高中数学高考15第一部分 板块二 专题五 解析几何 第1讲　直线与圆(小题)

这是一份高中数学高考15第一部分 板块二 专题五 解析几何 第1讲　直线与圆(小题)，共8页。试卷主要包含了两条直线平行与垂直的判定，求直线方程，两个距离公式，已知点P为圆C，已知点P是直线l等内容，欢迎下载使用。

热点一 直线的方程及应用
1．两条直线平行与垂直的判定
若两条不重合的直线l1，l2的斜率k1，k2存在，则l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1.若给出的直线方程中存在字母系数，则要考虑斜率是否存在．
2．求直线方程
要注意几种直线方程的局限性．点斜式、斜截式方程要求直线不能与x轴垂直，两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的直线．
3．两个距离公式
(1)两平行直线l1：Ax＋By＋C1＝0，l2：Ax＋By＋C2＝0间的距离d＝eq \f(|C1－C2|,\r(A2＋B2))(A2＋B2≠0)．
(2)点(x0，y0)到直线l：Ax＋By＋C＝0的距离d＝eq \f(|Ax0＋By0＋C|,\r(A2＋B2))(A2＋B2≠0)．
例1 (1)(2019·宝鸡模拟)若直线x＋(1＋m)y－2＝0与直线mx＋2y＋4＝0平行，则m的值是( )
A．1 B．－2 C．1或－2 D．－eq \f(3,2)
(2)我国魏晋时期的数学家刘徽创立了割圆术，也就是用内接正多边形去逐步逼近圆，即圆内接正多边形边数无限增加时，其周长就越逼近圆周长，这种用极限思想解决数学问题的方法是数学史上的一项重大成就．现作出圆x2＋y2＝2的一个内接正八边形，使该正八边形的其中4个顶点在坐标轴上，则下列4条直线中不是该正八边形的一条边所在直线的为( )
A．x＋(eq \r(2)－1)y－eq \r(2)＝0 B．(1－eq \r(2))x－y＋eq \r(2)＝0
C．x－(eq \r(2)＋1)y＋eq \r(2)＝0 D．(eq \r(2)－1)x－y＋eq \r(2)＝0
跟踪演练1 (1)已知直线l1：x·sin α＋y－1＝0，直线l2：x－3y·cs α＋1＝0，若l1⊥l2，
则sin 2α等于( )
A.eq \f(2,3) B．±eq \f(3,5) C．－eq \f(3,5) D.eq \f(3,5)
(2)已知直线l的斜率为eq \r(3)，在y轴上的截距为直线x－2y－4＝0的斜率的倒数，则直线l的方程为( )
A．y＝eq \r(3)x＋2 B．y＝eq \r(3)x－2
C．y＝eq \r(3)x＋eq \f(1,2) D．y＝－eq \r(3)x＋2
热点二 圆的方程及应用
1．圆的标准方程
当圆心为(a，b)，半径为r时，其标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，特别地，当圆心在原点时，方程为x2＋y2＝r2.
2．圆的一般方程
x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，其中D2＋E2－4F>0，表示以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))为圆心，eq \f(\r(D2＋E2－4F),2)为半径的圆．
3．解决与圆有关的问题一般有两种方法
(1)几何法：通过研究圆的性质、直线与圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程．
(2)代数法：即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数．
例2 (1)(2018·天津)在平面直角坐标系中，经过三点(0,0)，(1,1)，(2,0)的圆的方程为____________．
方法二 画出示意图如图所示，
则△OAB为等腰直角三角形，
故所求圆的圆心为(1,0)，半径为1，
∴所求圆的方程为(x－1)2＋y2＝1，
即x2＋y2－2x＝0.
(2)抛物线x2＝4y的焦点为F，点P为抛物线上的动点，点M为其准线上的动点，当△FPM为等边三角形时，则△FPM的外接圆的方程为________．
跟踪演练2 (1)(2019·黄冈调研)已知圆x2＋y2＋2k2x＋2y＋4k＝0关于y＝x对称，则k的值为( )
A．－1 B．1 C．±1 D．0
(2)(2019·河北省级示范性高中联合体联考)已知A，B分别是双曲线C：eq \f(x2,m)－eq \f(y2,2)＝1的左、右顶点，P(3,4)为C上一点，则△PAB的外接圆的标准方程为________________．
热点三 直线与圆、圆与圆的位置关系
1．直线与圆的位置关系：相交、相切和相离，判断的方法
(1)点线距离法．
(2)判别式法：设圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(Ax＋By＋C＝0，,x－a2＋y－b2＝r2，))
消去y，得到关于x的一元二次方程，其根的判别式为Δ，则直线与圆相离⇔Δ0.
