高中数学高考7 第6讲　双曲线　新题培优练

这是一份高中数学高考7 第6讲　双曲线　新题培优练，共10页。试卷主要包含了②无解，若双曲线C1，已知双曲线C，如图，F1，F2是双曲线C，过双曲线C等内容，欢迎下载使用。

 [基础题组练]
1．“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的(　　)
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析：选A.因为方程＋＝1表示双曲线，所以(25－k)(k－9)<0，所以k<9或k>25，
所以“k<9”是“方程＋＝1表示双曲线”的充分不必要条件，故选A.
2．(2018·高考全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)
A．y＝±x　　　　 B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选A.法一：由题意知，e＝＝，所以c＝a，所以b＝＝a，所以＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.
法二：由e＝＝＝，得＝，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，故选A.
3．(一题多解)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是(　　)
A．(－1，3)　　　　　　　　 B．(－1，)
C．(0，3) D．(0，)
解析：选A.法一：由题意可知：c2＝(m2＋n)＋(3m2－n)＝4m2，其中c为半焦距，
所以2c＝2×|2m|＝4，所以|m|＝1，
因为方程－＝1表示双曲线，
所以(m2＋n)·(3m2－n)>0，
所以－m2 法二：因为原方程表示双曲线，且焦距为4，
所以　①
或　②
由①得m2＝1，n∈(－1，3)．②无解．故选A.
4．若双曲线C1：－＝1与C2：－＝1(a>0，b>0)的渐近线相同，且双曲线C2的焦距为4，则b＝(　　)
A．2　　　　　　　　　　　 B．4
C．6 D．8
解析：选B.由题意得，＝2⇒b＝2a，C2的焦距2c＝4⇒c＝＝2⇒b＝4，故选B.
5．(一题多解)(2019·开封模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F(－c，0)作圆O：x2＋y2＝a2的切线，切点为E，延长FE交双曲线于点P，若E为线段FP的中点，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C.＋1 D.
解析：选A.法一：如图所示，不妨设E在x轴上方，F′为双曲线的右焦点，连接OE，PF′，
因为PF是圆O的切线，所以OE⊥PE，又E，O分别为PF，FF′的中点，所以|OE|＝|PF′|，又|OE|＝a，所以|PF′|＝2a，根据双曲线的性质，|PF|－|PF′|＝2a，所以|PF|＝4a，所以|EF|＝2a，在Rt△OEF中，|OE|2＋|EF|2＝|OF|2，即a2＋4a2＝c2，所以e＝，故选A.
法二：连接OE，因为|OF|＝c，|OE|＝a，OE⊥EF，所以|EF|＝b，设F′为双曲线的右焦点，连接PF′，因为O，E分别为线段FF′，FP的中点，所以|PF|＝2b，|PF′|＝2a，所以|PF|－|PF′|＝2a，所以b＝2a，所以e＝＝.
6．(2018·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N.若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)
A. B．3
C．2 D．4
解析：选B.因为双曲线－y2＝1的渐近线方程为y＝±x，所以∠MON＝60°.不妨设过点F的直线与直线y＝x交于点M，由△OMN为直角三角形，不妨设∠OMN＝90°，则∠MFO＝60°，又直线MN过点F(2，0)，所以直线MN的方程为y＝－(x－2)，
由得所以M，所以|OM|＝＝，所以|MN|＝|OM|＝3，故选B.
7．(2019·辽宁五校协作体联合模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率为，从双曲线C的右焦点F引渐近线的垂线，垂足为A，若△AFO的面积为1，则双曲线C的方程为(　　)
A.－＝1 B.－y2＝1
C.－＝1 D．x2－＝1
解析：选D.因为双曲线C的右焦点F到渐近线的距离|FA|＝b，|OA|＝a，所以ab＝2，又双曲线C的离心率为，所以 ＝，即b2＝4a2，解得a2＝1，b2＝4，所以双曲线C的方程为x2－＝1，故选D.
8．(2019·河北邯郸联考)如图，F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右两个焦点，若直线y＝x与双曲线C交于P，Q两点，且四边形PF1QF2为矩形，则双曲线的离心率为(　　)

