高中数学高考03第一章 集合与常用逻辑用语 1 3 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

§1.3　简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词

1．简单的逻辑联结词

(1)命题中的   、   、   叫做逻辑联结词．

(2)命题p且q、p或q、非p的真假判断

2.全称量词和存在量词

(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符号“∀”表示．

(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“∃”表示．

3．全称命题、存在性命题及含一个量词的命题的否定

概念方法微思考

含有逻辑联结词的命题的真假有什么规律？

提示　p∨q：一真即真；p∧q：一假即假；p，¬p：真假相反．

题组一　思考辨析

1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)命题“3≥2”是真命题．(　 　)

(2)命题p和¬p不可能都是真命题．(　 　)

(3)“全等三角形的面积相等”是存在性命题．(　 　)

(4)命题¬(p∧q)是假命题，则命题p，q都是真命题．(　 　)

题组二　教材改编

2．已知p：2是偶数，q：2是质数，则命题¬p，¬q，p∨q，p∧q中真命题的个数为(　　)

A．1  B．2  C．3  D．4

3．命题“正方形都是矩形”的否定是_________________________．

题组三　易错自纠

4．已知命题p，q，“¬p为真”是“p∧q为假”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

5．(2018·大连质检)命题“∃x∈R，x2－x－1>0”的否定是(　　)

A．∀x∈R，x2－x－1≤0 B．∀x∈R，x2－x－1>0

C．∃x∈R，x2－x－1≤0 D．∃x∈R，x2－x－1≥0

6．若“∀x∈，tan x≤m”是真命题，则实数m的最小值为________．

题型一　含有逻辑联结词的命题的真假判断

1．命题p：若sin x>sin y，则x>y；命题q：x2＋y2≥2xy.下列命题为假命题的是(　　)

A．p或q  B．p且q  C．q  D．¬p

2．已知命题p：∃x∈R，x2－x＋1≥0；命题q：若a2<b2，则a<b.下列命题为真命题的是(　　)

A．p∧q   B．p∧(¬q)

C．(¬p)∧q   D．(¬p)∧(¬q)

3．已知命题p：∃x∈R，使sin x＝；命题q：∀x∈R，都有x2＋x＋1>0.给出下列结论：①命题“p∧q”是真命题；②命题“p∧(¬q)”是假命题；③命题“(¬p)∨q”是真命题；④命题“(¬p)∨(¬q)”是假命题，其中正确的是_____．(把所有正确结论的序号都填上)

思维升华 “p∨q”“p∧q”“¬p”等形式命题真假的判断步骤

(1)确定命题的构成形式；

(2)判断其中命题p，q的真假；

(3)确定“p∧q”“p∨q”“¬p”等形式命题的真假．

题型二　含有一个量词的命题

命题点1　全称命题、存在性命题的真假

例1 (1)(2018·沈阳模拟)下列四个命题中真命题是(　　)

A．∀n∈R，n2≥n

B．∃n∈R，∀m∈R，m·n＝m

C．∀n∈R，∃m∈R，m2<n

D．∀n∈R，n2<n

(2)下列命题中的假命题是(　　)

A．∀x∈R，2x－1>0   B．∀x∈N＋，(x－1)2>0

C．∃x∈R，lg x<1   D．∃x∈R，tan x＝2

命题点2　含一个量词的命题的否定

例2 (1)已知命题p：“∃x∈R，ex－x－1≤0”，则¬p为(　　)

A．∃x∈R，ex－x－1≥0

B．∃x∈R，ex－x－1>0

C．∀x∈R，ex－x－1>0

D．∀x∈R，ex－x－1≥0

(2)(2018·福州质检)已知命题p：∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≥0，则¬p是(　　)

A．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0

B．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)≤0

C．∃x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0

D．∀x1，x2∈R，[f(x2)－f(x1)](x2－x1)<0

思维升华 (1)判定全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断存在性命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立．

(2)对全称(存在性)命题进行否定的方法

①找到命题所含的量词，没有量词的要结合命题的含义先加上量词，再改变量词；

②对原命题的结论进行否定．

跟踪训练1 (1)(2018·东北三校联考)下列命题中是假命题的是(　　)

A．∃x∈R，log2x＝0   B．∃x∈R，cos x＝1

C．∀x∈R，x2>0   D．∀x∈R，2x>0

(2)已知命题p：∃x∈R，log2(3x＋1)≤0，则(　　)

A．p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0

B．p是假命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0

C．p是真命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)≤0

D．p是真命题；¬p：∀x∈R，log2(3x＋1)>0

题型三　命题中参数的取值范围

例3 (1)(2018·包头质检)已知命题p：“∀x∈[0,1]，a≥ex”；命题q：“∃x∈R，使得x2＋4x＋a＝0”．若命题“p∧q”是真命题，则实数a的取值范围为____________．

(2)已知f(x)＝ln(x2＋1)，g(x)＝x－m，若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围是________________．

引申探究

本例(2)中，若将“∃x2∈[1,2]”改为“∀x2∈[1,2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________________．

思维升华 (1)已知含逻辑联结词的命题的真假，可根据每个命题的真假，利用集合的运算求解参数的取值范围．

(2)对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．

跟踪训练2 (1)已知命题“∀x∈R，x2－5x＋a>0”的否定为假命题，则实数a的取值范围是______________．

常用逻辑用语

有关四种命题及其真假判断、充分必要条件的判断或求参数的取值范围、量词等问题几乎在每年高考中都会出现，多与函数、数列、立体几何、解析几何等知识相结合，难度中等偏下．解决这类问题应熟练把握各类知识的内在联系．

一、命题的真假判断

例1 (1)下列命题的否定为假命题的是________．(填序号)

①∀x∈R，－x2＋x－1<0；

②∀x∈R，|x|>x；

③∀x，y∈Z，2x－5y≠12；

④∀x∈R，sin2x＋sin x＋1＝0.

