新高考数学三轮冲刺“小题速练”19（2份打包，教师版+原卷版）

2021届高三数学“小题速练”19

答案解析

一、单项选择题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1. 已知复数z满足则（    ）

A.  B. 2 C.  D. 8

【答案】C

【解析】

【分析】

利用复数的代数形式的除法运算先求出，再根据复数的模长公式求出．

【详解】解：∵，∴，∴.

故选：D．

【点睛】本题主要考查复数的代数形式的除法运算，考查复数的模，属于基础题．

2. 已知集合，或，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

解不等式对集合进行化简，即可求出两集合的关系.

【详解】解：解不等式得，则.

因为或，所以，

故选:D.

【点睛】本题考查了一元二次不等式的求解，考查了两集合间的关系.

3. 已知则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】

根据对数函数与指数函数的单调性,将与0、1比较,即可得出答案.

【详解】因为在上单调递增,

所以,

因为在上单调递减,

所以,

因为在上单调递增,

所以,

所以.

故选：A

【点睛】本题考查指数与指数函数和对数与对数函数.属于基础题.本类题型一般都是将所需比较的数与0、1比较大小,熟练掌握指数函数与对数函数的单调性是解本题的关键.

4. 的展开式中，的系数为（    ）

A. 2 B.  C. 3 D.

【答案】B

【解析】

【分析】

由题意转化条件得，再由二项式定理写出的通项公式，分别令、，求和即可得解.

详解】由题意，

的通项公式为，

令，则；

令，则；

所以的展开式中，的系数为.

故选：B.

【点睛】本题考查了二项式定理的应用，考查了运算求解能力，属于基础题.

5. 函数与的图象关于y轴对称，则函数的部分图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】

由诱导公式对化简，结合两函数图象的关系可求出，通过求，，即可排除错误答案.

【详解】解：，因为与图象关于y轴对称，

则，

，排除C，，排除B，

，排除A，

故选:D.

【点睛】本题考查了诱导公式，考查了函数图象的变换，考查了函数图象的选择.本题的关键是求出 的解析式.

6. 在3世纪中期，我国古代数学家刘徽在《九章算术注》中提出了割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣”.这可视为中国古代极限观念的佳作.割圆术可以视为将一个圆内接正边形等分成个等腰三角形(如图所示)，当变得很大时，等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.运用割圆术的思想，可得到sin3°的近似值为（    ）(取近似值3.14)

A. 0.012 B. 0.052

C. 0.125 D. 0.235

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意圆内接正120边形其等分成120个等腰三角形，每个等腰三角形的顶角为,根据等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积.即可列出等式解出sin3°的近似值.

【详解】当时,每个等腰三角形的顶角为,则其面积为,

又因为等腰三角形的面积之和近似等于圆的面积,

所以,

故选：B

【点睛】本题考查三角形与圆的面积公式,属于基础题.解本类题型需认真审题，读懂题意找到等式是关键.

7. 已知函数，若等差数列的前项和为，且则（    ）

A.  B. 0

C. 2020 D. 4040

【答案】C

【解析】

【分析】

结合对数的运算性质，对进行整理可得为奇函数，从而可知，代入等差数列的求和公式即可求出的值.

【详解】解：因为定义域为，关于原点对称，且

，所以为奇函数，

由得，，所以，

因为为等差数列，所以，

故选:C.

【点睛】本题考查了对数的运算，考查了函数的奇偶性的判断，考查了等差数列的求和公式.本题的关键是求出.

8. 在四面体中，二面角的平面角为150°，则四面体ABCD外接球的表面积为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】

建立空间直角坐标系，写出坐标，利用球心到距离等于半径求出球心坐标，从而求出球体半径，即可求出球体的表面积.

【详解】解：取中点为坐标系原点，过点作垂直于平面的直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，如下图所示.

由已知条件可得：，，，.

设四面体ABCD外接球的球心为，由得：

解得：，则球心.

四面体ABCD外接球的半径，所以四面体ABCD外接球的表面积.

故选：.

【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积，关键是建立空间直角坐标系求出各顶点坐标，属于中档题.

二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求）

9. 下列说法正确的是（    ）

A. 若a>b，c>d，则a-c>b-d B. 若，则a>b

C. 若，则 D. 若，则

【答案】BC

【解析】

【分析】

取特殊值排除AD，利用不等式性质判断BC正确，得到答案.

【详解】取，，则，A错误；

，，故，则，B正确；

，故，故，C正确；

取，不成立，D错误.

