




故答案为：
【点睛】
本题考查的是整式的乘法，熟练掌握乘法法则并会对算式进行变形是关键.
14．已知(2019－a)(2017－a) ＝1000，请猜想(2019－a)2＋(2017－a)2＝______
【答案】2004
【分析】
根据已知，将(2019－a)2＋(2017－a)2进行配方，配方后，将已知代入便可求解.
【详解】
解: (2019－a)2＋(2017－a)2
=
=
=2004
【点睛】
本题考查公式的灵活运用，将求得适当配方，便可找到答案了，熟悉公式的应用是解题关键.
15．如果，那么______.
【答案】18
【分析】
运用因式分解将x4+7x3+8x2-13x+15转化为x2（x2+2x）+5X3+8x2-13x+15，将x2+2x做为整体代入上式，这样就降低了x的次数，并进一步转化为5x（x2+2x）+x2-13x+15，再将x2+2x做为整体代入5x（x2+2x）+x2-13x+15式，此时原式转化为x2+2x+15，又出现x2+2x，再代入求解即可．
【详解】
解：∵x2+2x=3
∴x4+7x3+8x2-13x+15=x2（x2+2x）+5x3+8x2-13x+15
=x2×3+5x3+8x2-13x+15
=5x3+11x2-13x+15
=5x（x2+2x）+x2-13x+15
=15x+x2-13x+15
=x2+2x+15
=3+15
=18
故答案为18.
.
【点睛】
本题考查因式分解．本题解决的关键是将x2+2x整体逐级代入x4+7x3+8x2-13x+15变化后的式子，降低了x的次数，使问题最终得以解决．
16．计算：____________.
【答案】2019.
【分析】
原式利用数的变形化为平方差公式，计算即可求出值．
【详解】
解：∵
∴=
故答案是：2019.
【点睛】
此题考查了用平方差公式进行简便计算，熟悉公式特点是解本题的关键．
17．已知a+b=8，ab=c2+16，则a+2b+3c的值为_____.
【答案】12
【分析】
根据已知a+b=8将等号两边平方，可得到a2+2ab+b2=64=4×16．c2+16的16看做ab-c2，代入移项、运用完全平方差公式转化为（a-b）2+4c2=0．再根据非负数的性质与已知a+b=8，可求出a、b、c的值．代入即求得计算结果．
【详解】
∵a+b=8
∴a2+2ab+b2=64
∵ab=c2+16
∴16=ab-c2
∴a2+2ab+b2=64=4×16=4（ab-c2）=4ab-4c2，即（a-b）2+4c2=0
∴a=b，c=0
又∵a+b=8
∴a=b=4
∴a+2b+3c=4+2×4+3×0=12
故答案为：12.
【点睛】
本题考查完全平方式与非负数的性质．同学们特别要注意我们一般是将式子用数值来代入，但对于本题是将数值16用ab-c2来代入．
18．观察下边各式，你发现什么规律：将你猜想到的规律用只含有一个字母的等式表示出来__________.
1×3=22-13×5=42-15×7=62-17×9=82-1......13×15=195=142-1
【答案】（2n-1）（2n+1）=（2n）2-1．
【解析】
【分析】
利用（2×1-1）（2×1+1）=（2×1）2-1；（2×2-1）×（2×2+1）=（2×2）2-1；（2×3-1）×（2×3+1）=（2×3）2-1，则可以得出第n个等式为（2n-1）（2n+1）=（2n）2-1．
【详解】
∵（2×1-1）（2×1+1）=（2×1）2-1；
（2×2-1）×（2×2+1）=（2×2）2-1；
（2×3-1）×（2×3+1）=（2×3）2-1；
∴第n个等式为（2n-1）（2n+1）=（2n）2-1．
故答案为：（2n-1）（2n+1）=（2n）2-1．
【点睛】
本题主要考查了数字变化类，解决此类探究性问题，关键在观察、分析已知数据，寻找它们之间的相互联系，探寻其规律．根据题中所给的材料获取所需的信息和解题方法是需要掌握的基本技能．

三、解答题：（本题共6小题，共96分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
19．如图，在边长为的正方形中，剪去一个边长为的小正方形（），将余下的部分拼成一个梯形，根据两个图形中阴影部分面积关系，解决下列问题：
（1）如图①所示，阴影部分的面积为 （写成平方差形式）．

