中考数学全面突破：第八讲　反比例函数 含解析答案

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第八讲　反比例函数
命题点分类集训
命题点1　反比例函数的图象与性质
【命题规律】考查内容：①函数图象所在象限与 k 之间的关系；②函数增减性与 k 之间的关系；③函数图象上的点满足函数条件来确定解析式或求k值；④函数图象上点的坐标值比较大小；⑤写出函数图象上的特殊点；⑥判断函数的图象．
【命题预测】反比例函数图象与性质作为反比例函数的基础知识点，是命题的一大趋势，掌握函数图象与k之间的关系是解决问题之关键．
1.点(2，－4)在反比例函数y＝的图象上，则下列各点在此函数图象上的是(　　)
A. (2，4)　　B. (－1，－8)　　C. (－2，－4)　　D. (4，－2)
1. D
2.姜老师给出一个函数表达式，甲、乙、丙三位同学分别正确指出了这个函数的一个性质．甲：函数图象经过第一象限；乙：函数图象经过第三象限；丙：在每一个象限内，y值随x值的增大而减小．根据他们的叙述，姜老师给出的这个函数表达式可能是(　　)
A. y＝3x B. y＝ C. y＝－ D. y＝x2
2. B
3.函数y＝的图象可能是(　　)

3. C
4.我们把直角坐标系中横坐标与纵坐标都是整数的点称为整点．反比例函数y＝－的图象上有一些整点，请写出其中一个整点的坐标________．
4. (1，－3)(答案不唯一，合理即可) 　【解析】对于y＝－，依题意，说明只要x是3的约数即可，如(1，－3)，(－1，3)．
5.已知反比例函数y＝(k≠0)，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是________．
5. k>0　【解析】∵反比例函数y＝(k≠0)，图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，∴k的取值范围是：k＞0.
6.已知点(m－1，y1)，(m－3，y2)是反比例函数y＝(m<0)图象上的两点，则y1________y2(填“>”或“＝”或“<”)．
6. ＞ 　【解析】∵m＜0，∴反比例函数y＝的图象位于第二、四象限，且在每一象限内y随x的增大而增大，又∵m－1＞m－3，∴y1＞y2.
命题点2　反比例函数k的几何意义
【命题规律】1.考查内容：①根据几何体面积确定k值或k的相关式子；②利用反比例函数解析式计算三角形、四边形面积.2.题型主要为选择题或填空题．
【命题预测】反比例函数几何意义是反比例函数与几何有机结合的表现，常受到命题人的青睐，学生应熟练掌握|k|与图形面积之间的关系，提高解题熟练度和准确性．
7.如图，过反比例函数y＝(k＞0)的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB＝2，则k的值为(　　)
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5




第7题图 第8题图 第9题图
7. C　【解析】 ∵点A在反比例函数y＝的图象上，且AB⊥x轴于点B，设点A坐标为(x，y)，∴k＝xy，∵点A在第一象限，∴x、y都是正数，∴S△AOB＝OB·AB＝xy，∵S△AOB＝2，∴k＝xy＝4.
8. (2015陕西)如图，在平面直角坐标系中，过点M(－3，2)分别作x轴、y轴的垂线，与反比例函数y＝的图象交于A、B两点，则四边形MAOB的面积为________．

8. 10　【解析】如解图，设AM与x轴交于点C，MB与y轴交于点D，∵点A、B分别在反比例函数y＝上，根据反比例函数k的几何意义，可得S△ACO＝S△OBD＝×4＝2，∵M(－3，2)，∴S矩形MCOD＝3×2＝6，∴S四边形MAOB＝S△ACO＋S△OBD＋S矩形MCOD＝2＋2＋6＝10.
9. (2016南昌)如图，直线l⊥x轴于点P，且与反比例函数y1＝(x＞0)及y2＝(x＞0)的图象分别交于点A，B，连接OA，OB，已知△OAB的面积为2，则k1－k2＝__________．
9. 4　【解析】∵反比例函数y1＝(x＞0)及y2＝(x＞0)的图象均在第一象限内，
∴k1＞0，k2＞0，∵AP⊥x轴，∴S△OAP＝k1，S△OBP＝k2，∴S△OAB＝S△OAP－S△OBP＝(k1－k2)＝2，解得k1－k2＝4.
命题点3　反比例函数与一次函数综合题

