中考数学全面突破：第十七讲　图形的相似 含解析答案

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第十七讲　图形的相似
命题点分类集训
命题点1　平行线分线段成比例
【命题规律】考查内容：平行线分线段成比例．
【命题预测】平行线分线段成比例在平行线的性质方面作用很大，它可以不用确定相似三角形就能得到线段的比例关系，是命题的方式之一．
1.在△ABC中，DE∥BC，若＝，则＝(　　)
A. 　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　D.
1. C　【解析】∵DE∥BC，∴＝＝.



第1题图 第2题图

2.如图，AB∥CD∥EF，AF与BE相交于点G，且AG＝2，GD＝1，DF＝5，那么的值等于________．
2. 　【解析】∵AB∥CD∥EF，∴＝，而AD＝AG＋GD＝3，DF＝5，∴的值为.
命题点2　相似三角形的有关证明与计算
【命题规律】1.考查内容：①相似三角形的性质；②相似三角形的判定；③相似三角形的判定及性质运用；2.相似三角形可与多个知识点结合，如在四边形、函数的相关计算题中常会涉及，另外也会在二次函数综合题中探究相似三角形的存在性问题．
【命题预测】相似三角形是研究两个三角形关系的重要模板，也是命题人命制试题的重要知识点．
3.△ABC与△DEF的相似比为1∶4，则△ABC与△DEF的周长比为(　　)
A. 1∶2 B. 1∶3 C. 1∶4 D. 1∶16
3. C
4.如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△AEF相似的三角形有(　　)
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
4. C

第4题图 第5题图 第6题图

5.如图，在△ABC中，D、E分别是AB、AC的中点，下列说法中不正确的是(　　)
A. DE＝BC B. ＝ C. △ADE∽△ABC D. S△ADE∶S△ABC＝1∶2
5. D　【解析】∵D，E分别是AB，AC的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE＝BC且DE∥BC，故A正确；∵DE∥BC，＝＝，故B正确；∵＝＝，∠A＝∠A ，∴ △ADE∽△ABC，故C正确；∵△ADE∽△ABC，∴＝()2＝，故D不正确．
6.如图，△ABC中，AD是中线，BC＝8，∠B＝∠DAC，则线段AC的长为(　　)
A. 4 B. 4 C. 6 D. 4
6. B　【解析】∵∠B＝∠DAC，∠C＝∠C，∴△ABC∽△DAC.∴＝，即AC2＝BC·DC，∵AD是中线，BC＝8，∴DC＝BC＝4，∴AC2＝8×4，∴AC＝4.
7.如图，点E，点F分别在菱形ABCD的边AB，AD上，且AE＝DF，BF交DE于点G，延长BF交CD的延长线于H，若＝2，则的值为(　　)
A. B. C. D.

7. B　【解析】设AF＝2x，则DF＝x＝AE，BE＝2x.因为四边形ABCD是菱形，所以AB∥CD，所以△DHF∽△ABF，＝＝＝，解得HD＝AB＝1.5x，BF＝2HF.同理△DHG∽△EBG，所以＝＝＝＝，所以＝，如解图所示，过E作EM∥BH，交AD于M，则＝＝，＝＝，所以BF＝3ME＝7FG，则BG＝6FG，HF＝BF＝3.5FG，所以＝＝.
8.如图，在△ABC中，点D、E分别在边AB，AC上，∠AED＝∠B，射线AG分别交线段DE，BC于点F，G，且＝.
(1)求证：△ADF∽△ACG;
(2)若＝，求的值．
8. (1)证明：∵∠AED＝∠B，∠DAE＝∠DAE，
∴∠ADF＝∠C，
又∵＝，∴△ADF∽△ACG.
(2)解：∵△ADF∽△ACG，
∴＝，
又∵＝，
∴＝，
∴＝1.

9.如图，在菱形ABCD中，G是BD上一点，连接CG并延长交BA的延长线于点 F，交AD于点E.
(1)求证：AG＝CG；
(2)求证：AG2＝GE·GF.
9. 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形，
∴AD＝CD，∠ADG＝∠CDG，
在△ADG和△CDG中，
，
∴△ADG≌△CDG(SAS)，
∴AG＝CG.
(2)∵△ADG≌△CDG，
∴∠DAG＝∠DCG，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AF∥CD，
∴∠F＝∠DCG，
∴∠EAG＝∠F，
∵∠AGE＝∠FGA，∴△GAE∽△GFA，
∴＝，
∴AG2＝GE·GF.