（2）如图②所示，梯形的上底是 ，下底是 ，高是 ，根据梯形面积公式可以算出面积是 （写成多项式乘法的形式）．

（3）根据前面两问，可以得到公式 ．
（4）运用你所得到的公式计算： ．
【答案】（1）；（2）；（3）；（4）2000．
【分析】
（1）由大正方形减去小正方形的面积，即可得到答案；
（2）由梯形的定义，以及梯形的面积公式，即可得到答案；
（3）联合（1）（2），即可得到答案；
（4）直接利用平方差公式进行计算，即可得到答案．
【详解】
解：（1）大正方形的面积为：，
小正方形的面积为：，
∴阴影部分的面积为：；
故答案为：；
（2）由梯形的定义可知：
上底是：，下底是：，高是：，
∴梯形的面积为：；
故答案为：；
（3）由（1）（2）可知，
；
故答案为：；
（4）
=
=
=2000；
【点睛】
本题考查了平方差公式的几何意义的知识点，解题的关键是熟练掌握平方差公式的运用，注意运用了数形结合的数学思想进行解题．
20．从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）．
(1)上述操作能验证的等式是 ；（请选择正确的一个）
A、 B、 C、
(2)若，求的值；
(3)计算：．

【答案】（1）A；（2）4；（3）
【分析】
（1）观察图1与图2，根据图1中阴影部分面积，图2中长方形面积，得到验证平方差公式；
（2）已知第一个等式左边利用平方差公式化简，将第二个等式代入求出所求式子的值即可；
（3）先利用平方差公式变形，再约分即可得到结果．
【详解】
解：（1）根据图形得：图1中阴影部分面积，图2中长方形面积，
上述操作能验证的等式是，
故答案为： A；
（2），，
；
（3）



．
【点睛】
此题考查了平方差公式的几何背景以及因式分解法的运用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解本题的关键，注意此类题目每一步都为后续解题提供了解题条件或方法．
21．因为，所以．这说明能被整除，同时也说明多项式有一个因式为；另外，当多项式的值为．阅读上述材料回答问题：
（1）由可知，当_时，多项式的值为；
（2）一般地，如果一个关于字母的多项式当时，的值为，那么与代数式之间有一定的关系，这种关系是：_____；
（3）已知关于的多项式能被整除，试求的值．
【答案】（1）2或－1；（2）多项式M能被整除；（3）k的值为3
【分析】
（1）根据题意可知当因式或的值为0时，多项式的值为0，由此可得答案；
（2）当时，的值为，由此可判断是多项式M的一个因式；
（3）根据题意可知是多项式的一个因式，结合（1）（2）两问可知当时，，由此可得k的值．
【详解】
解：（1）∵，
∴当或时，，
即：当或时，，
故答案为：2或－1；
（2）根据题意可知：是多项式M的一个因式，
故答案为：多项式M能被整除；
（3）根据题意可知：当时，，
即：当时，，
则，
解得，
答：k的值为3．
【点睛】
本题考查了整式的除法，是一道推理题，掌握好整式的除法法则是解题的关键．
22．[知识生成]通常，用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．
例如：如图①是一个长为，宽为的长方形，沿图中虚线用剪刀均分成四个小长方形，然后按图②的形状拼成一个正方形．请解答下列问题：

（1）图②中阴影部分的正方形的边长是________________；
（2）请用两种不同的方法求图②中阴影部分的面积：
方法1:________________________；方法2：_______________________；
（3）观察图②，请你写出（a+b）2、、之间的等量关系是____________________________________________；
（4）根据（3）中的等量关系解决如下问题:若，，则=
[知识迁移]
类似地，用两种不同的方法计算同一几何体的体积，也可以得到一个恒等式．
（5）根据图③，写出一个代数恒等式：____________________________；
（6）已知，，利用上面的规律求的值．
【答案】（1） a-b；（2）； ； （3）；（4） 14；（5） （a+b）3=a3+b3+3a2b+3ab2；（6） 9．
【分析】
（1）由图直接求得边长即可，
（2）已知边长直接求面积，阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，可得答案，
（3）利用面积相等推导公式；
（4）利用（3）中的公式求解即可，
（5）利用体积相等推导；
（6）应用（5）中的公式即可．
【详解】
解：（1）由图直接求得阴影边长为a-b；
故答案为：a-b；

（2）方法一：已知边长直接求面积为；
方法二：阴影面积是大正方形面积减去四个长方形面积，
∴面积为；
故答案为；；
（3）由阴影部分面积相等可得；
故答案为：
（4）由，
可得，
∵，
∴ ，
∴ ；
故答案为；
（5）方法一：正方体棱长为a+b， ∴体积为，

