苏科版七年级下册9.3 多项式乘多项式巩固练习

9.3  多项式乘多项式（1）

一、单项选择题：（本题共6小题，每小题5分，共30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题意要求的.）

1．在矩形内将两张边长分别为和的正方形纸片按图1和图2两种方式放置（图1和图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用面积的和差分别表示出和，然后利用整式的混合运算计算它们的差．

【详解】

解：，

，

．

故选：．

【点睛】

本题考查了整式的混合运算，熟悉相关运算法则是解题的关键．

2．在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为，图2中阴影部分的面积为．当时，的值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【分析】

利用割补法表示出和，然后作差，利用整式的混合运算法则进行化简即可得出结果．

【详解】

解：∵，

，

∴

．

故选：B．

【点睛】

本题考查列代数式和整式的混合运算，解题的关键是掌握利用割补法表示阴影部分面积的方法，以及整式的运算法则．

3．已知在中，、为整数，能使这个因式分解过程成立的的值共有（    ）个

A．4 B．5 C．8 D．10

【答案】B

【分析】

先根据整式的乘法可得，再根据“为整数”进行分析即可得．

【详解】

，

，

，

根据为整数，有以下10种情况：

（1）当时，；

（2）当时，；

（3）当时，；

（4）当时，；

（5）当时，；

（6）当时，；

（7）当时，；

（8）当时，；

（9）当时，；

（10）当时，；

综上，符合条件的m的值为，共有5个，

故选：B．

【点睛】

本题考查了整式的乘法，依据题意，正确分情况讨论是解题关键．

4．观察下列等式：，，，……，利用你发现的规律回答：若，则的值是（   ）

A．－1 B．0 C．1 D．22016

【答案】C

【分析】

先根据已知等式归纳类推出一般规律，再根据求出x的值，然后代入求值即可得．

【详解】

观察等式：，

，

，

归纳类推得：，其中n为大于1的整数，

则，

即，

解得，

则，

故选：C．

【点睛】

本题考查了多项式乘法中的规律性问题、有理数的乘方，依据已知等式，正确归纳类推出一般规律是解题关键．

5．有足够多的如图所示的正方形和长方形卡片，如果要拼成一个长为，宽为的长方形，则需要、、类卡片的张数分别为(    )

A．1、2、3 B．2、1、3 C．1、3、2 D．2、3、1

【答案】B

【分析】

拼成大长方形的面积是(2a+b)(a+b)=2a2+3ab+b2，即需要2个边长为a的正方形，1个边长为b的正方形，3个边长分别为a，b的长方形卡片.

【详解】

解：∵(2a+b)(a+b)

=2a2+2ab+ab+b2

=2a2+3ab+b2

∴需要A、B、C类卡片的张数分别为：2，1，3.

故选：B

【点睛】

本题考查了多项式与多项式的乘法运算，利用各个面积之和等于总面积解决问题，数形结合是解答此题的关键.

6．已知x1，x2，…，x2016均为正数，且满足M＝（x1+x2+…+x2015）（x2+x3+…+x2016），N＝（x1+x2+…+x2016）（x2+x3+…+x2015），则M，N的大小关系是（　　）

A．M＞N B．M＜N C．M＝N D．M≥N

【答案】A

【分析】

设x1+x2+x3+…+x2015=A,对M，N变形后再作差M-N，结果与0比较大小，若大于0，则M>N；若等于0，则M=N；若小于0，则M<N.

【详解】

解：令x2+x3+…+x2015=A，

则N＝（x1+x2+x3+…+x2015+x2016）(x2+x3+…+x2015）

＝（x1+A+x2016）•A

＝x1•A+A2+x2016•A，

M＝（x1+ x2+x3+…+x2015）（x2+x3+…+x2015+x2016）

＝（A+x1）（A+x2016）

＝A2+A•x2016+A•x1+x1•x2016，

∴M－N＝（A2+A•x2016+A•x1+x1•x2016）－（x1•A+A2+x2016•A）

＝x1•x2016，

∵x1，x2，…，x2016均为正数，

∴x1•x2016＞0，

∴M＞N，

故选：A．

【点睛】

本题主要考察整式的混合运算，通过对x2+x3+…+x2015=A进行换元，对整个式子化简后作差再与0比较大小，能想到换元法是解决本题的关键.