命题点3　相似的实际应用
【命题规律】1.命题背景一般会涉及光源、投影等；2.解决此类问题，需要将题中的已知条件与所给图形结合起来，确立相似模型，求出要求的量．
【命题预测】相似的实际应用和我们的生活息息相关，与解直角三角形一样，是将实际问题转化为相似三角形问题，近年来也倍受命题人青睐．
10.如图，小军、小珠之间的距离为2.7 m，他们在同一盏路灯下的影长分别为1.8 m, 1.5 m, 已知小军、小珠的身高分别为1.8 m, 1.5 m，则路灯的高为________m.
10. 3　【解析】 根据题意，画出如解图所示的图形，易得BC＝AB＝1.8，EF＝ED＝1.5，则PO＝AO，PO＝DO，因为BE＝2.7，所以2PO－1.8－1.5＝2.7，解得PO＝3.

11.如图是一位学生设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图．点P处放一水平的平面镜，光线从点A发出经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处，已知AB⊥BD，CD⊥BD.测得AB＝2米，BP＝3米，PD＝12米，那么该古城墙的高度CD是________米．
11. 8　【解析】∵AB⊥BD，CD⊥BD，∴∠ABP＝∠CDP＝90°，由“入射角等于反射角”可推出：∠APB＝∠CPD，∴△ABP∽△CDP，∴＝，∴CD＝·AB＝×2＝8(米)．
12.某市为了打造森林城市，树立城市新地标，实现绿色、共享发展理念，在城南建起了“望月阁”及环阁公园．小亮、小芳等同学想用一些测量工具和所学的几何知识测量“望月阁”的高度，来检验自己掌握知识和运用知识的能力．他们经过观察发现，观测点与“望月阁”底部间的距离不易测得，因此经过研究需要两次测量．于是他们首先用平面镜进行测量，方法如下：如图，小芳在小亮和“望月阁”之间的直线BM上平放一平面镜，在镜面上做了一个标记，这个标记在直线BM上的对应位置为点C.镜子不动，小亮看着镜面上的标记，他来回走动，走到点D时，看到“望月阁”顶端点A在镜面中的像与镜面上的标记重合．这时，测得小亮眼睛与地面的高度ED＝1.5米，CD＝2米；然后，在阳光下，他们用测影长的方法进行了第二次测量，方法如下：如图，小亮从D点沿DM方向走了16米，到达“望月阁”影子的末端F点处，此时，测得小亮身高FG的影长FH＝2.5米，FG＝1.65米．
如图，已知：AB⊥BM，ED⊥BM，GF⊥BM，其中，测量时所使用的平面镜的厚度忽略不计．请你根据题中提供的相关信息，求出“望月阁”的高AB的长度．
12. 解：由题意得∠ABC＝∠EDC＝∠GFH＝90°，
∠ACB＝∠ECD，∠AFB＝∠GHF，
∴△ABC∽△EDC，
△ABF∽△GFH，
∴＝，＝，
又∵CF＝CD＋DF＝2＋16＝18，
即＝，＝，
解得AB＝99(米)．


命题点4　图形的位似
【命题规律】1.此命题点主要考查根据位似图形的性质来求对应点的坐标或面积比，也常与网格作图结合，通过已知相似比，画出位似图形；2.解决此类问题，最主要是掌握位似的性质，它是相似的特殊形式，其对应点的连线交于一点，位似比等于对应线段的相似比．利用位似比求点坐标，其实质是利用三角形相似确定线段长．
【命题预测】位似是相似的一种特殊形式，也是图形变换的一种形式，近年对此知识点的命题也不断涌现，值得关注．
13.如图，以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′.已知OB＝3OB′，则△A′B′C′与△ABC的面积比为(　　)
A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶8 D. 1∶9
13. D　【解析】∵OB＝3OB′，∴＝，∵以点O为位似中心，将△ABC缩小后得到△A′B′C′，∴△A′B′C′∽△ABC，∴＝＝.∴＝()2＝.
14.已知在平面直角坐标系中，点A(－3，－1)、B(－2，－4)、C(－6，－5)，以原点为位似中心将△ABC缩小，位似比为1∶2，则点B的对应点的坐标为________．
14. (－1，－2)或(1，2)　【解析】根据位似图形性质，△ABC缩小后，点B的对应点的横、纵坐标与点B的横、纵坐标的绝对值之比等于位似比，即＝＝或＝＝－，解得x＝－1，y＝－2或x＝1，y＝2，故答案为(－1，－2)或(1，2)．
15.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点坐标分别是O(0，0)，A(2，0)，B(2，1)，C(0，1)．以坐标原点O为位似中心，将矩形OABC放大为原图形的2倍，记所得矩形为OA1B1C1.B的对应点为B1，且B1在OB的延长线上，则B1的坐标为________．

