高中数学高考6 第6讲　对数与对数函数　新题培优练

[基础题组练]

1．(2019·惠州模拟)若函数f(x)＝ax－2，g(x)＝loga|x|，其中a＞0，且a≠1，f(2)·g(2)＜0，则函数f(x)，g(x)在同一坐标系中的大致图象是(　　)

解析：选A.由题意知f(x)＝ax－2是指数型函数，g(x)＝loga |x|是对数型函数，且是一个偶函数，由f(2)g(2)＜0，可得g(2)＜0，故loga2＜0，故0＜a＜1，由此可以确定C、D两选项不正确，且f(x)＝ax－2是一个减函数，由此可知B选项不正确，A选项正确，故选A.

2．(2019·河南新乡一模)若log2(log3 a)＝log3(log4 b)＝log4(log2 c)＝1，则a，b，c的大小关系是(　　)

A．a>b>c　　　 B．b>a>c

C．a>c>b D．b>c>a

解析：选D.由log2(log3a)＝1，可得log3a＝2，lg a＝2lg 3，故a＝32＝9；

由log3(log4 b)＝1，可得log4 b＝3，lg b＝3lg 4，故b＝43＝64；

由log4(log2 c)＝1，可得log2 c＝4，lg c＝4lg 2，故c＝24＝16.

所以b>c>a.故选D.

3．设函数f(x)＝loga|x|在(－∞，0)上单调递增，则f(a＋1)与f(2)的大小关系是(　　)

A．f(a＋1)>f(2) B．f(a＋1)<f(2)

C．f(a＋1)＝f(2) D．不能确定

解析：选A.由已知得0<a<1，所以1<a＋1<2，又易知函数f(x)为偶函数，故可以判断f(x)在(0，＋∞)上单调递减，所以f(a＋1)>f(2)．

4．(2019·高考天津卷)已知a＝log52，b＝log0.50.2，c＝0.50.2，则a，b，c的大小关系为(　　)

A．a<c<b   B．a<b<c

C．b<c<a   D．c<a<b

解析：选A.a＝log52<log5＝，而c＝0.50.2>0.51＝，故a<c；b＝log0.50.2>log0.50.25＝2，而c＝0.50.2<0.50＝1，故c<b.所以a<c<b.

5．若f(x)＝lg(x2－2ax＋1＋a)在区间(－∞，1]上递减，则a的取值范围为(　　)

A．[1，2) B．[1，2]

C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)

解析：选A.令函数g(x)＝x2－2ax＋1＋a＝(x－a)2＋1＋a－a2，对称轴为x＝a，要使函数在(－∞，1]上递减，则有即解得1≤a<2，即a∈[1，2)．故选A.

6．若函数y＝loga(x2－ax＋1)有最小值，则a的取值范围是(　　)

A．0<a<1 B．0<a<2，a≠1

C．1<a<2 D．a≥2

解析：选C.当a>1时，y有最小值，则说明x2－ax＋1有最小值，故x2－ax＋1＝0中Δ<0，即a2－4<0，所以2>a>1.

当0<a<1时，y有最小值，

则说明x2－ax＋1有最大值，与二次函数性质相互矛盾，舍去．综上可知，故选C.

7．(2019·广州市综合检测(一))已知函数f(x)＝x3＋alog3x，若f(2)＝6，则f＝________．

解析：由f(2)＝8＋alog32＝6，解得a＝－，所以f＝＋alog3＝－alog32＝＋×log32＝.

答案：

8．已知2x＝72y＝A，且＋＝2，则A的值是________．解析：由2x＝72y＝A得x＝log2A，y＝log7A，则＋＝＋＝logA2＋2logA7＝logA98＝2，A2＝98.

又A>0，故A＝＝7.

答案：7

9．若函数f(x)＝logax(0<a<1)在区间[a，2a]上的最大值是最小值的3倍，则a的值为________．

解析：因为0<a<1，所以函数f(x)是定义域上的减函数，所以f(x)max＝logaa＝1，f(x)min＝loga2a，所以1＝3loga2a⇒a＝(2a)3⇒8a2＝1⇒a＝.

