高中数学高考第6讲　对数与对数函数

第6讲　对数与对数函数

一、选择题

1.(2015·四川卷)设a，b为正实数，则“a>b>1”是“log2a>log2b>0”的(　　)

A.充分必要条件    B.充分不必要条件

C.必要不充分条件   D.既不充分也不必要条件

解析　因为y＝log2x在(0，＋∞)上单调递增，所以当a>b>1时，有log2a>log2b>log21＝0；

当log2a>log2b>0＝log21时，有a>b>1.

答案　A

2.(2017·石家庄模拟)已知a＝log23＋log2，b＝log29－log2，c＝log32，则a，b，c的大小关系是(　　)

A.a＝b<c   B.a＝b>c   C.a<b<c   D.a>b>c

解析　因为a＝log23＋log2＝log23＝log23>1，b＝log29－log2＝log23＝a，c＝log32<log33＝1.

答案　B

3.若函数y＝logax(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则下列函数图象正确的是(　　)

解析　由题意y＝logax(a>0，且a≠1)的图象过(3，1)点，可解得a＝3.选项A中，y＝3－x＝，显然图象错误；选项B中，y＝x3，由幂函数图象可知正确；选项C中，y＝(－x)3＝－x3，显然与所画图象不符；选项D中，y＝log3(－x)的图象与y＝log3x的图象关于y轴对称，显然不符.故选B.

答案　B

4.已知函数f(x)＝则f(f(1))＋f的值是(　　)

A.5   B.3   C.－1   D.

解析　由题意可知f(1)＝log21＝0，

f(f(1))＝f(0)＝30＋1＝2，

f＝3－log3＋1＝3log32＋1＝2＋1＝3，

所以f(f(1))＋f＝5.

答案　A

5.(2016·浙江卷)已知a，b>0且a≠1，b≠1，若logab>1，则(　　)

A.(a－1)(b－1)<0    B.(a－1)(a－b)>0

C.(b－1)(b－a)<0    D.(b－1)(b－a)>0

解析　∵a>0，b>0且a≠1，b≠1.

由logab>1得loga>0.

∴a>1，且>1或0<a<1且0<<1，

则b>a>1或0<b<a<1.故(b－a)(b－1)>0.

答案　D

二、填空题

6.设f(x)＝log是奇函数，则使f(x)<0的x的取值范围是________.

解析　由f(x)是奇函数可得a＝－1，

∴f(x)＝lg，定义域为(－1，1).

由f(x)<0，可得0<<1，∴－1<x<0.

答案　(－1，0)

7.设函数f(x)满足f(x)＝1＋flog2x，则f(2)＝________.

解析　由已知得f＝1－f·log22，则f＝，则f(x)＝1＋·log2x，故f(2)＝1＋·log22＝.

答案　

8.(2015·福建卷)若函数f(x)＝(a>0，且a≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a的取值范围是________.

解析　当x≤2时，f(x)≥4；又函数f(x)的值域为[4，＋∞)，所以解1＜a≤2，所以实数a的取值范围为(1，2].

答案　(1，2]

三、解答题

9.设f(x)＝loga(1＋x)＋loga(3－x)(a>0，a≠1)，且f(1)＝2.

(1)求a的值及f(x)的定义域；

(2)求f(x)在区间上的最大值.

解　(1)∵f(1)＝2，∴loga4＝2(a>0，a≠1)，

∴a＝2.

由得－1＜x＜3，

∴函数f(x)的定义域为(－1，3).

(2)f(x)＝log2(1＋x)＋log2(3－x)

＝log2(1＋x)(3－x)＝log2[－(x－1)2＋4]，

∴当x∈(－1，1]时，f(x)是增函数；

当x∈(1，3)时，f(x)是减函数，

故函数f(x)在上的最大值是f(1)＝log24＝2.

10.(2016·衡阳月考)已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且f(0)＝0，当x>0时，f(x)＝logx.

(1)求函数f(x)的解析式；

(2)解不等式f(x2－1)>－2.

解　(1)当x<0时，－x>0，则f(－x)＝log(－x).

因为函数f(x)是偶函数，所以f(－x)＝f(x)＝log(－x)，

所以函数f(x)的解析式为

f(x)＝

(2)因为f(4)＝log4＝－2，f(x)是偶函数，

所以不等式f(x2－1)>－2转化为f(|x2－1|)>f(4).

又因为函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数，

所以|x2－1|<4，解得－<x<，

即不等式的解集为(－，).

11.(2017·青岛质检)已知函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，若a＝f(20.3)，b＝f(log4)，c＝f(log25)，则a，b，c的大小关系是(　　)

A.a>b>c    B.c>b>a

C.c>a>b    D.a>c>b

解析　函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，当x∈(－∞，0]时，f(x)为减函数，

∴f(x)在[0，＋∞)为增函数，

∵b＝f(log4)＝f(－2)＝f(2)，1<20.3<2<log25，

∴c>b>a.

答案　B

12.已知函数f(x)＝ln，若f(a)＋f(b)＝0，且0＜a＜b＜1，则ab的取值范围是________.

解析　由题意可知ln＋ln＝0，

即ln＝0，从而×＝1，化简得a＋b＝1，故ab＝a(1－a)＝－a2＋a＝－＋，

又0＜a＜b＜1，

∴0＜a＜，故0＜－＋＜.

答案　

13.(2016·浙江卷)已知a>b>1，若logab＋logba＝，ab＝ba，则a＝________，b＝________.

解析　∵logab＋logba＝logab＋＝，

∴logab＝2或.∵a>b>1，∴logab<logaa＝1，

∴logab＝，∴a＝b2.∵ab＝ba，∴(b2)b＝bb2，∴b2b＝bb2，

∴2b＝b2，∴b＝2，∴a＝4.

答案　4　2

14.设x∈[2，8]时，函数f(x)＝loga(ax)·loga(a2x)(a>0，且a≠1)的最大值是1，最小值是－，求a的值.

解　由题意知f(x)＝(logax＋1)(logax＋2)

＝(logx＋3logax＋2)

＝－.

当f(x)取最小值－时，logax＝－.

又∵x∈[2，8]，∴a∈(0，1).

∵f(x)是关于logax的二次函数，

∴函数f(x)的最大值必在x＝2或x＝8时取得.

若－＝1，则a＝2－，

此时f(x)取得最小值时，x＝(2－)－＝∉[2，8]，舍去.

若－＝1，则a＝，

此时f(x)取得最小值时，x＝＝2∈[2，8]，

符合题意，∴a＝.