15. (4，2)　【解析】如解图，∵矩形OA1B1C1与矩形OABC位似，∴＝＝2，∵AB＝1，OA＝BC＝2，∴OA1＝B1C1＝4，A1B1＝2，∴点B1的坐标为(4，2)．
16.已知：如图△ABC三个顶点的坐标分别为A(0，－3)，B(3，－2)，C(2，－4)．(正方形网格中，每个小正方形的边长是1个单位长度)
(1)画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1；
(2)以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C，使△A2B2C与△ABC位似，且△A2B2C与△ABC的位似比为2∶1，并直接写出点A2的坐标．
16. 解：(1)画出△ABC向上平移6个单位得到的△A1B1C1如解图．

(2)如解图，以点C为位似中心，在网格中画出△A2B2C，使△A2B2C与△ABC位似，且△A2B2C与△ABC的位似比为2∶1.
答：点A2的坐标为(－2，－2)．




中考冲刺集训
一、选择题
1.已知△ABC∽△DEF，若△ABC与△DEF的相似比为，则△ABC与△DEF对应中线的比为(　　)
A. 　　　　　B. 　　　　　C. 　　　　　D.
2.如图，在平面直角坐标系中，正方形ABCD与正方形BEFG是以原点O为位似中心的位似图形，且相似比为，点A，B，E在x轴上，若正方形BEFG的边长为6，则C点坐标为(　　)
A. (3，2) B. (3，1) C. (2，2) D. (4，2)


第2题图 第3题图

3.如图，在△ABC中，D、E分别为AB、AC边上的点，DE∥BC，BE与CD相交于点F，则下列结论一定正确的(　　)
A. ＝ B. ＝ C. ＝ D. ＝
4.如图，D是△ABC的边BC上一点，AB＝4，AD＝2，∠DAC＝∠B.如果△ABD的面积为15，那么△ACD的面积为(　　)
A. 15 B. 10 C. D. 5

第4题图 第5题图 第6题图

5.如图，直线l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三个顶点A，B，C分别在l1，l2，l3上，∠ACB＝90°，AC交l2于点D.已知l1与l2的距离为1，l2与l3的距离为3，则的值为(　　)
A. B. C. D.
6.如图，D、E分别是△ABC的边AB、BC上的点，且DE∥AC，AE、CD相交于点O，若S△DOE∶S△COA＝1∶25，则S△BDE与S△CDE的比是(　　)
A. 1∶3 B. 1∶4 C. 1∶5 D. 1∶25
二、填空题
7.如图，△ABC中，D、E分别在AB、AC上，DE∥BC，AD∶AB＝1∶3，则△ADE与△ABC的面积之比为________．


第7题图 第8题图
8.如图，在边长相同的小正方形网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB，CD相交于点P，则的值＝________；tan∠APD的值＝________．
9.如图，在△ABC中，D、E分别是边AB、AC上的点，且DE∥BC，若△ADE与△ABC的周长之比为2∶3，AD＝4，则DB＝________.


第9题图 第10题图

10.太原市公共自行车的建设速度、单日租骑量等四项指标稳居全国首位．公共自行车车桩的截面示意图如图所示，AB⊥AD，AD⊥DC，点B，C在EF上，EF∥HG，EH⊥HG，AB＝80 cm，AD＝24 cm，BC＝25 cm，EH＝4 cm，则点A到地面的距离是________cm.
11.如图，已知△ABC和△DEC的面积相等，点E在BC边上，DE∥AB交AC于点F，AB＝12，EF＝9，则DF的长是________．
三、解答题
12.已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A(－1，2)、B(－2，1)、C(1，1)(正方形网格中每个小正方形的边长是1个单位长度)．
(1)△A1B1C是△ABC绕点________逆时针旋转________度得到的，B1的坐标是________；
(2)求出线段AC在旋转过程中所扫过的面积(结果保留π)．







13.如图，M、N为山两侧的两个村庄，为了两村交通方便，根据国家的惠民政策，政府决定打一直线涵洞．工程人员为了计算工程量，必须计算M、N两点之间的直线距离，选择测量点A、B、C，点B、C分别在AM、AN上，现测得AM＝1千米、AN＝1.8千米，AB＝54米、BC＝45米、AC＝30米，求M、N两点之间的直线距离．









