2022年山东省济宁市高考数学三模试卷（含答案解析）

2022年山东省济宁市高考数学三模试卷

1. 已知集合，，则

A.  B.  C.  D.

2. 已知i为虚数单位，复数z满足，则z的虚部为

A. 1 B.  C.  D.

3. 已知双曲线C：的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线C的离心率为

A.  B.  C. 2 D.

4. 随着北京冬奥会的开幕，吉祥物“冰墩墩”火遍国内外，现有3个完全相同的“冰墩墩”，甲、乙、丙、丁4位运动员要与这3个“冰墩墩”站成一排拍照留念，则有且只有2个“冰墩墩”相邻的排队方法数为

A. 240 B. 480 C. 1440 D. 2880

5. 已知二次函数的值域为则的最小值为

A.  B. 3 C.  D. 4

6. 已知，则

A.  B.  C.  D.

7. 若一个正六棱柱既有外接球又有内切球，则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为

A. 2：1 B. 3：2 C. 7：3 D. 7：4

8. 若函数为偶函数，对任意的，且，都有，则

A.  B.
C.  D.

9. 在某市高三年级举行的一次模拟考试中，某学科共有20000人参加考试．为了了解本次考试学生成绩情况，从中抽取了部分学生的成绩成绩均为正整数，满分为100分作为样本进行统计，样本容量为按照的分组作出频率分布直方图如图所示．其中，成绩落在区间内的人数为则下列结论正确的是

A. 样本容量
B. 图中
C. 估计该市全体学生成绩的平均分为分
D. 该市要对成绩由高到低前的学生授子“优秀学生”称号，则成绩为78分的学生肯定能得到此称号

10. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是

A. 函数的图象可由的图象向左平移个单位得到
B. 是图象的一条对称轴
C. 若，则的最小值为
D. 直线与函数在上的图象有7个交点

11. 已知直线与圆交于A，B两点，且为锐角其中O为坐标原点，则实数b的取值可以是

A. 5 B. 6 C. 7 D. 8

12. 已知正项数列的前n项和为，若，，数列的前n项和为，则下列结论正确的是

A. 是等差数列
B.
C.
D. 满足的n的最小正整数解为10

13. 设随机变量，若，则______.
14. 已知函数，则______.
15. 在边长为4的等边中，已知，点P在线段CD上，且，则______.
16. 已知抛物线C：的焦点为F，过点F的直线l与抛物线交于A，B两点，且，则______；设点M是抛物线C上的任意一点，点N是C的对称轴与准线的交点，则的最大值为______.
17. 已知函数
    求函数的最小正周期；
    在锐角中，若，，，求的面积．
18. 已知等差数列的前n项和为，且，，数列满足…
    求数列和的通项公式；
    记，求数列的前3n项和．
19. 如图1，在平行四边形ABCD中，，，，以对角线BD为折痕把折起，使点A到达图2所示点P的位置，且
    
    求证：；
    若点E在线段PC上，且二面角的大小为，求三棱锥的体积．
20. 某娱乐节目闯关游戏共有三关，游戏规则如下：选手依次参加第一、二、三关，每关闯关成功可获得的奖金分别为600元、900元、1500元，奖金可累加；若某关闯关成功，选手可以选择结束闯关游戏并获得相应奖金，也可以选择继续闯关；若有任何一关闯关失败，则连同前面所得奖金全部归零，闯关游戏结束，选手小李参加该闯关游戏，已知他第一、二、三关闯关成功的概率分别为，，，第一关闯关成功选择继续闯关的概率为，第二关闯关成功选择继续闯关的概率为，且每关闯关成功与否互不影响．
    求小李第一关闯关成功，但所得总奖金为零的概率；
    设小李所得总奖金为X，求随机变量X的分布列及其数学期望．
21. 已知椭圆E：的左、右顶点分别为A、B，点F是椭圆E的右焦点，点Q在椭圆E上，且的最大值为3，椭圆E的离心率为
    求椭圆E的方程；
    若过点A的直线与椭圆E交于另一点异于点，与直线交于一点M，的角平分线与直线交于点N，求证：点N是线段BM的中点．
22. 已知函数，
    当时，证明：；
    若函数在内有零点，求实数a的取值范围．
    

