新高考数学三轮冲刺“小题速练”12（2份打包，教师版+原卷版）

2021届高三数学“小题速练”12

答案解析

一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）．

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】由集合，，

所以.

故选：B

2.已知复数为纯虚数（其中i为虚数单位），则实数（    ）

A.  B. 3

C.  D.

【答案】A

【解析】由题意，复数，

因为复数为纯虚数，可得，解得.

故选：A.

3.己知，，则下列各式成立的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】对于选项：因为函数在上单调递增，所以时，，故选项错误；

对于选项：因为在单调递增函数，所以，，故选项正确；

对于选项：因为，，可取，，，此时，，所以，故选项错误；

对于选项：因为，，可取，，，此时，，所以，故选项错误.

故选：C.

4.《易·系辞上》有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中国古代流传下来的两幅神秘图案，蕴含了深奥的宇宙星象之理，被誉为“宇宙魔方”，是中华文化阴阳术数之源.河图的排列结构如图所示，一与六共宗居下，二与七为朋居上，三与八同道居左，四与九为友居右，五与十相守居中，其中白圈为阳数，黑点为阴数，若从阳数和阴数中各取一数，则其差的绝对值为5的概率为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

∵阳数为1，3，5，7，9；阴数为2，4，6，8，10，

∴从阳数和阴数中各取一数的所有组合共有个，

满足差的绝对值为5的有，，，，共5个，

则其差的绝对值为5的概率为.

故选：A.

5.函数的部分图象大致是（    ）

A.  B.

C.  D.

【答案】C

【解析】，函数是奇函数，排除，

时，，时，，排除，

当时，，

时，，排除，

符合条件，故选C.

6.已知函数是定义在上的奇函数，当0时，，则（  ）

A. 3 B. -3 C. -2 D. -1

【答案】B

【解析】是定义在上的奇函数，且时，，

，

，，

则.

故选：B.

7.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为、，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（  ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】设双曲线的左、右焦点分别为，，

设双曲线的一条渐近线方程为，

可得直线的方程为，与双曲线联立，

可得，，

设，，

由三角形面积的等积法可得，

化简可得①

由双曲线的定义可得②

在三角形中，为直线的倾斜角），

由，，可得，

可得，③

由①②③化简可得，

即为，

可得，则．

故选：C.

8.如图，体积为的大球内有4个小球，每个小球的球面过大球球心且与大球球面有且只有一个交点，4个小球的球心是以大球球心为中心的正方形的4个顶点，为小球相交部分（图中阴影部分）的体积，为大球内、小球外的图中黑色部分的体积，则下列关系中正确的是

A.  B.

C.  D.

【答案】D

【解析】设大球半径为，小球半径为，根据题意，

所以．

故选：D．

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得3分，有选错的得0分.

9. 某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图.根据该折线图，下列结论正确的是（    ）

A. 年接待游客量逐年增加

B. 各年的月接待游客量高峰期大致在8月

C. 2017年1月至12月月接待游客量的中位数为30

D. 各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳

【答案】ABD

【解析】由2017年1月至2019年12月期间月接待游客量的折线图得：

A中，年接待游客量虽然逐月波动，但总体上逐年增加，故A正确；

在B中，各年的月接待游客量高峰期都在8月，故B正确；

在C中，2017年1月至12月月接待游客量的中位数小于30，故C错误；

在D中，各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳，故D正确.

故选：ABD

10. 如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中正确的是（    ）

A. 线段上存在点E、F使得 B. 平面ABCD

C. 的面积与的面积相等 D. 三棱锥A-BEF的体积为定值

【答案】BD

【解析】如图所示，AB与为异面直线，故AE与BF也为异面直线，A错误；

，故平面ABCD，故B正确；

由图可知，点A和点B到EF的距离是不相等的，C错误；

连结BD交AC于O，则AO为三棱锥A-BEF的高，

，

三棱锥A-BEF的体积为为定值，D正确；

故选：BD.

11. 已知函数，其中表示不超过实数x的最大整数，关于有下述四个结论，正确的是（    ）

A. 的一个周期是 B. 是非奇非偶函数

C. 在单调递减 D. 的最大值大于

【答案】ABD

【解析】，

的一个周期是，故A正确；

，

非奇非偶函数，B正确；

对于C，时，，不增不减，所以C错误；

对于D，，，D正确.

故选：ABD

12. 若存在实常数和，使得函数和对其公共定义域上的任意实数x都满足：和恒成立，则称此直线为和的“隔离直线”，已知函数，，（为自然对数的底数），则（    ）

A. 在内单调递增；

B. 和之间存在“隔离直线”，且的最小值为；

C. 和之间存在“隔离直线”，且的取值范围是；

D. 和之间存在唯一的“隔离直线”.

【答案】ABD

【解析】对于，，

，，

当时，，单调递增，

，在内单调递增，

正确；

对于，设，的隔离直线为，

则对任意恒成立，即对任意恒成立.

由对任意恒成立得：.

⑴若，则有符合题意；

⑵若则有对任意恒成立，

的对称轴为，，；

又的对称轴为，；

即，，；

同理可得：，；

综上所述：，，正确，错误；

对于，函数和的图象在处有公共点，

若存在和的隔离直线，那么该直线过这个公共点.

设隔离直线的斜率为，则隔离直线方程为，即，

则恒成立，

若，则不恒成立.

若，令，对称轴为

在上单调递增，

又，故时，不恒成立.

若，对称轴为，

若恒成立，则，解得：.

此时直线方程为：，

下面证明，

令，则，

当时，；当时，；当时，；

当时，取到极小值，也是最小值，即，

，即，

函数和存在唯一的隔离直线，正确.

故选：.

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13. 已知向量，，，则实数__________．

【答案】

【解析】

 由，则，

 所以，

 又由，所以，解得．

14. 已知，则__________．

【答案】180

【解析】

，，，故答案为.

15. 函数的部分图象如图所示，则__；将函数的图象沿x轴向右平移个单位后，得到一个偶函数的图象，则____.

【答案】    (1).     (2).

【解析】根据函数的图象可得，所以，

所以，所以，

又因为，所以，

所以，，

所以，，

因为，所以.

所以，

将的图象沿x轴向右移个长度单位得函数

的图象，

因为函数是偶函数，

所以，，

所以，，

因为，所以，.

故答案为：；.

16. 设集合，则集合A中满足条件：“”的元素个数为__________.

【答案】18.

【解析】对于分以下几种情况：

①，此时集合A的元素含有一个2，或，两个0，2或从三个位置选一个有3种选法，剩下的位置都填0，这种情况有种；

②，此时集合A中元素含有两个2一个0；或两个，一个0；或一个2，一个，一个0.

若是两个2或，一个0时，从三个位置任选一个填0，剩下的两个位置都填2或，这种情况有种；

若是一个2，一个，一个0时，对这三个数全排列即得到种；

∴集合A中满足条件“”的元素个数为.

故答案为：18