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    高中数学高考6 第6讲 空间向量及其运算 新题培优练

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    这是一份高中数学高考6 第6讲 空间向量及其运算 新题培优练,共9页。

    [基础题组练]

    1.已知三棱锥O­ABCMN分别为ABOC的中点abcabc表示等于(  )

    A.(bca)

    B.(abc)

    C.(abc)

    D.(cab)

    解析:D.(cab)

    2已知a(213)b(123)c(76λ)abc三向量共面λ(  )

    A9           B9

    C3   D3

    解析:B.由题意知cxayb(76λ)x(213)y(123)所以解得λ=-9.

    3在空间四边形ABCD···(  )

    A1   B0

    C1   D不确定

    解析:B.如图abc

    ···a·(cb)(ac)(ba)a·ca·bb·ab·cc·bc·a0.

    4.如图在大小为45°的二面角A­EF­D四边形ABFE四边形CDEF都是边长为1的正方形BD两点间的距离是(  )

    A.   B.

    C1   D.

    解析:D.因为所以||2||2||2||22·2·2·1113所以||.

    5已知A(100)B(011)O为坐标原点λ的夹角为120°λ的值为(  )

    A±   B.

    C   D±

    解析:C.λ(1λλ)cos 120°=-λ±.经检验λ不合题意舍去所以λ=-.

    6.如图所示在长方体ABCD­A1B1C1D1OAC的中点表示________

    解析:因为

    ()

    所以().

    答案:

    7.已知PA垂直于正方形ABCD所在的平面MN分别是CDPC的中点并且PAAD1.在如图所示的空间直角坐标系中MN________

    解析:连接PD因为MN分别为CDPC的中点所以MNPDP(001)D(010)

    所以PD所以MN.

    答案:

    8.如图所示已知空间四边形OABCOBOCAOBAOCcos〉的值为________

    解析:abc

    由已知条件得〈ab〉=〈ac〉=|b||c|

    ·a·(cb)a·ca·b

    |a||c||a||b|0

    所以

    所以cos〉=0.

    答案:0

    9如图在四棱柱ABCD­A1B1C1D1底面ABCD是平行四边形EFG分别是A1D1D1DD1C1的中点

    (1)试用向量表示

    (2)用向量方法证明平面EFG平面AB1C.

    解:(1)abc.

    由图得

    cb

    abc

    .

    (2)证明:由题图ab

    ba

    因为EGAC无公共点

    所以EGAC因为EG平面AB1CAC平面AB1C

    所以EG平面AB1C.

    又因为ac

    ca

    因为FGAB1无公共点所以FGAB1

    因为FG平面AB1CAB1平面AB1C

    所以FG平面AB1C

    又因为FGEGGFGEG平面EFG

    所以平面EFG平面AB1C.

    10已知正四面体ABCD(所有棱长均相等)的棱长为1EFGH分别是四面体ABCD中各棱的中点abc试采用向量法解决下列问题

    (1)的模长;

    (2)的夹角

    解:(1)如图所示

    正四面体ABCD的棱长为1EFGH分别是四面体ABCD中各棱的中点

    abc

    所以()(ba)

    c

    所以=-(ba)ac(cab)

    所以||

    .

    (2)正四面体ABCD(cab)||

    同理(bca)||

    所以cos〉=

    [(ca)2b2]

    [c2a22c·ab2]

    [112×1×1×cos 60°1]

    0

    所以的夹角为90°.

    [综合题组练]

    1已知空间任意一点O和不共线的三点ABCxyz(xyzR)x2y=-3z2PABC四点共面(  )

    A必要不充分条件   B充分不必要条件

    C充要条件   D既不充分也不必要条件

    解析:B.x2y=-3z2232.23()2()=-32根据共面向量定理知PABC四点共面;反之PABC四点共面时根据共面向量定理mn(mnR)m()n()(1mn)mnx1mnymzn这组数显然不止232.x2y=-3z2PABC四点共面的充分不必要条件

    2如图正方形ABCD与矩形ACEF所在平面互相垂直ABAF1MEFAM平面BDEM点的坐标为(  )

    A(111) 

    B.

    C. 

    D.

    解析:C.M点的坐标为(xy1)因为ACBDO所以O

    E(001)A(0)

    所以(xy1)

    因为AM平面BDE所以

    所以

    所以M点的坐标为.

    3如图在正四棱柱ABCD­A1B1C1D1AA12ABBC1动点PQ分别在线段C1DAC则线段PQ长度的最小值是(  )

    A.   B.

    C.   D.

    解析:C.λμ(λμ[01])

    所以λ(012)(0λ2λ)

    μ()(100)μ(110)(1μμ0)

    所以|||||(1μμλ2λ)|

    当且仅当λμλμ时取等号

    所以线段PQ长度的最小值为.故选C.

    4在正三棱柱ABC­A1B1C1侧棱长为2底面边长为1MBC的中点λAB1MNλ的值为________

    解析:如图所示B1C1的中点P连接MP的方向为xyz轴正方向建立空间直角坐标系

    因为底面边长为1侧棱长为2AB1(02)CC1

    M(000)N

    因为λ所以N

    所以.

    又因为AB1MN所以·0.

    所以-0所以λ15.

    答案:15

    5.如图在多面体ABC­A1B1C1四边形A1ABB1是正方形ABACBCABB1C1BC二面角A1­AB­C是直二面角

    求证:(1)A1B1平面AA1C

    (2)AB1平面A1C1C.

    证明:因为二面角A1­AB­C是直二面角

    四边形A1ABB1为正方形

    所以AA1平面BAC.

    又因为ABACBCAB

    所以CAB90°

    CAAB

    所以ABACAA1两两互相垂直

    建立如图所示的空间直角坐标系Axyz

    AB2A(000)B1(022)A1(002)C(200)C1(112)

    (1)(020)(002)(200)

    设平面AA1C的一个法向量n(xyz)

    y1n(010)

    所以2n

    n.

    所以A1B1平面AA1C.

    (2)易知(022)(110)(202)

    设平面A1C1C的一个法向m(x1y1z1)

    x11y1=-1z11

    m(111)

    所以·m0×12×(1)2×10

    所以m

    AB1平面A1C1C

    所以AB1平面A1C1C.

    6.如图所示四棱锥S­ABCD的底面是正方形每条侧棱的长都是底面边长的P为侧棱SD上的点

    (1)求证:ACSD

    (2)SD平面PAC侧棱SC上是否存在一点E使得BE平面PAC?若存在SEEC的值;若不存在试说明理由

    解:(1)证明:连接BDACBD于点O连接SOACBD.

    由题意知SO平面ABCD.

    O为坐标原点分别为xyz轴的正方向建立空间直角坐标系如图

    设底面边长为a则高SOa

    于是SD

    BC

    ·0.

    OCSD.

    从而ACSD.

    (2)SC上存在一点E使BE平面PAC.

    理由如下:

    由已知条件知是平面PAC的一个法向量

    .

    tt

    ·0

    解得t.

    即当SEEC21.

    BE平面PAC

    BE平面PAC.

     

     

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