2022年山东省泰安市高考数学一模(数学)

2022年山东省泰安市高考数学一模(数学)

1.（5分）若复数满足是虚数单位，则

A.  B.  C.  D.

2.（5分）设集合，则

A.  B.
C.  D.

3.（5分）下列选项中，是的必要不充分条件的是

A. ：，：且
B. ：，，：且的图象不过第二象限
C. ：且，：
D. ：，：且在上为增函数

4.（5分）若双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为，则双曲线的离心率为

A.  B.  C.  D.

5.（5分）某食品的保鲜时间单位：小时与储藏温度单位：满足函数关系为自然对数的底数，，为常数若该食品在的保鲜时间是小时，在的保鲜时间是小时，则该食品在的保鲜时间是     

A. 小时 B. 小时
C. 小时 D. 小时

6.（5分）已知，则

A.  B.  C.  D.

7.（5分）已知抛物线：的焦点为，点在抛物线上，射线与轴交于点与抛物线的准线交于点，，则的值等于

A.  B.  C.  D.

8.（5分）已知数列是首项为，公差为的等差数列，数列满足若对任意的，都有成立，则实数的取值范围是

A.  B.
C.  D.

9.（5分）某工厂研究某种产品的产量单位：吨与需求某种材料单位：吨之间的相关关系，在生产过程中收集了组数据如表所示

根据表中的数据可得回归直线方程，则以下正确的是

A. 变量与正相关 B. 与的相关系数
C.  D. 产量为吨时预测所需材料约为吨

10.（5分）已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是

A. 的图象关于对称
B. 在上单调递减
C. 的解为
D. 方程在上有个解

11.（5分）如图，在直三棱柱中，，，是棱的中点，，点在上，且，则下列结论正确的是
 

A. 直线与所成角为
B. 三棱锥的体积为
C. 平面
D. 直三棱柱外接球的表面积为

12.（5分）已知函数，，，则下列结论正确的是

A. 在上单调递增
B. 当时，方程有且只有个不同实根
C. 的值域为
D. 若对于任意的，都有成立，则

13.（5分）在的展开式中，含的项的系数是__________.

14.（5分）如图，在四边形中，，为边的中点，若，则__________. 
 

15.（5分）随着时代发展和社会进步，教师职业越来越受青睐，考取教师资格证成为不少人的就业规划之一．当前，中小学教师资格考试分笔试和面试两部分．已知某市年共有名考生参加了中小学教师资格考试的笔试，现从中随机抽取人的笔试成绩满分分作为样本，整理得到如下频数分布表：

由频数分布表可认为该市全体考生的笔试成绩近似服从正态分布，其中，近似为名样本考生笔试成绩的平均值同一组的数据用该组区间的中点值代替，则__________若，据此估计该市全体考生中笔试成绩高于的人数结果四舍五入精确到个位为__________.

参考数据：若则，，

16.（5分）已知，是椭圆和双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且设椭圆，双曲线的离心率分别为，，则的最小值为__________.

17.（12分）在中，内角，，所对的边分别为，，，且

求；

若为上一点，且，，求的面积.

18.（12分）已知各项均为正数的等差数列，，，，成等比数列． 
求的通项公式；

设数列满足，为数列的前项和，，求证：Tn log3an+1a1.

19.（12分）如图，在五面体中，已知平面，，且，
 

求证：平面平面；

求二面角的余弦值．

20.（12分）某工厂对一批零件进行质量检测．具体检测方案为：从这批零件中任取件逐一进行检测，当检测到有件不合格零件时，停止检测，此批零件检测未通过，否则检测通过．假设每件零件为不合格零件的概率为，且每件零件是否为不合格零件之间相互独立．

若此批零件检测未通过，求恰好检测次的概率：

已知每件零件的生产成本为元，合格零件的售价为元件，现对不合格零件进行修复，修复后合格的零件正常销售，修复后不合格的零件以元件按废品处理，若每件零件的修复费用为元，每件不合格零件修复后为合格零件的概率为，记为生产一件零件获得的利润，求的分布列和数学期望．