【命题规律】1.考查内容：①一次函数与反比例函数图象的分析；②一次函数与反比例函数解析式的确定(或字母系数的确定)；③已知一次函数与反比例函数交点坐标关系，确定反比例函数中字母系数的取值；④一次函数与反比例函数组成不等式的解集(或自变量取值范围，主要是数形结合思想的应用)；⑤与几何图形综合的相关问题. 2.解决此类问题的关键是掌握函数图象交点的应用，能够通过题设条件转化为方程组求交点坐标．
【命题预测】反比例函数与一次函数的综合题，很好地考查了函数间知识的连接性，且涉及到了数形结合思想，故此类试题倍受命题人青睐，值得关注．
10.如图，在同一直角坐标系中，函数y＝与y＝kx＋k2的大致图象是(　　)

10. C　【解析】当k>0时，反比例函数y＝图象的两个分支分别位于第一、三象限，直线y＝kx＋k2经过第一、二、三象限，没有符合题意的选项；当k<0时，反比例函数y＝图象的两个分支分别位于第二、四象限，直线y＝kx＋k2经过第一、二、四象限，只有C符合题意.
11.如图，直线y＝－2x＋4与双曲线y＝交于A、B两点，与x轴交于点C，若AB＝2BC，则k＝________．





第11题图 第12题图 第13题图

11. 　【解析】设A(x1，)，B(x2，)，∵直线y＝－2x＋4与y＝交于A，B两点，∴－2x＋4＝，即－2x2＋4x－k＝0，∴x1＋ x2＝2，x1x2＝，如解图，过点A作AQ⊥x轴于点Q，BP⊥AQ于点P，则PB∥QC，∴＝＝2，即＝2，∴x2＝3x1，∴x1＝ ，x2 ＝ ，∴k＝ 2x1x2＝.
12.如图，过原点O的直线与反比例函数y1、y2的图象在第一象限内分别交于点A、B，且A为OB的中点．若函数y1＝，则y2与x的函数表达式是________．
12. y2＝　【解析】设y2与x的函数关系式为y2＝，A点坐标为(a，b)，则ab＝1.又A点为OB的中点，因此，点B的坐标为(2a，2b)，则k＝2a·2b＝4ab＝4，所以y2与x的函数关系式为y2＝.
13.如图，直线y1＝kx(k≠0)与双曲线y2＝(x>0)交于点A(1，a)，则y1>y2的解集为________．
13. x＞1 　【解析】当x＞1时，直线的图象在双曲线图象的上方，即y1＞y2.因此，y1＞y2的解集为x＞1.
14.如图，一次函数y＝kx＋b(k<0)与反比例函数y＝的图象相交于A、B两点，一次函数的图象与y轴相交于点C，已知点A(4，1)．
(1)求反比例函数的解析式；
(2)连接OB(O是坐标原点)，若△BOC的面积为3，求该一次函数的解析式．

14. 解：(1)把A(4，1)代入y＝得1＝.
∴m＝4，
∴反比例函数的解析式为y＝.
(2)过点B作BE⊥y轴于点E，如解图，设点B坐标为(n，)，则OE＝，BE＝n.


∴S△BEO＝OE·BE＝2，
∵S△BOC＝3，
∴S△BCE＝1，
∴OE∶EC＝2∶1，
∴CE＝，OC＝.
设直线AB的解析式为y＝kx＋，把(n，)和(4，1)分别代入得：，
解得　，
∴＝3，
∴一次函数的解析式为y＝－x＋3.



15.在平面直角坐标系中，一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象交于第二、第四象限内的A，B两点，与y轴交于C点，过点A作AH⊥y轴，垂足为H，OH＝3，tan∠AOH＝，点B的坐标为(m，－2)．
(1)求△AHO的周长；
(2)求该反比例函数和一次函数的解析式．


15. (1)【思路分析】在Rt△AOH中用三角函数求出AH，再用勾股定理求出AO，进而得周长．
解：在Rt△AOH中，tan∠AOH＝，OH＝3，
∴AH＝OH·tan∠AOH＝4，
∴AO＝＝5，
∴C△AOH＝AO＋OH＋AH＝5＋3＋4＝12.
(2)【思路分析】由(1)得出A点坐标，再用待定系数法求出反比例函数解析式，由反比例函数解析式求出B点坐标，最后把A、B点坐标代入一次函数解析式中求出一次函数解析式．
解：由(1)得，A(－4，3)，
把A(－4，3)代入反比例函数y＝中，得k＝－12，
∴反比例函数解析式为y＝－，
把B(m，－2)代入反比例函数y＝－中，得m＝6，
∴B(6，－2)，
把A(－4，3)，B(6，－2)代入一次函数y＝ax＋b中，得
，
∴，
∴一次函数的解析式为y＝－x＋1.