A．2＋ B.
C．2＋ D.
解析：选D.由题意可得，矩形的对角线长相等，将直线y＝x代入双曲线C方程，可得x＝±，所以·＝c，所以2a2b2＝c2(b2－a2)，即2(e2－1)＝e4－2e2，所以e4－4e2＋2＝0.因为e>1，所以e2＝2＋，所以e＝，故选D.
9．(2019·贵阳模拟)过双曲线C：－＝1(a＞0，b＞0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若＝2，则双曲线的离心率为(　　)
A. B.
C. D．2
解析：选B.设P(0，3m)，由＝2，可得点M的坐标为，因为OM⊥PF，所以·＝－1，所以m2＝c2，所以M，由|OM|2＋|MF|2＝|OF|2，|OM|＝a，|OF|＝c得，a2＋＋＝c2，a2＝c2，所以e＝＝，故选B.
10．(2019·石家庄模拟)双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1作倾斜角为30°的直线，与y轴和双曲线的右支分别交于A，B两点，若点A平分线段F1B，则该双曲线的离心率是(　　)
A. B.
C．2 D.
解析：选A.由题意可知F1(－c，0)，设A(0，y0)，因为A是F1B的中点，所以点B的横坐标为c，又点B在双曲线的右支上，所以B，因为直线F1B的倾斜角为30°，所以＝，化简整理得＝，又b2＝c2－a2，所以3c2－3a2－2ac＝0，两边同时除以a2得3e2－2e－3＝0，解得e＝或e＝－(舍去)，故选A.
11．已知M(x0，y0)是双曲线C：－y2＝1上的一点，F1，F2是双曲线C的两个焦点．若·<0，则y0的取值范围是(　　)
A. B.
C. D.
解析：选A.由题意知a＝，b＝1，c＝，
设F1(－，0)，F2(，0)，
则＝(－－x0，－y0)，＝(－x0，－y0)．
因为·<0，
所以(－－x0)(－x0)＋y<0，
即x－3＋y<0.
因为点M(x0，y0)在双曲线C上，
所以－y＝1，即x＝2＋2y，
所以2＋2y－3＋y<0，所以－ 12．(2019·四川南充模拟)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点，D为虚轴上的一个端点，且△ABD为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为(　　)
A．(1，)
B．(，)
C．(，2)
D．(1，)∪(，＋∞)
解析：选D.设双曲线：－＝1(a>0，b>0)的左焦点为F1(－c，0)，
令x＝－c，可得y＝±，可设A，B.
又设D(0，b)，可得＝.
＝，＝.
由△ABD为钝角三角形，可得∠DAB为钝角或∠ADB为钝角．
当∠DAB为钝角时，可得·<0，即为0－·<0，化为a>b，即有a2>b2＝c2－a2.可得c2<2a2，即e＝<.又e>1，可得10，由e＝，
可得e4－4e2＋2>0.又e>1，可得e>.
综上可得，e的范围为(1，)∪(，＋∞)．故选D.
13．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为________．
解析：由双曲线的渐近线过点(3，－4)知＝，
所以＝.又b2＝c2－a2，所以＝，
即e2－1＝，所以e2＝，所以e＝.
答案：
14．双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的渐近线为正方形OABC的边OA，OC所在的直线，点B为该双曲线的焦点．若正方形OABC的边长为2，则a＝________.
解析：双曲线－＝1的渐近线方程为y＝±x，由已知可得两条渐近线方程互相垂直，由双曲线的对称性可得＝1.又正方形OABC的边长为2，所以c＝2，所以a2＋b2＝c2＝(2)2，解得a＝2.
答案：2
15．(2019·武汉调研)已知点P在双曲线－＝1(a>0，b>0)上，PF⊥x轴(其中F为双曲线的右焦点)，点P到该双曲线的两条渐近线的距离之比为，则该双曲线的离心率为________．
解析：由题意知F(c，0)，由PF⊥x轴，不妨设点P在第一象限，则P，双曲线渐近线的方程为bx±ay＝0，由题意，得＝，解得c＝2b，又c2＝a2＋b2，所以a＝b，所以双曲线的离心率e＝＝＝.
答案：
16．(2019·长春监测)已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2－y2＝1的左、右焦点，P为双曲线左支上任一点，过点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|＝________．
解析：如图所示，延长F1H交PF2于点Q，由PH为∠F1PF2的平分线及PH⊥F1Q，可知|PF1|＝|PQ|，根据双曲线的定义，得|PF2|－|PF1|＝2，从而|QF2|＝2，在△F1QF2中，易知OH为中位线，故|OH|＝1.