方法二：正方体体积是长方体和小正方体的体积和，
即，
∴；
故答案为；
（6）∵；
将a+b=3，ab=1，代入得：

；

【点睛】
本题考查完全平方公式的几何意义；同时考查对公式的熟练的应用，能够由面积相等，过渡到利用体积相等推导公式是解题的关键．
23．把代数式通过配凑等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．
如：①用配方法分解因式：a2+6a+8，
解：原式=a2+6a+8+1-1=a2+6a+9-1
=(a+3)2－12=
②M=a2-2a－1，利用配方法求M的最小值．
解：
∵(a-b)2≥0，∴当a=1时，M有最小值－2．
请根据上述材料解决下列问题：
（1）用配方法因式分解：．
（2）若，求M的最小值．
（3）已知x2+2y2+z2-2xy-2y-4z+5=0，求x+y+z的值．
【答案】（1）；（2）；（3）4．
【分析】
（1）根据配方法，配凑出一个完全平方公式，再利用公式法进行因式分解即可；
（2）先利用配方法，配凑出一个完全平方公式，再根据偶次方的非负性求解即可；
（3）先利用配方法进行因式分解，再利用偶次方的非负性求出x、y、z的值，然后代入求解即可．
【详解】
（1）原式



；
（2）




当时，有最小值；
（3）




解得
则．
【点睛】
本题考查了利用配方法进行因式分解、偶次方的非负性等知识点，读懂题意，掌握配方法是解题关键．
24．阅读下列材料，解答下列问题：
材料一：一个三位以上的自然数，如果该自然数的末三位表示的数与末三位之前的数字表示的数之差是11的倍数，我们称满足此特征的数叫“网红数”，如：65362，362﹣65＝297＝11×27，称65362是“网红数”．
材料二：对任的自然数p均可分解为P＝100x+10y+z（x≥0，0≤y≤9，0≤z≤9且x、y，z均为整数）如：5278＝52×100+10×7+8，规定：G（P）＝．
（1）求证：任两个“网红数”之和一定能被11整除；
（2）已知：S＝300+10b+a，t＝1000b+100a+1142（1≤a≤7，0≤b≤5，其a、b均为整数），当s+t为“网红数”时，求G（t）的最大值．
【答案】（1）见解析；（2）39
【分析】
（1）设两个“网红数”为，，（n、b表示末三位表示的数，m、a表示末三位之前的数字），则n﹣m＝11k，b﹣a＝11h，所以+＝1001m+1001a+11（k+h）＝11（91m+91n+h+k），即可证明；
（2）s＝3×100+10b+a，t＝1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2，所以s+t＝1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2；①当1≤a≤5时，s+t＝，则﹣（b+1）能被11整除，即101a+9b+441＝11×9a+2a+11b﹣2b+40×11+1能被11整除，由已知可得﹣7≤2a﹣2b+1≤11，求出a＝5，b＝0；②当6≤a≤7时，s+t＝，则﹣（b+2）能被11整除，所以101a+9b﹣560＝11×9a+2a+11b﹣2b﹣51×11+1能被11整除，可得3≤2a﹣2b+1≤15，求出a＝6，b＝1或a＝7，b＝2，分别求出相应的G（t）值即可．
【详解】
解：（1）设两个“网红数”为，，（n、b表示末三位表示的数，m、a表示末三位之前的数字），
∴n﹣m＝11k，b﹣a＝11h，
∵+＝1001m+1001a+11（k+h）＝11（91m+91n+h+k），
∴m、a、k、h都是整数，
∴91m+91n+h+k为整数，
∴任两个“网红数”之和一定能被11整除；
（2）s＝3×100+10b+a，t＝1000（b+1）+100（a+1）+4×10+2，
∴s+t＝1000（b+1）+100（a+4）+10（b+4）+a+2，
①当1≤a≤5时，s+t＝，
则﹣（b+1）能被11整除，
∴101a+9b+441＝11×9a+2a+11b﹣2b+40×11+1能被11整除，
∴2a﹣2b+1能被11整除，
∵1≤a≤5，0≤b≤5，
∴﹣7≤2a﹣2b+1≤11，
∴2a﹣2b+1＝0或11，
∴a＝5，b＝0，
∴t＝1642，G（1642）＝17.25；
②当6≤a≤7时，s+t＝，
则﹣（b+2）能被11整除，
∴101a+9b﹣560＝11×9a+2a+11b﹣2b﹣51×11+1能被11整除，
∴2a﹣2b+1能被11整除，
∵6≤a≤7，0≤b≤5，
∴3≤2a﹣2b+1≤15，
∴2a﹣2b+1＝11，
∴a＝6，b＝1或a＝7，b＝2，
∴t＝2742或3842，
∴G（2742）＝28或G（3842）＝39，
∴G（t）的最大值39．
【点睛】
此题主要考查新定义运算的应用，解题的关键根据题意理解“网红数”的定义及因式分解的应用．