中考冲刺集训
一、选择题
1.反比例函数y＝－的图象上有两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，若x1<0 A. y1y2>0　 　D. y1>0>y2
2.一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地，当他按原路匀速返回时，汽车的速度v千米/小时与时间t小时的函数关系是(　　)
A. v＝320t B. v＝ C. v＝20t D. v＝
3.若一次函数y＝mx＋6的图象与反比例函数y＝在第一象限的图象有公共点，则有(　　)
A. mn≥－9 B. －9≤mn＜0 C. mn≥－4 D. －4≤mn≤0
4.如图，O为坐标原点，四边形OACB是菱形，OB在x轴的正半轴上，sin∠AOB＝，反比例函数y＝在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F，则△AOF的面积等于(　　)
A. 60 B. 80 C. 30 D. 40
二、填空题
5.如图，点A在函数y＝(x>0)的图象上，且OA＝4，过点A作AB⊥x轴于点B，则△ABO的周长为________．





第5题图 第6题图 第7题图
6.已知反比例函数y＝(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是________(写一个即可)．
7.如图所示，反比例函数y＝(k≠0，x>0)的图象经过矩形OABC的对角线AC的中点D，若矩形OABC的面积为8，则k的值为________．
8.双曲线y＝在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，则m的取值范围是________．
9.如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的面积为12，点B在y轴上，点C在反比例函数y＝的图象上，则k的值为________．



第9题图 第10题图

10.如图，点A为函数y＝(x＞0)图象上一点，连接OA，交函数y＝(x＞0)的图象于点B，点C是x轴上一点，且AO＝AC，则△ABC的面积为________．
三、解答题(共3题，第11题6分，第12～13题每题7分，共20分)
11.如图，已知在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A(2，5)在反比例函数y＝的图象上，一次函数y＝x＋b的图象经过点A，且与反比例函数图象的另一交点为B.
(1)求k和b的值；
(2)设反比例函数值为y1，一次函数值为y2，求y1>y2时x的取值范围．













12.如图，一次函数y＝kx＋b的图象与反比例函数y＝(x>0)的图象交于A(2，－1)，B(，n)两点，直线y＝2与y轴交于点C.
(1)求一次函数与反比例函数的解析式；
(2)求△ABC的面积．












13.环保局对某企业排污情况进行检测，结果显示：所排污水中硫化物的浓度超标，即硫化物的浓度超过最高允许的1.0 mg/L.环保局要求该企业立即整改，在15天以内(含15天)排污达标．整改过程中，所排污水中硫化物的浓度y(mg/L)与时间x(天)的变化规律如图所示．其中线段AB表示前3天的变化规律，从第3天起，所排污水中硫化物的浓度y与时间x成反比例关系．
(1)求整改过程中硫化物的浓度y与时间x的函数表达式；
(2)该企业所排污水中硫化物的浓度，能否在15天以内不超过最高允许的1.0mg/L？为什么？









1. D　【解析】根据反比例函数的性质或者利用特殊值法即可作出选择．方法一：∵反比例函数y＝－中k＝－1＜0，∴当x＜0时，y＞0；当x＞0时，y＜0.又∵x1＜0＜x2，∴y1＞0＞y2.故选D.方法二：令x1＝－1，则y1＝1，令x2＝1，则y2＝－1，∴y1＞0＞y2.
2. B　【解析】∵由题意可得路程s＝80×4＝320，∴v＝.