答案：1
[综合题组练]
1．(一题多解)已知双曲线C：－＝1 (a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为(　　)
A.－＝1　　　　　　 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
解析：选B.法一：由双曲线的渐近线方程可设双曲线方程为－＝k(k>0)，即－＝1，因为双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，所以4k＋5k＝12－3，解得k＝1，故双曲线C的方程为－＝1.故选B.
法二：因为椭圆＋＝1的焦点为(±3，0)，双曲线与椭圆＋＝1有公共焦点，所以a2＋b2＝(±3)2＝9①，因为双曲线的一条渐近线为y＝x，所以＝②，联立①②可解得a2＝4，b2＝5.所以双曲线C的方程为－＝1.
2．(2019·郑州模拟)已知双曲线C：－＝1(a＞b＞0)的两条渐近线与圆O：x2＋y2＝5交于M，N，P，Q四点，若四边形MNPQ的面积为8，则双曲线C的渐近线方程为(　　)
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
解析：选B.以原点为圆心，半径长为的圆的方程为x2＋y2＝5，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，不妨设M，
因为四边形MNPQ的面积为8，所以4x·x＝8，
所以x2＝2，
将M代入x2＋y2＝5，可得x2＋x2＝5，
所以＋＝5，a＞b＞0，
解得＝，故选B.
3．(2019·石家庄模拟)以椭圆＋＝1的顶点为焦点，焦点为顶点的双曲线C，其左、右焦点分别是F1，F2.已知点M的坐标为(2，1)，双曲线C上的点P(x0，y0)(x0>0，y0>0)满足＝，则S△PMF1－S△PMF2＝(　　)
A．2 B．4
C．1 D．－1
解析：选A.由题意，知双曲线方程为－＝1，|PF1|－|PF2|＝4，由＝，可得＝，即F1M平分∠PF1F2.
又结合平面几何知识可得，△F1PF2的内心在直线x＝2上，所以点M(2，1)就是△F1PF2的内心．
故S△PMF1－S△PMF2＝×(|PF1|－|PF2|)×1＝×4×1＝2.
4．(2019·高考全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点，若＝，·＝0，则C的离心率为________．
解析：通解：因为·＝0，所以F1B⊥F2B，如图．

所以|OF1|＝|OB|，所以∠BF1O＝∠F1BO，所以∠BOF2＝2∠BF1O.因为＝，所以点A为F1B的中点，又点O为F1F2的中点，所以OA∥BF2，所以F1B⊥OA，因为直线OA，OB为双曲线C的两条渐近线，所以tan ∠BF1O＝，tan ∠BOF2＝.因为tan ∠BOF2＝tan(2∠BF1O)，所以＝，所以b2＝3a2，所以c2－a2＝3a2，即2a＝c，所以双曲线的离心率e＝＝2.
优解：因为·＝0，所以F1B⊥F2B，在Rt△F1BF2 中，|OB|＝|OF2|，所以∠OBF2＝∠OF2B，又＝，所以A为F1B的中点，所以OA∥F2B，所以∠F1OA＝∠OF2B.又∠F1OA＝∠BOF2，所以△OBF2为等边三角形．由F2(c，0)可得B，因为点B在直线y＝x上，所以c＝·，所以＝，所以e＝＝2.
答案：2
5．设双曲线－＝1的两个焦点分别为F1，F2，离心率为2.
(1)若A，B分别为此双曲线的渐近线l1，l2上的动点，且2|AB|＝5|F1F2|，求线段AB的中点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线；
(2)过点N(1，0)能否作出直线l，使l交双曲线于P，Q两点，且·＝0，若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．
解：(1)因为e＝2，所以c2＝4a2，
因为c2＝a2＋3，所以a＝1，c＝2，
所以双曲线方程为y2－＝1，渐近线方程为y＝±x；
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB的中点M(x，y)，
因为2|AB|＝5|F1F2|，
所以|AB|＝|F1F2|＝10，
所以＝10，
因为y1＝x1，y2＝－x2，2x＝x1＋x2，2y＝y1＋y2，
所以y1＋y2＝(x1－x2)，y1－y2＝(x1＋x2)，
所以＝10，
所以3(2y)2＋(2x)2＝100，
即＋＝1，
则M的轨迹是中心在原点，焦点在x轴上，长轴长为10，短轴长为的椭圆．
(2)假设存在满足条件的直线l.
设l：y＝k(x－1)，l与双曲线交于P(x1，y1)，Q(x2，y2)，
因为·＝0，
所以x1x2＋y1y2＝0，
所以x1x2＋k2(x1－1)(x2－1)＝0，
所以x1x2＋k2[x1x2－(x1＋x2)＋1]＝0，①
因为，可得(3k2－1)x2－6k2x＋3k2－3＝0，
所以x1＋x2＝，x1x2＝，②
将②代入①得k2＋3＝0，
所以k不存在，所以假设不成立，即不存在满足条件的直线l.