21.（12分）已知椭圆：的左，右焦点分别为，，上，下顶点分别为，，四边形的面积和周长分别为和

求椭圆的方程；

若直线：与椭圆交于，两点，线段的中垂线交轴于点，且为直角三角形，求直线的方程．

22.（12分）已知函数，其中，为非零实数．

当时，求的极值；

讨论的单调性；

若有两个极值点，，且x1 x2，求证；

答案和解析

1.【答案】A

【解析】 
此题主要考查了共轭复数和的复数的四则运算，属于基础题. 
先由复数的运算得出，再由共轭复数可得结果 
 
解：由已知可得 
故选
 

2.【答案】C

【解析】 
此题主要考查并集运算，属于基础题. 
化简，，再由并集运算即可求解.解：或，， 
则 
故选
 

3.【答案】A

【解析】 
 

此题主要考查充要条件的应用，熟悉充要条件的判定方法是解答本题的关键，属于中档题. 
由题意根据必要条件、充分条件和充要条件的定义对四个选项进行一一判断，从而求解． 
 

解：、：且，，，且不能推出，故是的必要不充分条件，正确； 
、：，，且的图象不过第二象限， 
但若，时的图象也不过第二象限， 
是的充分不必要条件，故错误； 
、且，且，，故，但当，时，也成立，是的充分不必要条件，故错误； 
、，且在上为增函数，是的充要条件，故错误. 
故选
 

4.【答案】C

【解析】 
此题主要考查双曲线的简单性质的应用，主要是离心率的求法，考查圆的方程的应用，考查计算能力，属于中档题． 
通过圆的圆心与双曲线的渐近线的距离，列出关系式，然后求解双曲线的离心率即可． 
 
解：双曲线的一条渐近线不妨为：， 
圆即为的圆心，半径为， 
双曲线的一条渐近线被圆所截得的弦长为， 
可得圆心到直线的距离为：， 
解得：， 
由， 
可得，即 
故选：
 

5.【答案】C

【解析】

 
该题考查函数模型的运用，属于一般题． 
由已知中保鲜时间与储藏温度是一种指数型关系，由已知构造方程求出，的值，运用指数幂的运算性质求解即可． 
 
解：为自然对数的底数，，为常数．当时，， 
当时，， 
， 
解得， 
当时，． 
故选C．
 

6.【答案】B

【解析】 
此题主要考查诱导公式及二倍角公式应用，属于基础题. 
将写成，便可以利用诱导公式将原式化为，再利用倍角公式和已知条件代入便可以得到答案.解：， 
则 
， 
故选 
 

 

7.【答案】B

【解析】 
此题主要考查了抛物线的简单性质，属于中档题. 
作出在准线上的射影，根据：确定：的值，进而列方程求得结果．解：依题意点的坐标为，设在准线上的射影为， 
 由抛物线的定义知， 
又， 
，可得， 
则：：，， 
，求得， 
故选 
 
 
 

 

8.【答案】D

【解析】 
此题主要考查的知识要点：数列的递推关系式，数列的通项公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题． 
直接利用数列的递推关系式，数列的通项公式的应用求出结果． 
解：根据题意：数列是首项为，公差为的等差数列， 
所以， 
由于数列满足， 
所以对任意的都成立， 
故数列单调递增，且满足，， 
所以， 
解得 
故选：
 

9.【答案】ACD

【解析】 
此题主要考查线性回归方程的方法和相关系数，明确线性回归方程恒过样本点的中心是关键，属于基础题. 
由，可知，即可判断，由已知求得样本点的中心的坐标，代入线性回归方程即可求得的值，即可判断求得的值再代入，即可判断 
解：， 
则，即，解得，故正确； 
因为，变量与正相关，故正确，错误； 
当时， 吨，故正确. 
故选：
 

10.【答案】AC

【解析】解：由图象上所有点向右平移个单位长度， 
可得，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，可得， 
所以， 
为偶函数，且最小正周期为， 
可得，； 
那么， 
对于：当时，，可得的图象关于对称，A正确； 
对于：令，解得，可知在上不是单调递减，B错误； 
对于：，即，即， 
解得，C正确； 
对于：，即，即 
，即， 
， 
， 
根据余弦函数的图图，可得方程在上有个解．D错误； 
故选：． 
利用函数的图象变换规律，求解的图象，对选项逐项判断即可． 
此题主要考查三角函数的图象和性质，要求熟练掌握函数图象之间的变化关系．属于中档题．
 