(2)(2018·哈尔滨联考)已知命题p：∀x∈R，3x<5x；命题q：∃x∈R，x3＝1－x2，则下列命题中为真命题的是(　　)

A．p∧q   B．(¬p)∧q

C．p∧(¬q)   D．(¬p)∧(¬q)

二、充要条件的判断

例2 (1)设m，n为非零向量，则“存在负数λ，使得m＝λn”是“m·n<0”的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

(2)已知圆C：(x－1)2＋y2＝r2(r>0)．设p：0<r<3，q：圆C上至多有2个点到直线x－y＋3＝0的距离为1，则p是q的(　　)

A．充分不必要条件   B．必要不充分条件

C．充要条件   D．既不充分也不必要条件

三、求参数的取值范围

例3 (1)(2018·周口模拟)若命题“∃x∈R，x2＋(a－1)x＋1<0”是真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．[－1,3]

B．(－1,3)

C．(－∞，－1]∪[3，＋∞)

D．(－∞，－1)∪(3，＋∞)

(2)已知命题p：∃x∈R，(m＋1)·(x2＋1)≤0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1>0恒成立．若p∧q为假命题，则实数m的取值范围为____________．

1．已知命题p：“x>3”是“x2>9”的充要条件，命题q：“a2>b2”是“a>b”的充要条件，则(　　)

A．p∨q为真   B．p∧q为真

C．p真q假  D．p∨q为假

2．以下四个命题中既是存在性命题又是真命题的是(　　)

A．锐角三角形有一个内角是钝角

B．至少有一个实数x，使x2≤0

C．两个无理数的和必是无理数

D．存在一个负数x，>2

3．已知命题p：∃x∈R，x2＋1<2x；命题q：若mx2－mx＋1>0恒成立，则0<m<4，那么(　　)

A．“¬p”是假命题   B．q是真命题

C．“p∨q”为假命题   D．“p∧q”为真命题

4．命题“∀x∈R，∃n∈N＋，使得n≤x2”的否定形式是(　　)

A．∀x∈R，∃n∈N＋，使得n>x2

B．∀x∈R，∀n∈N＋，使得n>x2

C．∃x∈R，∃n∈N＋，使得n>x2

D．∃x∈R，∀n∈N＋，使得n>x2

5．若∃x∈，使得2x2－λx＋1<0成立是假命题，则实数λ的取值范围是(　　)

A．(－∞，2]  B．(2，3]　C.  D．{3}

6．命题p：∀x∈R，ax2＋ax＋1≥0，若¬p是真命题，则实数a的取值范围是(　　)

A．(0,4]   B．[0,4]

C．(－∞，0]∪[4，＋∞)   D．(－∞，0)∪(4，＋∞)

7．下列命题中，真命题是(　　)

A．∃x∈R，ex≤0

B．∀x∈R，2x>x2

C．a＋b＝0的充要条件是＝－1

D．“a>1，b>1”是“ab>1”的充分条件

8．(2018·鄂尔多斯模拟)已知命题p：∃x∈R，cos x＝；命题q：∀x∈R，x2－x＋1>0.则下列结论正确的是(　　)

A．命题p∧q是真命题 B．命题p∧(¬q)是真命题

C．命题(¬p)∧q是真命题 D．命题(¬p)∨(¬q)是假命题

9．命题p的否定是“对所有正数x，>x＋1”，则命题p可写为______________．

10．若命题“对∀x∈R，kx2－kx－1<0”是真命题，则k的取值范围是________________．

11．已知命题“∃x∈R，使2x2＋(a－1)x＋≤0”是假命题，则实数a的取值范围是________．

12．已知命题p1：∀x∈(0，＋∞)，3x>2x，p2：∃θ∈R，sin θ＋cos θ＝，则在命题q1：p1∨p2；q2：p1∧p2；q3：(¬p1)∨p2和q4：p1∧(¬p2)中，真命题是________．

13．(2018·鞍山模拟)已知命题p：∃x∈R，使tan x＝1；命题q：x2－3x＋2<0的解集是{x|1<x<2}．现有以下结论：

①命题“p且q”是真命题；

②命题“p且¬q”是假命题；

③命题“¬p或q”是真命题；

④命题“¬p或¬q”是假命题．

其中正确结论的序号为____________．

14．已知命题p：∃x∈R，ex－mx＝0，命题q：∀x∈R，x2＋mx＋1≥0，若p∨(¬q)为假命题，则实数m的取值范围是________．

15．已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∀x2∈[2,3]，f(x1)≥g(x2)恒成立，则实数a的取值范围是______________．

16．已知p：∀x∈，2x>m(x2＋1)，q：函数f(x)＝4x＋2x＋1＋m－1存在零点．若“p∨q”为真命题，“p∧q”为假命题，则实数m的取值范围是____________．