14.如图，在△ABC中，AD⊥BC，BE⊥AC，垂足分别为D，E，AD与BE相交于点F.
(1)求证：△ACD∽△BFD；
(2)当tan∠ABD＝1，AC＝3时，求BF的长．










15.如图，在△ABC中，AB＝AC＝1，BC＝，在AC边上截取AD＝BC，连接BD.
(1)通过计算，判断AD2与AC·CD的大小关系；
(2)求∠ABD的度数．















1. A　2. A　3. A
4. D　【解析】本题考查相似三角形性质中的面积比与相似比的关系．∵∠DAC＝∠B，∠C＝∠C，∴△CDA∽△CAB，∴＝＝，∴＝，∴＝，∴＝，∴S△CDA＝5.


第5题解图
5. A　【解析】如解图，过点A作AE⊥l3于点E，过点D作DF⊥l3于点F，则AE＝4，DF＝3，AE∥DF，∴CD∶CA＝DF∶AE＝3∶4，∴CD＝CA，在Rt△BCD中，BD＝＝＝AC，在Rt△ABC中，AB＝AC，∴＝＝.
6. B　【解析】∵DE∥AC，∴△DOE∽△COA，又S△DOE∶S△COA＝1∶25，∴＝，∵DE∥AC，∴＝＝，∴＝，∴S△BDE∶S△CDE＝1∶4.
7. 1∶9　【解析】∵ DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝()2＝()2＝.

第8题解图
8. 3；2　【解析】∵BD//AC，∴△PAC∽△PBD，∴＝＝3，平移CD至BE，连接AE，如解图，则有∠AEB＝90°，∠APD＝∠ABE，∴tan∠APD＝tan∠ABE＝＝＝2.
9. 2　【解析】∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴＝＝，∵AD＝4.∴AB＝6，∴DB＝6－4＝2.

第10题解图
10. 80.8(或)　【解析】如解图，过点A作AM⊥HG于M，交EF于P，过点C作CQ⊥AB于Q.此时有△CQB∽△APB，∴＝，又∵CQ＝AD＝24 cm，∴＝，∴AP＝76.8 cm，又∵PM＝EH＝4 cm，∴AM＝AP＋PM＝76.8＋4＝80.8 cm.
11. 7　【解析】∵△ABC与△DEC的面积相等，∴△CDF与四边形AFEB的面积相等，∵AB∥DE，∴△CEF∽△CBA，∵EF＝9，AB＝12，∴＝＝，∴＝.设△CEF的面积为9k，则四边形AFEB的面积为7k，∵△CDF与四边形AFEB的面积相等，∴S△CDF＝7k，∵△CDF与△CEF是同高不同底的三角形，∴它们的面积比等于底之比，∴＝，∴DF＝7.
12. 解：(1)C；90；(1，－2)；
【解法提示】研究对应点B和B1，发现BC⊥B1C，即可得到旋转角为90°，固定不变的点是点C，从而点C是对称中心．对于点B1的坐标，可以在直角坐标系中直接读出．
(2)由勾股定理易得AC的长为，经过旋转，线段AC扫过的面积是扇形ACA1的面积，则S＝＝.
13. 解：在△ABC与△AMN中，
＝＝，＝＝，
∴＝，
又∵∠A＝∠A，
∴△ABC∽△ANM，
∴＝，即＝，
解得MN＝1500(米)，
答：M、N两点之间的直线距离是1500米．
14. (1)证明：∵AD⊥BC，BE⊥AC，
∴∠ADC＝∠BDF＝90°，
又∵∠BFD＝∠AFE，
∴∠CAD＝∠FBD，
∴△ACD∽△BFD.
(2)解：∵tan∠ABD＝1，
∴＝1，即AD＝BD.
又∵△ACD∽△BFD，
∴△ACD≌△BFD，
∴AC＝BF，
又∵AC＝3，
∴BF＝3.
15. 解：(1)∵AD＝BC＝，
∴AD2＝()2＝，
∵AC＝1，
∴CD＝AC－AD＝1－＝，
∴AD2＝AC·CD.
(2)∵AD2＝AC·CD，
∴BC2＝AC·CD，即＝，
又∵∠C＝∠C，
∴△ABC∽△BDC，
∴＝，
又∵AB＝AC，
∴BD＝BC＝AD，
∴∠A＝∠ABD，∠ABC＝∠C＝∠BDC，
设∠A＝∠ABD＝x，则∠BDC＝∠A＋∠ABD＝2x，
∴∠ABC＝∠C＝∠BDC＝2x，
∴∠A＋∠ABC＋∠C＝x＋2x＋2x＝180°.
解得x＝36°，
∴∠ABD＝36°.