答案和解析

1.【答案】C

【解析】解：集合，，
则
故选：
求出集合A，B，利用交集定义直接求解．
本题考查集合的运算，考查交集定义、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】D

【解析】解：，
，
的虚部为
故选：
结合复数的四则运算，以及虚部的定义，即可求解．
本题主要考查复数的四则运算，以及虚部的定义，属于基础题．
 

3.【答案】A

【解析】解：由双曲线的方程可得渐近线的方程为：，
因为直线的斜率，由题意可得，可得，
所以双曲线的离心率，
故选：
由双曲线的方程可得渐近线的方程，由题意可得渐近线的斜率的值，即求出a，b的关系，进而求出双曲线的离心率．
本题考查双曲线的性质的应用及直线互相垂直的性质的应用，属于基础题．
 

4.【答案】B

【解析】解：因为3个“冰墩墩”完全相同，将其中2个“冰墩墩”捆绑，记为元素a，另外1个“冰墩墩”记为元素b，先将甲、乙、丙、丁4位运动员全排列，然后将a、b元素插入这4位运动员所形成的空中且a、b元素不相邻，则不同的排法种数为
故选：
将其中2个“冰墩墩”捆绑，记为元素a，另外1个“冰墩墩”记为元素b，将a、b元素插入这4位运动员所形成的空中，结合插空法可求得结果．
本题考查排列组合及简单计数原理，属于基础题，插空法是关键．
 

5.【答案】B

【解析】解：的值域为
，且
，即且
整理得：①．
将①式代入，得到

，当且仅当时，取得最小值．
最小值为
故选：
根据二次函数的值域确定a和c的关系表达式，利用消元法消去a，再利用基本不等式求最小值即可．
考查二次函数的值域，和基本不等式求最值，属于中档题．
 

6.【答案】D

【解析】解：因为，
所以
故选：
由已知利用诱导公式以及二倍角的余弦公式即可求解．
本题考查了诱导公式以及二倍角的余弦公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
 

7.【答案】C

【解析】解：如图：，分别为底面中心，O为的中点，D为AB的中点，

设正六棱柱的底面边长为2，
若正六棱柱有内切球，则，
即内切球的半径，，即外接球的半径，
则该正六棱柱的外接球和内切球的表面积的比值为：：：
故选：
正六棱柱有内切球，则O到每个面的距离相等，即，可求内切球的半径，根据可求外接球的半径，代入球的面积公式计算．
本题考查了正六棱柱的外接球和内切球的表面积的计算，属于中档题．
 

8.【答案】A

【解析】解：由对，且，都有，
函数在上递减，
又函数为偶函数，函数关于对称，
，
，，
，
，
，
，
，
，

故选：
由题意可得函数在上递减，且关于对称，则，利用作差法比较三者之间的大小关系，再根据函数的单调性能求出结果．
本题考查命题真假的判断，考查函数的单调性、奇偶性、作差比较法、对数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

9.【答案】ABC

【解析】解：对于A：因为成绩落在区间内的人数为16，所以样本容量，故A正确；
对于B：因为，解得，故B正确；
对于C：学生成绩平均分为：，故C正确；
对于D：因为，即按照成绩由高到低前的学生中不含78分的学生，所以成绩为78分的学生不能得到此称号，故D不正确．
故选：
根据频率，频数和样本容量之间的关系即可判断A；根据频率之和等于1，即可判断B；根据频率分布直方图平均数的求解方法即可判断C；根据题意得，即可判断
本题考查由频率分布直方图求频数、频率、平均数，考查频率公式，频率分布直方图坐标轴的应用，属于基础题．
 

