苏科版七年级下册9.3 多项式乘多项式达标测试

9.3  多项式乘多项式（2）

一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1．已知均为负数，，，则与的大小关系是（  ）

A． B． C． D．无法确定

【答案】C

【分析】

根据换元法将，设，，则，，作差即可求得大小关系.

【详解】

设，，

则，

，

由于均为负数

所以为负数，则，

.

故选：C.

【点睛】

本题考查整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键，解答时注意运用整体思想，属难题.

2．如图，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形(正方形和正方形)．3个阴影部分的面积满足，则长方形的面积为(　　)

A．100 B．96 C．90 D．86

【答案】C

【分析】

设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得，，的长、宽及面积如何表示，根据，可整体求得的值，即长方形的面积．

【详解】

解：设长方形的长为，宽为，则由已知及图形可得：

的长为：，宽为：，故

的长为：，宽为：，故；

的长为：，宽为：，故．

∵，

整理得

故选：．

【点睛】

本题考查借助几何图形，考查了整式的混合运算，根据所给图形，数形结合，正确表示出相关图形的长度和面积，是解题的关键．

3．若的计算结果中不含x的一次项，则m的值是（    ）

A．1 B．-1 C．2 D．-2．

【答案】A

【解析】

【分析】

根据多项式相乘展开可计算出结果.

【详解】

=x2+(m-1)x-m，而计算结果不含x项，则m-1=0，得m=1.

【点睛】

本题考查多项式相乘展开系数问题.

4．如图是用4个相同的小矩形与1个小正方形密铺而成的正方形图案，已知该图案的面积为，小正方形的面积为4，若用表示小矩形的两边长，请观察图案，指出以下关系式中不正确的是（ ）

A．    B．

C．    D．

【答案】C

【解析】

试题分析：根据正方形、长方形的面积公式结合完全平方公式分析各选项即可.

由图可得，

∴，，，

∴，

∴，

故选C.

考点：完全平方公式，正方形的面积公式，长方形的面积公式

点评：解题的关键是熟练掌握完全平方公式：

5．若计算关于的代数式得的系数为，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用多项式乘以多项式法则将原式化简，根据的系数为3即可求出m的值；

【详解】

原式= ，

∵ 的系数为3，

∴ 1-m=3，

解得m=-2，

故选：B．

【点睛】

本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握运算法则是解题的关键．

6．若，，则的值是（    ）

A． B． C．1 D．9

【答案】A

【分析】

利用多项式乘以多项式法则计算，整理后将已知等式代入计算即可求出值．

【详解】

解：∵x+y=2，xy=-1，
∴（1-2x）（1-2y）=1-2y-2x+4xy=1-2（x+y）+4xy=1-2×2-4=-7；
故选：A．

【点睛】

本题考查了多项式乘多项式，熟练掌握运算法则是解本题的关键．

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

7．我们知道，很多数学知识相互之间都是有联系的．如图，图一是“杨辉三角”数阵，其规律是：从第三行起，每行两端的数都是“1”，其余各数都等于该数“两肩”上的数之和；图二是二项和的乘方的展开式（按b的升幂排列）．经观察：图二中某个二项和的乘方的展开式中，各项的系数与图一中某行的数一一对应，且这种关系可一直对应下去．将的展开式按x的升幂排列得：．

