新高考数学三轮冲刺“小题速练”14（2份打包，教师版+原卷版）

2021届高三数学“小题速练”14

答案解析

一、单项选择题：本大题共10小题，每小题4分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1. 已知集合，，若，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】集合，，，，，

，，

，，，，

，1，．

故选：．

2. 若实数，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】．对数函数的底数是在0到1之间，所以是减函数，因此，并且要保证真数，因此不成立；

．取，，显然不成立；

．当时，式子不成立；

．指数函数的底数大于1，所以是增函数，即有，因此成立；

故选：．

3. 设随机变量，若，则（    ）

A. ， B. ，

C. ， D. ，

【答案】A

【解析】因为随机变量，且，

所以由对称性知，

由正态分布知方差.

故选：A

【点睛】本题主要考查了正态分布中，的含义，属于容易题.

4. 设，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】B

【解析】由题解，解得：，解可得：；

则不能推出成立，能推出成立，

所以“”是“”的必要不充分条件，

故选：B.

5. 设，，若，，，则实数，，的大小关系是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】，，

，，，

，

，

，

实数，，的大小关系为．

故选：．

6. 设、为两个不同的平面，、为两条不同的直线，且，，则下列命题中真命题是（    ）

A. 若，则 B. 若，则

C. 若，则 D. 若，则

【答案】A

【解析】

由，为两个不同的平面，、为两条不同的直线，且，，知：

在中，，则，满足平面与平面垂直的判定定理，所以正确；

在中，若，不能得到，也不能得到，所以得不到，故错误；

在中，若，则与可能相交、平行或异面，故不正确；

在中，若，则由面面平行的性质定理得，不一定有，也可能异面，故错误．

故选：．

7. 函数的图象大致为（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】函数的定义域为，，

则函数为偶函数，图象关于y轴对称，排除B，

当时，，排除A，

当时，，排除C，

故选：D.

8. 已知一组数据点，，，…，，用最小二乘法得到其线性回归方程为，若数据，，，…的平均数为1，则（    ）

A. 2 B. 11 C. 12 D. 14

【答案】D

【解析】∵，且在线性回归直线上，

∴，

则.

故选：D.

9. 用平面截一个球，所得的截面面积为，若到该球球心的距离为1，则球的体积为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】用一平面去截球所得截面的面积为，则截面圆的半径为1，

已知球心到该截面的距离为1，则球的半径为，

球的体积为：．

故选：．

10. 在，，，四个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是（    ）

A. 0 B. 1 C. 2 D. 3

【答案】B

【解析】满足为凸函数，

分别作出四个函数在上的图象，

由图象知，在四个函数中，只有是凸函数，其余三个为凹函数，

故选：．

二、多项选择题：本大题共3小题，每小题4分，共12分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得4分，有选错的得0分，部分选对的得2分.

11. 某地某所高中2019年的高考考生人数是2016年高考考生人数的1.5倍，为了更好地对比该校考生的升学情况，统计了该校2016年和2019年的高考升学情况，得到如下柱图：

则下列结论正确的是（    ）

A. 与2016年相比，2019年一本达线人数有所增加

B. 与2016年相比，2019年二本达线人数增加了0.5倍

C. 与2016年相比，2019年艺体达线人数相同

D. 与2016年相比，2019年不上线的人数有所增加

【答案】AD

【解析】依题意，设2016年高考考生人数为，则2019年高考考生人数为，

由，所以A项正确；

由，所以B项不正确；

由，所以C项不正确；

由，所以D项正确.

故选：AD.

12. 已知空间中两条直线，所成的角为，为空间中给定的一个定点，直线过点且与直线和直线所成的角都是，则下列选项正确的是（    ）

A. 当时，满足题意的直线不存在

B. 当时，满足题意的直线有且仅有1条

C. 当时，满足题意的直线有且仅有2条

D. 当时，满足题意的直线有且仅有3条

【答案】ABC

【解析】过点作，，则相交直线､确定一平面.与夹角为或，

设直线与､均为角，

作面于点，于点，于点，

记，或，则有.

因为，所以.

当时，由，得；

当时，由，得.

故当时，直线不存在；

当时，直线有且仅有1条；

当时，直线有且仅有2条；

当时，直线有且仅有3条；

当时，直线有且仅有4条；

当时，直线有且仅有1条.

故，，均正确，错误.

故选：.

13. 德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就显著，是解析数论的创始人之一，以其名命名的函数成为狄利克雷函数，则关于，下列说法正确的是（    ）

A.

B. 函数是偶函数

C. 任意一个非零有理数，对任意恒成立

D. 存在三个点，使得为等边三角形

【答案】ABCD

【解析】，正确；

，偶函数，正确；

，正确；

易知三点构成等边三角形，正确；

故选：

三、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在对应题号的横线上

14. 命题：“，”的否定是______.

【答案】，

【解析】命题为全称命题，则命题的否定为，

故答案为：．

15. 已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程是______.

【答案】

【解析】为偶函数，且当时，，

当时，，则，，

（1）．

曲线在点处的切线方程是，

即．

故答案为：．

16. 甲、乙、丙、丁、戊5名同学参加“庆国庆70周年，爱国主义知识大赛”活动，决出第1名到第5名的名次.甲乙两名同学去询问成绩，回答者对甲说“虽然你的成绩比乙好，但是你俩都没得到第一名”；对乙说“你当然不会是最差的”从以上回答分析，丙是第一名的概率是_____.

【答案】

【解析】∵甲和乙都不可能是第一名，

∴第一名只可能丙、丁或戊，

又考虑到所有的限制条件对丙、丁、戊都没有影响，

∴这三个人获得第一名是等概率事件，

∴丙是第一名的概率是.

故答案为：.

17. 在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，则_______，三棱锥的体积最大值是 _______.

【答案】    (1). 2    (2).

【解析】在棱长为6的正方体中，是的中点，点是面所在的平面内的动点，且满足，如图：

△，

，即，

设，，作，

，化简得：，，

根据函数单调性判断：时，最大值为36，

，

在正方体中，面，

三棱锥的体积最大值为．

故答案为：2；．