故选：BC.

【点睛】本题考查了不等式性质，意在考查学生的推断能力，取特殊值排除是解题的关键.

10. 已知函数满足，且是奇函数，则下列说法正确是（    ）

A. 是奇函数 B. 是周期函数

C.  D. 是奇函数

【答案】BCD

【解析】

【分析】

根据奇函数和周期函数的性质进行判断.

【详解】, 关于点对称，

令, 有，且是由向左平移1个单位得到，

关于对称，所以是奇函数；

又是奇函数，所以关于对称，

所以 则,

所以, 即是以4为一个周期的函数，

综上，选项BCD正确，A错误.

故选：BCD.

【点睛】本题考查周期函数和奇函数的性质，属于基础题.

11. 定义：若函数在区间上的值域为，则称区间是函数的“完美区间”，另外，定义区间的“复区间长度”为，已知函数，则（    ）

A. 是一个“完美区间”

B. 是的一个“完美区间”

C. 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为

D. 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为

【答案】AC

【解析】

【分析】

根据定义，当时求得的值域，即可判断A；对于B，结合函数值域特点即可判断；对于C、D，讨论与两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判断选项.

【详解】对于A，当时，，则其值域为，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A正确；

对于B，因为函数，所以其值域为，而，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B错误；

对于C，由定义域为，可知，

当时，，此时，所以在内单调递减，

则满足，化简可得，

即，所以或，

解得（舍）或，

由解得或（舍），

所以，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；

当时，①若，则，此时.当在的值域为，则，因为 ，所以，即满足，解得，（舍）.所以此时完美区间为，则“复区间长度”为；

②若，则，，此时在内单调递增，若的值域为，则，则为方程的两个不等式实数根，

解得，， 所以，与矛盾，所以此时不存在完美区间.

综上可知，函数的“复区间长度”的和为，所以C正确，D错误；

故选：AC.

【点睛】本题考查了函数新定义综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.

12. 已知函数，若直线与交于三个不同的点（其中），则的可能值为（    ）

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

【答案】BC

【解析】

【分析】

根据导数的几何意义求出曲线在时切线的斜率，然后根据题意分别求出的取值范围，进而选出正确答案.

【详解】在时，，，设切点的坐标为：，，

因此有，所以切线方程为：，当该切线过原点时，

，所以切点的坐标为：，

因为直线与交于三个不同点，

所以有，

当切线与直线相交时，解方程组：，

因此有，于是有，

所以，显然选项BC符合，

故选：BC

【点睛】本题考查好已知两曲线交点的个数求参数的到值范围，考查了导数的几何意义，考查了数学运算能力.

第II卷（非选择题)

三、填空题

13. 方程的解是_____________.

【答案】

【解析】

【分析】

化简方程得到，设，解方程考虑对数函数定义域得到答案.

【详解】，即，

，即，

设，，，，即，则，

解得或（舍去），即，.

故答案为：.

【点睛】本题考查了解对数，指数方程，意在考查学生的计算能力和转化能力，忽略定义域是容易发生的错误.

14. 已知定义在上的奇函数，若，则实数的取值范围是______.

【答案】

【解析】

【分析】

先根据奇函数求出的值，然后分析 单调性并由函数值之间的关系转变为自变量之间的关系，最后求出的范围.

【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，则；

又因为与在上递增，所以由可得： ，故，即.

【点睛】（1）奇函数在处有定义时，必定有；

（2）通过函数的单调性，可以将函数值之间的关系转为自变量之间的关系（注意定义域），从而完成对自变量范围的求解.

15. 当时，恒成立，求实数的取值范围是___________.

【答案】

【解析】

【分析】

变换得到，再利用均值不等式计算最值得到答案.

【详解】，则，，故，当时等号成立.

故，故.

故答案为：.

【点睛】本题考查了二次不等式恒成立问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，参数分离结合均值不等式是解题的关键.

16. 给出下列结论：

①；②，y的值域是；

③函数的图像过定点；④若恒成立，则的取值范围是；

其中正确的序号是__________.

【答案】③

【解析】

【分析】

依次判断每个选项：计算知①错误；取得到②错误，带入数据计算知③正确，，④错误，得到答案.

【详解】，①错误；取，，②错误；

当时，，③正确；，则，④错误.

故答案为：③

【点睛】本题考查了指数幂的计算，二次函数值域，指数函数过定点问题，解对数不等式，意在考查学生对于函数知识的综合应用能力，忽略定义域是容易发生的错误.