第3题解图
3. A　【解析】如解图，根据题意，两个函数的图象在第一象限有公共点，则关于x的方程＝mx＋6有实数根，方程化简为：mx2＋6x－n＝0，显然m≠0，Δ＝36＋4mn≥0，所以mn≥－9，由于一次函数与反比例函数y＝在第一象限的图象有公共点，所以n＞0，显然当一次函数y随x的增大而增大时，两个函数图象在第一象限有交点，即mn≥－9符合题意．

第4题解图
4. D　【解析】如解图所示，过点A作AG⊥OB，垂足为G，设A点纵坐标为4m，∵sin∠AOB＝，∴OA＝5m，根据勾股定理可得OG＝3m，又∵点A在反比例函数y＝上，∴3m×4m＝48，∴m1＝2，m2＝－2(不合题意，舍去)，∴AG＝8，OG＝6，OA＝OB＝10，∵四边形OBCA是菱形，∴BC∥OA，∴S△AOF＝S菱形OBCA＝×AG×OB＝×8×10＝40.故选D.
5. 2＋4　【解析】设点A的坐标为(x，y)，根据反比例函数的性质得，xy＝4，在Rt△ABO中，由勾股定理得，OB2＋AB2＝OA2，∴x2＋y2＝16，∵(x＋y)2＝x2＋y2＋2xy＝16＋8＝24，又∵x＋y>0，∴x＋y＝2，∴△ABC的周长＝2＋4.
6. －2(答案不唯一)　【解析】根据反比例函数的图象在二、四象限，则k＜0，如k＝－2(答案不唯一)．

第7题解图
7. 2　【解析】由题意可知，D点在反比例函数图象上，如解图所示，过点D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F，则k＝xD·yD＝DF·DE＝S矩形OEDF，又D为对角线AC中点，所以S矩形OEDF＝S矩形OABC＝2，∴k＝2.
8. m＜1　【解析】∵在每个象限内，函数值y随x的增大而增大，∴双曲线在二、四象限内，∴在函数y＝中，m－1＜0，即m＜1.

第9题解图
9. －6　【解析】如解图，连接AC交y轴于点D，因为四边形ABCO是菱形，且面积为12，则△OCD的面积为3，利用反比例函数k的几何意义可得k＝－6.
10. 6　【解析】 设A点的坐标为(a，)，直线OA的解析式为y＝kx，于是有＝ka，∴k＝，直线为y＝x，联立得方程组，解得B点的坐标为(，)，∵AO＝AC，A(a，)，∴C(2a，0)，∴S△ABC＝S△AOC－S△BOC＝×2a×－×2a×＝9－3＝6.
11. 解：(1)把点A(2，5)代入反比例函数的解析式y＝，
∴k＝xy＝10，
把(2，5)代入一次函数的解析式y＝x＋b，
∴5＝2＋b，
∴b＝3.
(2)由(1)知k＝10，b＝3，
∴反比例函数的解析式是y＝，
一次函数的解析式是y＝x＋3.
解方程x＋3＝，
∴x2＋3x－10＝0，
解得x1＝2(舍去)，x2＝－5，
∴点B 坐标是(－5，－2)，
∵反比例函数的值大于一次函数值，即反比例函数的图象在一次函数图象上方时，x的取值范围，
∴根据图象可得不等式的解集是x＜－5或0＜x＜2.
12. 解：(1)∵点A(2，－1)在反比例函数y＝的图象上，
∴－1＝，即m＝－2.
∴反比例函数的解析式为y＝－.
∵点B(，n)在反比例函数y＝－的图象上，
∴n＝－＝－4，即点B的坐标为(，－4)．
将点A(2，－1)和点B(，－4)分别代入y＝kx＋b，得

第12题解图

，解得，
∴一次函数的解析式为y＝2x－5.
(2)如解图，设直线AB交y轴于点D.
令y＝2x－5中x＝0，得y＝－5，即点D的坐标是(0，－5)，
∴OD＝5.
∵直线y＝2与y轴交于点C，
∴C点的坐标是(0，2)，
∴CD＝OC＋OD＝7.
∴S△ABC＝S△ACD－S△BCD＝×7×2－×7×＝7－＝.
13. 解：(1)当0≤x≤3时，设线段AB的解析式为y＝kx＋b，
代入点A(0，10)，B(3，4)，得：，
解得，
∴线段AB的解析式为y＝－2x＋10.
当x>3时，设反比例函数的解析式为y＝，代入点B(3，4)，得m＝12，
∴反比例函数的解析式为y＝，
∴y与x之间的函数关系式为y＝.
(2)能．理由如下：
当x＝15时，代入y＝，得y＝0.8<1.0，
所以企业能在15天内使所排污水的硫化物的浓度不超过1.0 mg/L.
【一题多解】可令y＝＝1，则x＝12＜15.
所以企业能在15天内使所排污水的硫化物的浓度不超过1.0 mg/L.