11.【答案】ABD

【解析】 
此题主要考查空间几何体的结构特征，考查空间角求法，考查棱锥体积，球的表面积求法，属于中档题. 
依题意，根据空间几何体的结构特征得平面，即可判断；根据体积公式得，即可判断；建立空间直角坐标系，利用空间向量求解，可判断；求出直三棱柱外接球的直径，计算表面积，可判断解：对于，，，是棱的中点， 
直三棱柱， 
，， 
， 
， 
又，，平面， 
平面， 
平面， 
，即直线与所成角为，故正确； 
对于，在直三棱柱中，， 
又，，平面， 
所以平面，又平面，所以， 
则 ，故正确； 
对于，由可知，、、两两垂直， 
 
以点为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系， 
则，， ，， 
因为，所以与不垂直， 
所以不垂直于平面，故错误； 
对于，连接，则线段即为直三棱柱外接球的直径 
 ， 
所以直三棱柱外接球的表面积为， 
故正确. 
故选
 

12.【答案】BCD

【解析】 
此题主要考查与分段函数有关的函数的单调性，值域，函数方程的解，以及含参数的不等式恒成立问题，属于难题. 
对于和，利用导数分别判断的单调性和值域，即可作出结论；对于，当时，在方程中，易知是它的一个根，当时，可直接解方程得知有唯一根，当时，由，得，然后构造函数，利用导数判断其单调性，可知所以方程在上有唯一根；对于，首先由当时，，求出，然后验证时，对，不等式也恒成立即可. 
解：对于，由已知，若，则，， 
可见当时，，所以在上单调递增，这时， 
若，则在上单调递增，但， 
所以不能说在上单调递增，错误； 
对于，因为当时，，所以在内单调递减， 
于是，若，则，这时又若，则综合得知，的值域为正确； 
 对于，当时，在方程中，易知是它的一个根，当时， 
由，得，这时方程有唯一根， 
当时，由，得， 
令，因为， 
所以当时，，这时递增，并且，当时，，这时递减，并且， 
所以方程在上有唯一根， 
综合得知，当时，方程有且只有个不同实根，正确； 
对于，若对于任意的，都有成立， 
则首先有当时，即恒成立， 
令，则，所以在单调递减，所以，从而， 
因此要使在时恒成立，必须，， 
其次，若，则当时，， 
因为，所以， 
从而恒成立，所以这时恒成立， 
综合得知， 正确.
 

13.【答案】

【解析】 
此题主要考查二项式定理的应用，属基础题. 
依题意，根据二项展开式的通项及多项式乘法求解即可.解：的展开式中含的项为 
， 
即含的项的系数是， 
故答案为： 
 

 

14.【答案】  

【解析】 此题主要考查平面向量的线性运算及其平面向量的基本定理，属于基础题. 
根据平面向量线性运算法则将用，表示，再结合平面向量基本定理即可得答案.解：由题有 
， 
又因为， 
根据平面向量基本定理可得 
，，于是， 
故答案为
 

15.【答案】 ; 

【解析】 
此题主要考查正态分布曲线及其性质，属于基础题. 
依据表格中数据可得计算出，根据，由估计该市全体考生中笔试成绩不低于的人数解：由表格中的数据可知， 
 
若， 
所以 
 
由此可估计该市全体考生中笔试成绩不低于的 
人数为人 
 

 

16.【答案】

【解析】 
此题主要考查椭圆以及双曲线得简单性质的应用，涉及余弦定理以及基本不等式的应用，属于较难题. 
设椭圆与双曲线的标准方程分别为：，，设， 
求出，，利用余弦定理，化简的表达式，利用基本不等式求解即可.

解：设椭圆与双曲线的标准方程分别为： 
，， 
， 
设，，， 
则，， 
解得，， 
由，在中， 
由余弦定理可得：， 
， 
化为，

则 
，

当且仅当时等号成立，

故答案为
 

17.【答案】解：在中，因为， 
所以由正弦定理，得， 
即， 
因为，，所以，即， 
因为，所以； 
，， 
在中，， 
， 
又，，， 
又，， 
在中，，解得， 
，， 
 

【解析】此题主要考查解三角形和三角恒等变换，属于一般题. 
利用正弦定理和三角恒等变换求得，即可求； 
由正弦定理求，得，由余弦定理求，得，，由三角形的面积公式即可求解.
 

