高中数学高考6 第6讲 离散型随机变量及其分布列 新题培优练
展开[基础题组练]
1.在15个村庄中有7个村庄交通不方便,现从中任意选10个村庄,用X表示这10个村庄中交通不方便的村庄数,则下列概率中等于的是( )
A.P(X=2) B.P(X≤2)
C.P(X=4) D.P(X≤4)
解析:选C.X服从超几何分布,P(X=k)=,故k=4,故选C.
2.设随机变量X的分布列为P(X=k)=a,k=1,2,3,则a的值为( )
A.1 B.
C. D.
解析:选D.因为随机变量X的分布列为
P(X=k)=a,k=1,2,3,
所以根据分布列的性质有a×+a+a=1,
所以a=a×=1,
所以a=.
3.设随机变量X的概率分布列如下表所示:
X | 0 | 1 | 2 |
P | a |
若F(x)=P(X≤x),则当x的取值范围是[1,2)时,F(x)等于( )
A. B.
C. D.
解析:选D.由分布列的性质,得a++=1,所以a=.而x∈[1,2),所以F(x)=P(X≤1)=+=.
4.一袋中装有5个球,编号为1,2,3,4,5,在袋中同时取出3个,以ξ表示取出的三个球中的最小号码,则随机变量ξ的分布列为( )
A.
ξ | 1 | 2 | 3 |
P |
B.
ξ | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
C.
ξ | 1 | 2 | 3 |
P |
D.
ξ | 1 | 2 | 3 |
P |
解析:选C.随机变量ξ的可能取值为1,2,3,P(ξ=1)==,P(ξ=2)==,P(ξ=3)==,故选C.
5.已知在10件产品中可能存在次品,从中抽取2件检查,其中次品数为ξ,已知P(ξ=1)=,且该产品的次品率不超过40%,则这10件产品的次品率为( )
A.10% B.20%
C.30% D.40%
解析:选B.设10件产品中有x件次品,则P(ξ=1)===,所以x=2或8.因为次品率不超过40%,所以x=2,所以次品率为=20%.
6.抛掷2颗骰子,所得点数之和X是一个随机变量,则P(X≤4)=________.
解析:抛掷2颗骰子有36个基本事件,
其中X=2对应(1,1);X=3对应(1,2),(2,1);X=4对应(1,3),(2,2),(3,1).所以P(X≤4)=P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)=++=.
答案:
7.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛,则所选3人中女生人数不超过1人的概率是________.
解析:设所选女生人数为X,则X服从超几何分布,
则P(X≤1)=P(X=0)+P(X=1)=+=.
答案:
8.一盒中有12个乒乓球,其中9个新的,3个旧的,从盒子中任取3个球来用,用完即为旧的,用完后装回盒中,此时盒中旧球个数X是一个随机变量,则P(X=4)的值为________.
解析:事件“X=4”表示取出的3个球有1个新球,2个旧球,故P(X=4)==.
答案:
9.有编号为1,2,3,…,n的n个学生,入坐编号为1,2,3,…,n的n个座位,每个学生规定坐一个座位,设学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,已知X=2时,共有6种坐法.
(1)求n的值;
(2)求随机变量X的分布列.
解:(1)因为当X=2时,有C种坐法,
所以C=6,即=6,
n2-n-12=0,解得n=4或n=-3(舍去),所以n=4.
(2)因为学生所坐的座位号与该生的编号不同的学生人数为X,
由题意知X的可能取值是0,2,3,4,
所以P(X=0)==,
P(X=2)===,
P(X=3)===,
P(X=4)=1---=,
所以随机变量X的分布列为
X | 0 | 2 | 3 | 4 |
P |
10.某大学志愿者协会有6名男同学,4名女同学.在这10名同学中,3名同学来自数学学院,其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院.现从这10名同学中随机选取3名同学,到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同).
(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率;
(2)设X为选出的3名同学中女同学的人数,求随机变量X的分布列.
解:(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A,则P(A)==.
所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为.
(2)随机变量X的所有可能值为0,1,2,3.
P(X=k)=(k=0,1,2,3).