2．圆与圆的位置关系有五种，即内含、内切、相交、外切、外离．
3．圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题．
例3 (1)(2019·莆田质检)直线y＝x＋m与圆x2＋y2＝4相交于M，N两点．若|MN|≥2eq \r(2)，则m的取值范围是( )
A．[－2,2] B．[－4,4]
C．[0,2] D．(－2eq \r(2)，－2]∪[2,2eq \r(2))
(2)(2019·长沙市长郡中学模拟)已知圆C1：(x－2)2＋(y－2)2＝req \\al(2,1)(r1>0)，圆C2：(x＋1)2＋(y＋1)2＝req \\al(2,2)(r2>0)，圆C1与圆C2相切，并且两圆的一条外公切线的斜率为7，则r1r2为________．
跟踪演练3 (1)(2019·柳州模拟)已知点M是抛物线y2＝2x上的动点，以点M为圆心的圆被y轴截得的弦长为8，则该圆被x轴截得的弦长的最小值为( )
A．10 B．4eq \r(3) C．8 D．2eq \r(15)
(2)(2019·绵阳诊断)已知圆C1：x2＋y2＝r2，圆C2：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r>0)交于不同的A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，给出下列结论：①a(x1－x2)＋b(y1－y2)＝0；②2ax1＋2by1＝a2＋b2；③x1＋x2＝a，y1＋y2＝b.其中正确结论的个数是( )
A．0 B．1 C．2 D．3
真题体验
1．(2018·全国Ⅲ，文，8)直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是( )
A．[2,6] B．[4,8]
C．[eq \r(2)，3eq \r(2)] D．[2eq \r(2)，3eq \r(2)]
2．(2016·全国Ⅱ，文，6)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1，则a等于( )
A．－eq \f(4,3) B．－eq \f(3,4) C.eq \r(3) D．2
3．(2018·全国Ⅰ，文，15)直线y＝x＋1与圆x2＋y2＋2y－3＝0交于A，B两点，则|AB|＝________.
押题预测
1．圆(x－2)2＋y2＝1与直线3x＋4y＋2＝0的位置关系是( )
A．相交 B．相切
C．相离 D．以上三种情况都有可能
2．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋ax＋2ay－9＝0(a>0)相交，公共弦的长为2eq \r(2)，则a＝________.
3．甲、乙两人参加歌咏比赛的得分(均为两位数)如茎叶图所示，甲的平均数为b，乙的众数为a，且直线ax＋by＋8＝0与以A(1，－1)为圆心的圆交于B，C两点，且∠BAC＝120°，则圆A的标准方程为________．
A组 专题通关
1．(2019·衡水质检)直线2x·sin 210°－y－2＝0的倾斜角是( )
A．45° B．135° C．30° D．150°
2．(2019·黄冈调研)过点A(1,2)的直线在两坐标轴上的截距相等，则该直线方程为( )
A．y－x＝1 B．y＋x＝3
C．2x－y＝0或x＋y＝3 D．2x－y＝0或－x＋y＝1
3．(2019·厦门模拟)在直角坐标系xOy中，以O为圆心的圆与直线x－eq \r(3)y＝4相切，则圆O的方程为( )
A．x2＋(y－1)2＝4 B．(x－1)2＋y2＝4
C．(x＋1)2＋(y－1)2＝4 D．x2＋y2＝4
4．(2019·湘赣十四校联考)圆(x＋2)2＋(y－3)2＝9上到直线x＋y＝0的距离等于2的点有( )
A．4个 B．3个 C．2个 D．1个
5．(2019·黄山质检)直线2x－y－eq \r(3)＝0与y轴的交点为P，点P把圆(x＋1)2＋y2＝36的直径分为两段，则较长一段与较短一段的长度的比值等于( )
A．2 B．3 C．4 D．5
6．若直线ax＋by＋1＝0始终平分圆M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0，则(a－2)2＋(b－2)2的最小值为( )
A.eq \r(5) B．5 C．2eq \r(5) D．10
7．(2019·河北省五个一名校联盟诊断)已知点P为圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝4上一点，A(0，－6)，B(4,0)，则|eq \(PA,\s\up6(→))＋eq \(PB,\s\up6(→))|的最大值为( )
A.eq \r(26)＋2 B.eq \r(26)＋4