18.【答案】解：设数列的公差为，则， 
因为，，成等比数列， 
所以由，得， 
整理得， 
解得或舍去， 
，， 
，； 
证明：， 
 
 
 
 
 
 

【解析】此题主要考查对数与对数运算、等差数列的通项公式、等比数列的性质，属于中档题. 
由，求出和，即可求出结果； 
由，得出，利用对数的运算性质即可证出结果.
 

19.【答案】证明：取中点，中点，连接，， 
，且， 
又，， 
，且， 
四边形为平行四边形， 
，且 
平面，平面， 
平面平面， 
， 
 
又平面平面，平面， 
平面， 
平面 
又平面， 
平面平面 
解：由知，，且，平面，平面平面 
以为原点，，所在直线分别为轴，轴，建立如图所示的空间直角坐标系. 
 
则，，，， 
，，， 
设平面的一个法向量为，则， 
，取，解得， 
 
， 
 
又平面平面，平面， 
平面 
为平面的一个法向量， 
， 
由图知所求二面角为锐角， 
二面角的余弦值为

【解析】此题主要考查了面面垂直的判定、二面角和利用空间向量求面面的夹角，属于中档题. 
设中点为，中点，连接，，易得为平行四边形，所以，且，由面面垂直的性质得平面，所以平面，再由面面垂直的判定即可得证； 
建立空间直角坐标系，得出平面的法向量和平面的法向量，由空间向量求解即可.
 

20.【答案】解：若此批零件检测未通过，恰好检测次， 
则第五次检验不合格，前四次有一次检验不合格， 
故恰好检测次的概率 
由题意可得，合格产品利润为元， 
不合格产品修复合格后利润为元， 
不合格产品修复后不合格的利润为元， 
则可取，，， 
故， 
， 
， 
故的分布列为：

故元

【解析】此题主要考查了离散型随机变量及其分布列，需要学生熟练掌握期望公式，属于中档题． 
若此批零件检测未通过，恰好检测次，则第五次检验不合格，前四次有一次检验不合格，再结合二项分布的概率公式，即可求解． 
由题意可得，合格产品利润为元，不合格产品修复合格后利润为元，不合格产品修复后不合格的利润为元，则可取，，，分别求出对应的概率，即可得的分布列，并结合期望公式，即可求解． 

 

21.【答案】解：由题意可知，，解得， 
所以椭圆的方程为； 
设，，联立， 
消去，整理得 
所以，， 
， 
所以，， 
所以线段的中垂线，令，解得， 
因此，，所以，， 
因为为直角三角形，且， 
所以，所以 
 
 
 
，所以，即， 
所以直线的方程为或

【解析】此题主要考查椭圆的标准方程，直线与椭圆的位置关系，考查韦达定理，中点坐标公式，向量的坐标运算，考查转化思想，计算能力，属于较难题． 
根据椭圆的性质，列方程求出和的值，即可得到椭圆的方程； 
将直线的方程，代入椭圆方程，求得的中点坐标，然后求出点坐标，求得和，再根据，求出的值即可．
 

22.【答案】解：函数的定义域为， 
当时，， 
， 
令，解得或舍， 
当时，，单调递减， 
当时，，单调递减， 
所以当时，有极小值， 
所以的极小值为，无极大值． 
， 
当时，，在上单调递增； 
当时，令，解得或，且， 
所以在，上单调递增，在上单调递减； 
当时，令，解得或，且， 
所以在上单调递减，在上单调递增， 
综上，当时，在上单调递增； 
当时，在，上单调递增，在上单调递减； 
当时，在上单调递减，在上单调递增． 
证明：由知，若有两个极值点，则， 
且，， 
所以，，，， 
所以等价于， 
因为，所以， 
所以 
， 
因为， 
所以要证，只需证， 
令，则， 
所以在上单调递增， 
又， 
所以当时，，即， 
因为， 
所以， 
所以， 
所以

【解析】此题主要考查利用导数研究函数的单调性、极值与最值，考查分类讨论思想与转化思想的应用，考查运算求解能力与逻辑推理能力，属于较难题． 
对求导，由导数与单调性的关系求出单调性，从而可求得函数的极值； 
对求导，再对分类讨论，利用导数与单调性的关系求解即可； 
先根据极值点化简所证不等式为，令，利用导数证得即可．