6.2 外接球经典模型 讲义-高考数学一轮复习解题技巧方法

第2节  外接球经典模型:对棱相等模型

知识与方法

四面体中，，，，这种四面体叫做对棱相等四面体，可以通过构造长方体来解决这类四面体的外接球问题.

如图，设长方体的长宽高分别为a、b、c，则，三式相加可得，而显然四面体和长方体有相同的外接球，设外接球半径为R，则，所以.

典型例题

【例题】四面体中，，，，则该四面体外接球的体积为_______.

【解析】由题意，四面体是对棱相等模型

.

【答案】

变式1  三棱锥中，，，则该三棱锥外接球表面积为（    ）

A. B. C. D.

【解析】由题意，四面体是对棱相等模型

.

【答案】D

变式2  A、B、C、D四点在半径为的球面上，且，，，则四面体的体积为______.

【解析】由题意，四面体是对棱相等模型，设，

则，将四面体补全为如图所示的长方体，

设长方体的长、宽、高分别为a、b、c，则，

解得：，所以四面体的体积.

【答案】20

强化训练

1.（★★★）四面体中，，，，则四面体外接球的表面积为（    ）

A. B. C. D.

【解析】由题意，四面体是对棱相等模型，.

【答案】C

2.（★★★）半径为1的球面上有不共面的A、B、C、D四点，且，，，则（    ）

A.16 B.8 C.4 D.2

【解析】由题意，四面体是对棱相等模型，

【答案】B

3.（★★★）四面体中，，，，则其外接球的半径为（    ）

A. B. C. D.13

【解析】由题意，四面体是对棱相等模型，

【答案】C

4.（★★★）在四面体中，，，则该四面体外接球的表面积为_______.

【解析】由题意，四面体是对棱相等模型，

【答案】

5.（★★★★）在三棱锥中，，，，且，则三棱锥的外接球的表面积的最小值为________.

【解析】设，，则，

所以三棱锥的外接球半径，

当且仅当时取等号，所以三棱锥的外接球的表面积的最小值为.

【答案】

6.（★★★★）四面体的顶点都在球O的表面上，，，E为中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最大值与最小值之比为（    ）

A. B. C. D.

【解析】四面体是对棱相等模型，所以，将四面体放入长方体如图，截面面积的最大值为，当截面面积最小时，截面与垂直，

其中O为球心，设，，，

则，

即截面面积的最小值为，故.

【答案】D