二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）

7．若的积不含项，则___________．

【答案】

【分析】

先利用多项式乘多项式法则，展开合并后得到，根据题意得，即可求解a．

【详解】

解：

=

=

∵的积不含项，

∴，

解得：，

故答案为：．

【点睛】

本题考查多项式乘多项式，掌握多项式乘多项式的运算法则是解题的关键．

8．若，其中均为整数，则m的值为_______．

【答案】或

【分析】

先根据整式的乘法运算可得，再根据“均为整数”分情况求解即可得．

【详解】

，

，

，

，

均为整数，

分以下8种情况：

①当时，，

②当时，，

③当时，，

④当时，，

⑤当时，，

⑥当时，，

⑦当时，，

⑧当时，，

综上，m的值为或，

故答案为：或．

【点睛】

本题考查了整式的乘法运算，熟练掌握运算法则，并正确分情况讨论是解题关键．

9．如果.那么_________

【答案】-1

【分析】

根据得到，再把原式变形，然后把整体代入求值即可得解.

【详解】

解：，

故答案为-1

【点睛】

本题考查了整式的化简求值，解题关键是把原条件变形后整体代入所求算式的变形式中计算.

10．如图是我国古代数学家杨辉最早发现的，称为“杨辉三角”，他的发现比西方要早五百年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．“杨辉三角”中有许多规律，如它的每一行的数字正好对应了（为非负整数）的展开式中按次数从大到小排列的项的系数，例如：展开式中的系数1，2，1恰好对应图中第三行的数字；展开式中的系数1，3，3，1恰好对应图中第四行的数字……．请认真观察此图，根据前面各式的规律，写出的展开式：______．

【答案】a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5

【分析】

利用已知各项系数变化规律进而得出答案．

【详解】

解：可得：（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4；
则（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．
故答案为：a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5．

【点睛】

本题考查了数字的规律变化，要求学生通过观察数字，分析、归纳并发现其中的规律，并应用规律解决问题是解题的关键．

三、解答题

11．好学的小东同学，在学习多项式乘以多项式时发现：的结果是一个多项式，并且最高次项为：，常数项为：，那么一次项是多少呢？要解决这个问题，就是要确定该一次项的系数．根据尝试和总结他发现：一次项系数就是：，即一次项为．

请你认真领会小东同学解决问题的思路，方法，仔细分析上面等式的结构特征．结合自己对多项式乘法法则的理解，解决以下问题．

（1）计算所得多项式的一次项系数为______．

（2）若计算所得多项式不含一次项，求的值；

（3）若，则______．

【答案】（1）-11；（2）；（3）2021．

【分析】

根据题意可得出结论多项式和多项式相乘所得结果的一次项系数是每个多项式的一次项系数分别乘以其他多项式的常数项后相加所得．

（1）中每个多项式的一次项系数分别是1、3、5，常数项分别是2、1、-3，再根据结论即可求出所得多项式的一次项系数．

（2）中每个多项式的一次项系数分别是1、-3、2，常数项分别是1、a、-1，再根据所得多项式的一次项系数为0，结合结论即可列关于a的一元一次方程，从而求出a．

（3）中每个多项式一次项系数为1，常数项系数也为1，为所得多项式的一次项系数．所以根据结论为2121个相加，即可得出结果．

【详解】

（1）根据题意可知的一次项系数为：

．

故答案为-11．

（2）根据题意可知的一次项系数为：

∵该多项式不含一次项，即一次项系数为0，

∴

解得．

（3）根据题意可知即为所得多项式的一次项系数．

∴

故答案为2021

【点睛】

本题考查多项式乘多项式以及对多项式中一次项系数的理解，根据题意找出多项式乘多项式所得结果的一次项系数与多项式乘多项式中每个多项式的一次项系数和常数项关系规律是解题关键．