答案：

10．已知函数f(x)＝|log3 x|，实数m，n满足0<m<n，且f(m)＝f(n)，若f(x)在[m2，n]上的最大值为2，则＝________．

解析：因为f(x)＝|log3x|，正实数m，n满足m<n，且f(m)＝f(n)，所以－log3m＝log3n，所以mn＝1.因为f(x)在区间[m2，n]上的最大值为2，函数f(x)在[m2，1)上是减函数，在(1，n]上是增函数，所以－log3m2＝2或log3n＝2.若－log3m2＝2，得m＝，则n＝3，此时log3n＝1，满足题意．那么＝3÷＝9.同理．若log3n＝2，得n＝9，则m＝，此时－log3m2＝4>2，不满足题意．综上可得＝9.

答案：9

11．已知函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4，2)．

(1)求a的值；

(2)若g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)，求g(x)的解析式及定义域；

(3)在(2)的条件下，求g(x)的单调减区间．

解：(1)函数f(x)＝logax(a＞0且a≠1)的图象过点(4，2)，

可得loga4＝2，解得a＝2.

(2)g(x)＝f(1－x)＋f(1＋x)＝log2(1－x)＋log2(1＋x)＝log2(1－x2)，

由1－x＞0且1＋x＞0，解得－1＜x＜1，

可得g(x)的定义域为(－1，1)．

(3)g(x)＝log2(1－x2)，

由t＝1－x2在(－1，0)上单调递增，(0，1)上单调递减，

且y＝log2t在(0，＋∞)上单调递增，

可得函数g(x)的单调减区间为(0，1)．

12．已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x2－1)>－2.

解：(1)当x<0时，－x>0，

则f(－x)＝log(－x)．

因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)．

所以x<0时，f(x)＝log(－x)，

所以函数f(x)的解析式为

f(x)＝

(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，

所以不等式f(x2－1)>－2可化为f(|x2－1|)>f(4)．

又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

所以0<|x2－1|<4，解得－<x<且x≠±1，

而x2－1＝0时，f(0)＝0>－2，

所以－<x<.

[综合题组练]

1．(2019·济南模拟)若log2x＝log3y＝log5z＜－1，则(　　)

A．2x＜3y＜5z     B．5z＜3y＜2x

C．3y＜2x＜5z     D．5z＜2x＜3y

解析：选B.设log2x＝log3y＝log5z＝t，则t＜－1, x＝2t, y＝3t, z＝5t, 因此2x＝2t＋1，3y＝3t＋1，5z＝5t＋1. 又t＜－1，所以t＋1＜0，由幂函数y＝xt＋1的单调性可知5z＜3y＜2x.

2．(应用型)(2019·黄石模拟)已知x1＝log2，x2＝2，x3满足＝log3x3，则(　　)

A．x1<x2<x3 B．x1<x3<x2

C．x2<x1<x3 D．x3<x1<x2

解析：选A.由题意可知x3是函数y1＝与y2＝log3x的图象交点的横坐标，在同一直角坐标系中画出函数y1＝与y2＝log3 x的图象，如图所示，由图象可知x3>1，而x1＝log2<0，0<x2＝2<1，所以x3>x2>x1.故选A.

3．(应用型)设函数f(x)＝|logax|(0<a<1)的定义域为[m，n](m<n)，值域为[0，1]，若n－m的最小值为，则实数a的值为________．

解析：作出y＝|logax|(0＜a＜1)的大致图象如图，令|logax|＝1.

得x＝a或x＝，又1－a－＝1－a－＝＜0，

故1－a＜－1，

所以n－m的最小值为1－a＝，a＝.

答案：

4．已知函数f(x)＝lg，其中x>0，a>0.

(1)求函数f(x)的定义域；

(2)若对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，试确定a的取值范围．

解：(1)由x＋－2>0，得>0.

因为x>0，所以x2－2x＋a>0.

当a>1时，定义域为(0，＋∞)；

当a＝1时，定义域为(0，1)∪(1，＋∞)；

当0<a<1时，定义域为(0，1－)∪(1＋，＋∞)．

(2)对任意x∈[2，＋∞)恒有f(x)>0，

即x＋－2>1对x∈[2，＋∞)恒成立，

即a>－x2＋3x对x∈[2，＋∞)恒成立，

记h(x)＝－x2＋3x，x∈[2，＋∞)，则只需a>h(x)max.

而h(x)＝－x2＋3x＝－＋在[2，＋∞)上是减函数，所以h(x)max＝h(2)＝2，故a>2.