10.【答案】BCD

【解析】解：由图象知，可得，，
又函数在取得最大值1，所以，解得，
故函数解析式为，
函数的图象可由的图象向左平移个单位得到，故A错误；
，所以是图象的一条对称轴，故B正确；
若，则的最小值为，故C正确；
函数在有3个完整周期，每个周期有2个交点，
在上有一个交点，故直线与函数在上的图象有7个交点，故D正确；
故选：
利用正弦型函数的图象可求得函数解析式，再结合各个选项判断．
本题以命题的真假判断为载体，考查了函数的性质，属于中档题．
 

11.【答案】BC

【解析】解：直线与圆相交于A，B两点，且为锐角三角形，，.
圆心到直线的距离且，或
故选：
由直线与圆相交于A，B两点，且为锐角，可得，圆心到直线与的距离，由点到直线的距离公式列式得b的范围．
本题考查了直线与圆相交问题，考查点到直线的距离公式的应用，属于中档题．
 

12.【答案】ACD

【解析】解：因为，
当时，，解得，
当时，，即，
整理得，
所以数列是首项为，公差为1的等差数列，
所以，
又正项数列的前n项和为，所以，故A正确；
当时，解得，
当时，，即，
又，
所以，
因为，
所以，即，故B不正确：
因为，即，令，
所以原不等式为：，即，
令，
所以，当时，恒成立，
所以在单调递增，
所以，所以成立，故C正确；
因为，所以，
所以，
所以
，
因为，
即，
化简整理得：，
当时，，当时，，
所以满足的n的最小正整数解为10，故D正确．
故选：
根据题意得，整理得，即可判断A；由A知，，所以，即可判断B；因为，即，令，即，构造函数，求解判断即可；根据题意得，求和得，再根据题意求解判断即可．
本题考查了数列的递推关系以及数列与函数的综合，属于中档题．
 

13.【答案】

【解析】解：，，
，

故答案为：
根据已知条件，结合正态分布的对称性，即可求解．
本题主要考查正态分布的对称性，属于基础题．
 

14.【答案】

【解析】解：



以此类推得：


故答案为：
注意分段函数各段的定义域，把2020代入对应的解析式求值．
本题考查复合函数求值问题，注意每段解析式所对应的定义域．
 

15.【答案】

【解析】解：，
，
，P，C三点共线，，，
为边长为4的等边三角形，
，
，
故答案为：
利用三点共线的性质求出，再利用向量的求模公式求解即可．
本题考查三点共线的性质，向量的求模公式，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：过AB分别向准线作垂线，垂足分别为，，取AB中点E，过E，F向准线作垂线，垂足为，，

，则可得，，可得，
可得F是BE的中点，可得，所以，
所以，，，
，
，
的最大值为
故答案为：；
过AB分别向准线作垂线，垂足分别为，，取AB中点E，过E，F向准线作垂线，垂足为，，利用几何法可得，可求p，设，可得，计算可得最大值．
本题考查抛物线的几何性质，考查最大值的求法，属中档题．
 

17.【答案】解：因为

所以，函数的最小正周期为
解：因为，所以，，
因为，则，，可得，
由余弦定理可得，
即，因为，解得，
此时，AB为最长边，角C为最大角，此时，则角C为锐角，
所以，

【解析】利用三角恒等变换化简函数解析式为，利用正弦型函数的周期公式可求得函数的最小正周期；
由已知条件结合角A的取值范围可求得角A的值，利用余弦定理可求得AB边的长，再利用三角形的面积公式可求得结果．
本题考查三角函数的求值，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

18.【答案】解：设等差数列的公差为d，则，解得，
所以，，
当时，，
当时，，
可得，
上述两个等式作差可得，
也满足，故对任意的
解：由可得，
设，
所以，，
所以，数列是等比数列，且首项为，公比为8，
因此，数列的前3n项和为

【解析】设等差数列的公差为d，根据题意可得出关于、d的方程组，解出这两个量的值，可得出数列的通项公式，利用前n项和与通项的关系可求得数列的通项公式；
设，推导出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求得数列的前3n项和．
本题考查了等差数列与等比数列的综合计算，属于中档题．
 