依上述规律，解决下列问题：

（1）若，则______；

（2）若，则__________．

【答案】105    315   

【分析】

（1）根据图形中的规律即可求出（1+x）15的展开式中第三项的系数为前14个数的和；

（2）根据x的特殊值代入要解答，即把x=1代入时，得到结论．

【详解】

解：（1）由图2知：（a+b）1的第三项系数为0，

（a+b）2的第三项的系数为：1，

（a+b）3的第三项的系数为：3=1+2，

（a+b）4的第三项的系数为：6=1+2+3，

…

∴发现（1+x）3的第三项系数为：3=1+2；

（1+x）4的第三项系数为6=1+2+3；

（1+x）5的第三项系数为10=1+2+3+4；

不难发现（1+x）n的第三项系数为1+2+3+…+（n-2）+（n-1），

∴s=1，则a2=1+2+3+…+14=105．

故答案为：105；

（2）∵（s+x）15=a0+a1x+a2x2+…+a15x15．

当x=1，s=2时，a0+a1+a2+…+a15=（2+1）15=315，

答案为：315．

【点睛】

本题考查了完全平方式，也是数字类的规律题，首先根据图形中数字找出对应的规律，再表示展开式：对应（a+b）n中，相同字母a的指数是从高到低，相同字母b的指数是从低到高．

8．（1），________；________．

（2）猜想：________（其中为正整数，且）．

（3）利用（2）猜想的结论计：________．

【答案】               

【分析】

（1）直接利用多项乘以多项式的运算法则，即可求出答案；

（2）利用（1）中的关系，找出规律，即可得到答案.

（3）利用（2）的结论，然后进行化简计算，即可得到答案.

【详解】

解：（1）

=

=；

=

=；

故答案为：，；

（2）∵，

，

，

∴；

故答案为：；

（3）由（2）可知，

∵，

∴，

∴

∴

∴；

故答案为：.

【点睛】

本题考查了整式的数字变化规律，乘方的运算法则，以及平方差公式的知识，解题的关键是熟练掌握运算法则进行化简，从而正确的得到式子的规律.

9．观察下列各式：

(x−1)(x+1)=x²−1

(x−1)(x²+x+1)=x³−1

(x−1)(x³+x²+x+1)=x−1…

根据以上规律， 求1+2+2²+…+__________.

【答案】22018-1

【分析】

把原式进行变形，即原式乘以（2-1）后根据题中的规律可得结果.

【详解】

解：1+2+2²+…+

=（2-1）(1+2+2²+…+)

=22018-1

故答案为：22018-1

【点睛】

本题考查的是算式规律探究问题，根据题意归纳得出一般性规律是解答此题的关键.

10．如图，一个长方形被分成四块：两个小长方形，面积分别为 S1，S2，两个小正方形，面积分别为 S3，S4，若 2S1－S2 的值与 AB 的长度无关，则 S3 与 S4 之间的关系是______.

【答案】S4=4S3

【分析】

把两个小正方形S3、S4的边长分别设为a、b，分别表示出S1，S2，S3，S4的面积，根据与AB长度无关得出a、b的关系，进而得出S3、S4之间的关系.

【详解】

设S3的边长为a，S4的边长为b，则，

∴，

又∵2S1－S2的值与AB的长度无关，

∴2a－b=0，即2a=b，

∴，

∴S4=4S3.

【点睛】

本题考查整式加减中的无关问题，正确掌握做题方法是解题的关键.

三、解答题：（本题共4小题，共50分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）

11．某校为了改善校园环境，准备在长宽如图所示的长方形空地上，修建两横纵宽度均为a米的三条小路，其余部分修建花圃.(1)用含a，b的代数式表示花圃的面积并化简。(2)记长方形空地的面积为S1，花圃的面积为S2,若2S2-S1=7b2,求的值.

【答案】（1）2a2+10ab+8b2；（2）．

【分析】

（1）把三条小路使花圃的面积变为一个矩形的面积，所以花圃的面积=（4a+2b-2a）（2a+4b-a），然后利用展开公式展开合并即可；
（2）利用2S2-S1=7b2得到b=2a，则用a表示S1、S2，然后计算它们的比值．