C．2eq \r(26)＋4 D．2eq \r(26)＋2
8．(2019·菏泽模拟)已知点P是直线l：3x＋4y－7＝0上的动点，过点P引圆C：(x＋1)2＋y2＝r2(r>0)的两条切线PM，PN.M，N为切点，当∠MPN的最大值为eq \f(π,3)时，则r的值为( )
A．4 B．3 C．2 D．1
9．(2019·宝鸡模拟)设D为椭圆x2＋eq \f(y2,5)＝1上任意一点，A(0，－2)，B(0,2)，延长AD至点P，使得|PD|＝|BD|，则点P的轨迹方程为( )
A．x2＋(y－2)2＝20 B．x2＋(y－2)2＝5
C．x2＋(y＋2)2＝20 D．x2＋(y＋2)2＝5
10．(2019·德阳模拟)已知点P(－3,0)在动直线m(x－1)＋n(y－3)＝0上的投影为点M，若点Neq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2，\f(3,2)))，那么|MN|的最小值为( )
A．2 B.eq \f(3,2) C．1 D.eq \f(1,2)
11．已知圆C：x2＋y2＝1，点P为直线x＋2y－4＝0上一动点，过点P向圆C引两条切线分别为PA，PB，A，B为切点，则直线AB经过定点( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)，\f(1,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,4)，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),4)，0)) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),4)))
12．(2019·南昌模拟)已知A(－eq \r(3)，0)，B(eq \r(3)，0)，P为圆x2＋y2＝1上的动点，eq \(AP,\s\up6(→))＝eq \(PQ,\s\up6(→))，过点P作与AP垂直的直线l交直线QB于点M，则M的横坐标的取值范围是( )
A．|x|≥1 B．|x|>1
C．|x|≥2 D．|x|≥eq \f(\r(2),2)
13．(2019·福建四校联考)已知直线3x＋4y－3＝0,6x＋my＋14＝0平行，则它们之间的距离是________．
14．(2019·天津市十二重点中学联考)已知圆C的圆心在x轴的正半轴上，且y轴和直线3x＋4y＋4＝0均与圆C相切，则圆C的标准方程为________．
15．(2019·晋中模拟)已知圆C经过点A(1,3)，B(4,2)，与直线2x＋y－10＝0相切，则圆C的标准方程为________．
16．(2019·宝鸡质检)圆x2＋y2＝1的任意一条切线与圆x2＋y2＝4相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，O为坐标原点，则x1x2＋y1y2＝________.
B组 能力提高
17．(2019·齐齐哈尔模拟)已知半圆C：x2＋y2＝1(y≥0)，A，B分别为半圆C与x轴的左、右交点，直线m过点B且与x轴垂直，点P在直线m上，纵坐标为t，若在半圆C上存在点Q使∠BPQ＝eq \f(π,3)，则t的取值范围是( )
A.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，0))∪(0，eq \r(3)] B．[－eq \r(3)，0)∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3)))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),3)，0))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),3))) D.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2\r(3),3)，0))∪eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(2\r(3),3)))
18．(2019·淮南模拟)在平面直角坐标系中，设点P(x，y)，定义[OP]＝|x|＋|y|，其中O为坐标原点，对于下列结论：
①符合[OP]＝2的点P的轨迹围成的图形面积为8；
②设点P是直线l1：eq \r(3)x＋2y－2＝0上任意一点，则[OP]min＝1；
③设点P是直线l2：y＝kx＋1(k∈R)上任意一点，则使得“[OP]最小的点P有无数个”的充要条件是k＝1；
④设点P是圆x2＋y2＝2上任意一点，则[OP]max＝2.
其中正确的结论序号为( )
A．①②③ B．①③④
C．②③④ D．①②④