12．（感悟数学方法）

已知：，．

（1）计算：；

（2）若的值与字母的取值无关，求的值．

（解决实际问题）请利用上述问题中的数学方法解决下面问题：

新冠疫情期间，某医药器材经销商计划同时购进一批甲、乙两种型号的口罩．已知甲型号口罩每箱进价为800元，乙型号口罩每箱进价为600元．该医药公司根据疫情，决定购进两种口罩共20箱，有多种购进方案，现销售一箱甲型口罩，利润率为45%，乙型口罩的售价为每箱1000元．而且为了及时控制疫情，公司决定每售出一箱乙型口罩，返还顾客现金元，甲型口罩售价不变，要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，求的值．

【答案】感悟数学方法：（1）；（2）；解决实际问题：．

【分析】

感悟数学方法：（1）将A、B的值代入计算整式的加减即可得；

（2）根据“值与字母的取值无关”建立方程，再解方程即可得；

解决实际问题：设经销商购进甲型口罩箱，从而可得购进乙型口罩箱，再根据题意列出利润的表达式，然后参照（2）的方法求解即可得．

【详解】

感悟数学方法：（1），，

，

，

；

（2），

的值与字母的取值无关，

，

解得；

解决实际问题：设经销商购进甲型口罩箱，则购进乙型口罩箱，

则经销商的利润为，

，

，

要使不同方案所购进的口罩全部售出后经销商最终获利相同，

则，

解得．

【点睛】

本题考查了整式乘法与加减法的应用、以及无关型问题、一元一次方程的应用，正确列出利润的表达式是解题关键．

13．我国古代数学的许多发现都曾位居世界前列，其中“杨辉三角”就是一例．如图，这个三角形的构造法则：两腰上的数都是1，其余每个数均为其上方左右两数之和，它给出了（a+b）n（n为正整数）的展开式（按a的次数由大到小的顺序排列）的系数规律．例如，在三角形中第三行的三个数1，2，1，恰好对应（a+b）2＝a2+2ab+b2展开式中的系数；第四行的四个数1，3，3，1，恰好对应着（a+b）3＝a3+3a2b+3ab2+b2展开式中的系数等等．

（1）根据上面的规律，则（a+b）5的展开式＝　                       　．

（2）的展开式共有______项，系数和为_______．

（3）利用上面的规律计算：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1．

（4）运用：若今天是星期二，经过8100天后是星期                  ．

【答案】（1）a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；（2）；（3）1；（4）三

【分析】

（1）根据得出的系数规律，将原式展开即可；

（2）直接根据得出的规律即可求解；

（3）利用规律计算原式即可得到结果；

（4）由8100，根据得出的规律即可求解．

【详解】

解：（1）（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5；

（2）∵的展开式是按照a的指数从n到0进行降幂排列，

∴的展开式共有项，从规律可发现系数和为；

（3）令（1）中a=2，b=-1，得：25﹣5×24+10×23﹣10×22+5×2﹣1=（2-1）5=1；

（4）8100

根据规律可知，除以7余数为1，

∴若今天是星期二，经过8100天后是星期三．

【点睛】

此题考查了完全平方公式，找出题中的规律是解本题的关键．

14．已知：               

（1）当时，______．

（2）试求：的值．

（3）判断的值的个位数是______．

【答案】（1）80；（2）63；（3）7．

【分析】

（1）根据有理数的乘方运算法则即可得；

（2）先根据已知等式归纳类推出一般规律，再将代入求值即可得；

（3）先根据一般规律可求出结果，再根据有理数的乘方即可得．

【详解】

（1），

故答案为：80；

（2）归纳类推得：，其中，且为整数，

则，

，

；

（3），

，

∵，，，，，，且，

∴的个位数与的个位数相同，即为8，

∴的个位数为7，

即的值的个位数为7，

故答案为：7．

【点睛】

本题考查了有理数的乘方、整式乘法的规律性问题等知识点，根据已知等式，正确归纳类推出一般规律是解题关键．