新高考数学三轮冲刺“小题速练”05（2份打包，教师版+原卷版）

2021届高三数学“小题速练”5

答案解析

一、单项选择题.本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1.已知集合，，则（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】因为，

所以

故选：B

2.已知复数满足，其中为复数的共轭复数，则实数（    ）

A.  B.  C.  D. 或

【答案】C

【解析】由题意得，所以，所以由，得，得．

故选：C.

3.若，则

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】由公式可得结果.

详解：

故选B.

4.函数的大致图象为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】当时，，可排除AD；当时，，可排除C.

故选：B.

5.已知，则“”是“”的（    ）

A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件

C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件

【答案】A

【解析】因为，所以由，得，

所以，，

所以，则充分性成立；

当时，，但是无意义，故必要性不成立.

综上，已知，则“”是“”的充分不必要条件.

故选：A.

6.已知双曲线与抛物线的一个交点为为抛物线的焦点，若，则双曲线的渐近线方程为（   ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

由抛物线定义得，因此双曲线的渐近线方程为，选C.

7.我国古代数学名著《数书九章》中有“天池盆测雨”题，大概意思如下：在下雨时，用一个圆台形的天池盆接雨水，天池盆盆口直径为2尺8寸，盆底直径为1尺2寸，盆深1尺8寸.若盆中积水深9寸，则平均降雨量是（注：①平均降雨量等于盆中积水体积除以盆口面积；②1尺等于10寸；③台体的体积）（    ）

A. 3寸 B. 4寸 C. 5寸 D. 6寸

【答案】A

【解析】作出圆台的轴截面如图所示:

由题意知,寸,寸,寸,寸,

即是的中点,

为梯形的中位线,

寸,即积水的上底面半径为寸,

盆中积水的体积为（立方寸）,

又盆口的面积为（平方寸）,

平均降雨量是寸,即平均降雨量是3寸,

故选:A

8.如图，正方体的棱长为2，点为底面的中心，点在侧面的边界及其内部运动．若，则面积的最大值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】取的中点，连接、、、，连接、、、、，如图：

因为正方体的棱长为2，

所以,，，平面，平面，平面，

所以，，，

所以，，

所以，，

由可得平面，

所以，所以点的轨迹为线段，

又,

所以面积的最大值.

故选：C.

二、多选题（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全选对得5分，选对但不全的得3分，有选错的得0分.）

9.随着2022年北京冬奥会的临近，中国冰雪产业快速发展，冰雪运动人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放.如图是2012-2018年中国雪场滑雪人数（单位：万人）与同比增长情况统计图则下面结论中正确的是（    ）.

A. 2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加；

B. 2013-2015年，中国雪场滑雪人数和同比增长率均逐年增加；

C. 中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数和2018年比2017年增加的滑雪人数均为220万人，因此这两年的同比增长率均有提高；

D. 2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为23.4%.

【答案】AB

【解析】根据条形图知，2012-2018年，中国雪场滑雪人数逐年增加，所以A正确；

根据条形图知，2013-2015年，中国雪场滑雪人数逐年增加，

根据折线图知，2013-2015年，中国雪场滑雪人数同比增长率逐年增加，所以B正确；

根据条形图知，中国雪场2015年比2014年增加的滑雪人数为万人，2018年比2017年增加的滑雪人数为万人，根据折线图知，2015年比2014年同比增长率上升，但2018年比2017年同比增长率有下降，故C错误；

2016-2018年，中国雪场滑雪人数的增长率约为，故D错误；

故选：AB

10.将函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到的图象，若，且，则的可能取值为（    ）

A.  B.  C. 1 D. 0

【答案】BC

【解析】由题意，的最大值为3，最小值为－1，因此，则，由得，，，又，所以，设，，则，则当偶数（例如）时，＝1，当奇数（例如）时，＝－1，

故选：BC．

11.设双曲线的左，右焦点分别为，过的直线l分别与双曲线左右两支交于两点，以为直径的圆过，且，则以下结论正确的是（    ）

A. ； B. 双曲线C的离心率为；

C. 双曲线C的渐近线方程为； D. 直线l的斜率为1.

【答案】BC

【解析】如图，作于，

则，所以，所以是中点，从而，

根据双曲线定义，所以，

又以为直径的圆过，所以，，

于是，A错；

又得，，

由余弦定理得

，化简得，所以，B正确；

由得，即，所以渐近线方程为，C正确；

易知，所以，D错．

故选：BC．

12.如图，在边长为4的正三角形中，E为边的中点，过E作于D.把沿翻折至的位置，连结.翻折过程中，其中正确的结论是（    ）

A. ；

B. 存在某个位置，使；

C. 若，则的长是定值；

D. 若，则四面体的体积最大值为

【答案】ACD

【解析】由，，得平面，又平面，所以，A正确；

若存在某个位置，使，如图，连接，因为，所以，

连接，正中，，，所以平面，而平面，所以，由选项A的判断有，且，平面，平面，所以平面，又平面，所以，则，这是不可能的，事实上，B错；

设是中点，连接，则，所以，从而，是中点，所以，若，即，所以，所以，且由得，所以，

边长为4，则，，，为定值，C正确；

折叠过程中，不变，不动，当到平面距离最大时，四面体的体积最大，由选项的判断知当平面时，到平面的距离最大且为，又，所以此最大值为，D正确．

故选：ACD．

三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）

13.已知随机变量服从正态分布，且，则           .

【答案】

【解析】

正态分布均值为，，故.

14.若多项式，则______.

【答案】

【解析】由展开式的通项为，

令，解得，

则，

故答案为：．

15.的内角的对边分别为，若，则_______，的最大值是________．

【答案】    (1).     (2).

【解析】，

，

；

由于求的最大值，只需考虑的情况，

所以，等号成立当且仅当.

故答案为： ；.

16.已知函数的导函数为，且对任意的实数都有(是自然对数的底数)，且，若关于的不等式的解集中恰有两个整数，则实数的取值范围是_________．

【答案】

【解析】，

即.

设.

,

.

由，得；由，得或，

函数在上单调递增，在和上单调递减，如图所示

当时，.

又，且时，，

由图象可知，要使不等式的解集中恰有两个整数，

需满足，即.

所以实数的取值范围为.

故答案为：.