【详解】

解：（1）平移后图形为：（空白处为花圃的面积）

所以花圃的面积=（4a+2b-2a）（2a+4b-a）
=（2a+2b）（a+4b）
=2a2+8ab+2ab+8b2
=2a2+10ab+8b2；
（2）S1=（4a+2b）（2a+4b）=8a2+20ab+8b2，
S2=2a2+10ab+8b2；
∵2S2-S1=7b2，
∴2（2a2+10ab+8b2）-（8a2+20ab+8b2）=7b2，
∴b2=4a2，
∴b=2a，
∴S1=8a2+40a2+32a2=80a2，S2=2a2+20a2+32a2=54a2，
∴．

【点睛】

本题考查了生活中的平移现象：在平面内，把一个图形整体沿某一的方向移动，这种图形的平行移动，叫做平移变换，简称平移．通过平移把不规则的图形变为规则图形．也考查了代数式．

12．李狗蛋同学在学习整式乘法公式这一节时，发现运用乘法公式在进行一些计算时特别简便，这激发了李狗蛋同学的学习兴趣，他想再探究一些有关整式乘法的公式，便主动查找资料进行学习，以下是他找来的资料题，请你一同跟李狗蛋同学探究一下：

（1）探究：____；

___；

_____；

（2）猜想：______（为正整数，且）；

（3）利用上述猜想的结论计算：的值．

【答案】（1），，；（2）；（3）341

【分析】

（1）根据平方差公式及多项式乘多项式法则计算即可；

（2）根据（1）的答案归纳总结即可；

（3）利用（2）的规律变形为（2）的形式计算即可．

【详解】

解：（1），

，

，

故答案为：，，；

（2）根据（1）的结果可知：，

故答案为：；

（3）原式

．

【点睛】

本题考查了平方差公式及多项式乘以多项式的变化规律，弄清题中的规律是解本题的关键．

13．阅读以下材料：

；

；

（1）根据以上规律，=　　　　 ；

（2）利用（1）的结论，求的值

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）仔细观察上式就可以发现得数中x的指数是式子中x的最高指数减1，根据此规律就可求出本题.

（2）不难看出所求式子是材料中等号左边式子的一个因式，将所求式子转化成

形式，即可利用（1）的结论进行求解.

【详解】

（1）中最高次项为，

所以=-1；

（2）

=（5-1）（）

=

【点睛】

仔细观察式子，总结出运算规律，是解决此类题的关键.

14．下列算式是一类两个两位数相乘的特殊计算方法：

67×63＝100×（62+6）+7×3＝4221，38×32＝100×（32+3）+8×2＝1216．

（1）仿照上面方法计算，求44×46和51×59的值．

（2）观察上述算式我们发现：十位数字相同，个位数字和为10的两个两位数相乘，可以使用上述方法进行计算．如果用a、b分别表示两个两位数的个位数字，c表示十位上的数字．请你用含a、b、c的式子表示上面的规律；

（3）仿照（1）的计算方法，计算552×558．

【答案】（1）2024；3009；（2）（10c+a）×（10c+b）=100（c2+c）+ab.（3）308016.

【分析】

（1）仿照以上方法求出原式的值即可；
（2）根据题示规律列式得：（10c+a）×（10c+b）=100（c2+c）+ab，验证可根据整式乘法展开结合个位数字和为10变形可得；
（3）类比（1）中方法得552×558=100×（552+55）+2×8，计算可得．

【详解】

解：（1）由题意可得，
44×46=100×（42+4）+4×6=2024，
51×59=100×（52+5）+1×9=3009，
故答案为： 2024； 3009.
（2）（10c+a）×（10c+b）=100（c2+c）+ab，
证明如下：
（10c+a）×（10c+b）
=100c2+10bc+10ac+ab
=100c2+10c（b+a）+ab
=100c2+100c+ab
=100（c2+c）+ab；

故答案是：（10c+a）×（10c+b）=100（c2+c）+ab.
（3）552×558
=100×（552+55）+2×8
=308016

【点睛】

本题主要考查整式的混合运算和数字的计算规律，寻找计算规律是前提，并加以运用和推广是关键，主要考查了数学的类比思想，整式的运算是解题的基础．