19.【答案】证明：在中，由，，，
得，
，即，则，
又，，，
，，
又，平面BDC，而平面BDC，
；
解：作于G，则平面BDC，
作于F，连接EF，
可得，即为二面角的平面角，大小为
，又，：：BC，
而EG：：DC，则FG：：DC，
，可得，
又，
，
故三棱锥的体积为

【解析】由已知求解三角形证明，可得，再由勾股定理证明，可得平面BDC，从而得到；
作于G，则平面BDC，作于F，连接EF，可得为二面角的平面角，大小为，再由平行线截线段成比例可得，得到，求出三角形BDC的面积，再由棱锥体积公式求棱锥的体积．
本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查空间想象能力与思维能力，训练了多面体体积的求法，是中档题．
 

20.【答案】解：设“小李第i关闯关成功”为事件 ，
“小李第一关闯关成功，选择继续闯关”为事件，“小李第二关闯关成功，选择继续闯关”为事件，
设“小李第一次闯关成功，选择继续闯关”为事件，
则
随机变量X的所有可能取值为0，600，1500，3000，
，
，
，
，
故X的分布列为：

故

【解析】根据已知条件，分别求出小李在第二次闯关，在第三次闯关失败的概率，并求和，即可求解．
随机变量X的所有可能取值为0，600，1500，3000，分别求出对应的概率，再结合期望公式，即可求解．
本题主要考查离散型随机变量分布列的求解，考查期望公式的应用，属于中档题．
 

21.【答案】解：由已知可得，解得，
因此，椭圆E的方程为
证明：由对称性，不妨设点P在x轴上方．
①当直线PF的斜率存在时，因为的角平分线为FN，所以，，
所以，，即，
设直线AP的方程为，其中，
联立可得，
设点，则，所以，
则，即点，
所以，，
设直线FN的方程为，则点、，
因为，则，整理可得，
因为，所以，，所以，，
所以，点N为线段BM的中点；
②当直线PF的斜率不存在时，不妨设点，
则直线AP的方程为，所以点，
又因为直线FN的方程为，所以点，
所以，点N为线段BM的中点．
综上可知，点N为线段BM的中点．

【解析】由已知条件可得出关于a、b、c的方程组，解出这三个量的值，可得出椭圆E的方程；
设点P在x轴上方，对直线PF的斜率是否存在进行分类讨论，在直线PF的斜率存在时，分析可得，设出直线AP、FN的方程，求出点P、M、N的坐标，由已知条件可得出M、N坐标之间的关系，可证得结论成立；在直线PF的斜率不存在时，直接求出M、N的坐标，即可证得结论成立．
本题主要考查圆锥曲线方程的求解，直线与圆锥曲线的位置关系，韦达定理及其应用等知识，属于中等题．
 

22.【答案】解：证明：当时，，要证，即证，即证，
令，，则，
易知函数在单调递减，在单调递增，
，即得证；
，
令，，则，
①当，即时，，在上单调递增，
又，，
由零点存在性定理可知，存在，使得，
且当时，，，单调递减，当时，，，单调递增，
又，故不存在零点；
②当，即时，，在上单调递减，
又，，
由零点存在性定理可知，存在，使得，
且当时，，，单调递增，当时，，，单调递减，
又，故不存在零点；
③当，即时，由，解得，由，解得，
函数在上单调递减，在上单调递增，
又，令，则，
易知函数在上单调递增，在上单调递减，
，则，
由于，，要使函数在内有零点，则需，即，解得，
综上，实数a的取值范围为

【解析】将代入，问题转化为证明，令，，利用导数求出函数的最小值即可得证；
对函数求导后，令，，然后分，以及讨论得到的单调性及取值情况，进而得到函数的单调性及取值情况，结合零点存在性定理即可得出答案．
本题考查利用导数研究函数的单调性，极值及最值，考查不等式的证明，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．