所以随机变量X的分布列是
X | 0 | 1 | 2 | 3 |
P |
[综合题组练]
1.(2019·长春质量检测(一))长春市的“名师云课”活动自开展以来获得广大家长和学生的高度赞誉,在推出的第二季名师云课中,数学学科共计推出36节云课,为了更好地将课程内容呈现给学生,现对某一时段云课的点击量进行统计:
点击量 | [0,1 000] | (1 000,3 000] | (3 000,+∞) |
节数 | 6 | 18 | 12 |
(1)现从36节云课中采用分层抽样的方式选出6节,求选出的点击量超过3 000的节数;
(2)为了更好地搭建云课平台,现将云课进行剪辑,若点击量在区间[0,1 000]内,则需要花费40分钟进行剪辑,若点击量在区间(1 000,3 000]内,则需要花费20分钟进行剪辑,若点击量超过3 000,则不需要剪辑,现从(1)中选出的6节课中随机取出2节课进行剪辑,求剪辑时间X的分布列.
解:(1)根据分层抽样可知,选出的6节课中点击量超过3 000的节数为×6=2.
(2)由分层抽样可知,(1)中选出的6节课中点击量在区间[0,1 000]内的有1节,点击量在区间(1 000,3 000]内的有3节,故X的可能取值为0,20,40,60.
P(X=0)==,
P(X=20)===,
P(X=40)===,
P(X=60)===,
故X的分布列为
X | 0 | 20 | 40 | 60 |
P |
2.(2019·郑州第一次质量预测)为了减少雾霾,还城市一片蓝天,某市政府于12月4日到12月31日在主城区实行车辆限号出行政策,鼓励民众不开车低碳出行.市政府为了了解民众低碳出行的情况,统计了该市甲、乙两个单位各200名员工12月5日到12月14日共10天的低碳出行的人数,画出茎叶图如图所示.
(1)若甲单位数据的平均数是122,求x;
(2)现从图中的数据中任取4天的数据(甲、乙两个单位中各取2天),记抽取的4天中甲、乙两个单位员工低碳出行的人数不低于130的天数分别为ξ1,ξ2,令η=ξ1+ξ2,求η的分布列.
解:(1)由题意知
=122,
解得x=8.
(2)由题得ξ1的所有可能取值为0,1,2,ξ2的所有可能取值为0,1,2,因为η=ξ1+ξ2,所以随机变量η的所有可能取值为0,1,2,3,4.
因为甲单位低碳出行的人数不低于130的天数为3,乙单位低碳出行的人数不低于130的天数为4,所以
P(η=0)==;
P(η=1)==;
P(η=2)==;
P(η=3)==;
P(η=4)==.
所以η的分布列为
η | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 |
P |
3.某班级50名学生的考试分数x分布在区间[50,100)内,设考试分数x的分布频率是f(x),
且f(x)=
考试成绩采用“5分制”,规定:考试分数在[50,60)内的成绩记为1分,考试分数在[60,70)内的成绩记为2分,考试分数在[70,80)内的成绩记为3分,考试分数在[80,90)内的成绩记为4分,考试分数在[90,100)内的成绩记为5分.在50名学生中用分层抽样的方法,从成绩为1分,2分及3分的学生中随机抽出6人,再从这6人中随机抽出3人,记这3人的成绩之和为ξ(将频率视为概率).
(1)求b的值,并估计该班的考试平均分数;
(2)求P(ξ=7);
(3)求ξ的分布列.
解:(1)因为f(x)=
所以++++=1,
所以b=1.9.
估计该班的考试平均分数为
×55+×65+×75+×85+×95=76(分).
(2)由题意可知:考试成绩记为1分,2分,3分,4分,5分的频率分别是0.1,0.2,0.3,0.3,0.1,按分层抽样的方法分别从考试成绩记为1分,2分,3分的学生中抽出1人,2人,3人,再从这6人中抽出3人,所以P(ξ=7)==.
(3)ξ=5,6,7,8,9,
P(ξ=5)==,
P(ξ=6)==,
P(ξ=7)=,
P(ξ=8)==,
P(ξ=9)==.
ξ的分布列为
ξ | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
P |